縮閉線

$y=x^2$ の点 $(t,\ t^2)$ での接線の傾きは $2t$ なので、法線は向き $(-2t,\ 1)$ の直線で、その式は
$$ x+2ty=t+2t^3 $$
である（点 $(t,t^2)$ を代入すると両辺とも $t+2t^3$）。
(1) $t=t_1$ と $t=t_2$（$t_1\ne t_2$）の法線の交点を求める。2 つの式を引くと $2(t_1-t_2)y=(t_1-t_2)+2(t_1^3-t_2^3)$ で、$t_1-t_2$ で割ると
$$ y=\frac12+t_1^2+t_1t_2+t_2^2 $$
である。これを $t_1$ の式に代入すると $x=t_1+2t_1^3-2t_1y=-2t_1t_2(t_1+t_2)$ となる。
(2) $t_1=1$ とし、$t_2=1.1$ なら交点は $(-4.62,\ 3.81)$、$t_2=1.01$ なら $(-4.0602,\ 3.5301)$ である。$t_2\to1$ とすると、交点は $\bigl(-2\cdot1\cdot1\cdot2,\ \tfrac12+3\bigr)=\left(-4,\ \dfrac72\right)$ に近づく。
この点 $\left(-4,\ \dfrac72\right)$ は、曲率（高校数学） の例「放物線と指数関数の曲率円」で求めた、点 $(1,1)$ での曲率円の中心である。

$P(t)=(t,\ t^2)$ では $x'=1$、$y'=2t$、$x''=0$、$y''=2$ なので、$D=2$、$x'^2+y'^2=1+4t^2$ である。よって
$$ C(t)=\left(t-\frac{2t(1+4t^2)}{2},\ \ t^2+\frac{1+4t^2}{2}\right)=\left(-4t^3,\ \ 3t^2+\frac12\right) $$
である。$X=-4t^3$、$Y=3t^2+\dfrac12$ から $t$ を消す。$X^2=16t^6$、$\left(Y-\dfrac12\right)^3=27t^6$ なので
$$ 27X^2=16\left(Y-\frac12\right)^3 $$
である。$\lvert X\rvert$ が $Y-\dfrac12$ の $\dfrac32$ 乗に比例する形の曲線で、半 3 次放物線 という。$t=0$ で $C=\left(0,\dfrac12\right)$（頂点の曲率中心）、$t=\pm1$ で $\left(\mp4,\ \dfrac72\right)$ である。曲率半径は $R(t)=\dfrac{(1+4t^2)^{3/2}}{2}$ で、$R(0)=\dfrac12$、$R(1)=\dfrac{5\sqrt5}2$ である。

半径 $r$ の円 $P(t)=(r\cos t,\ r\sin t)$ では $\kappa=\dfrac1r$、$\vec N=(-\cos t,\ -\sin t)$（中心を向く）なので、
$$ C(t)=(r\cos t,\ r\sin t)+r(-\cos t,\ -\sin t)=(0,\ 0) $$
である。縮閉線は円の中心 1 点に縮む。曲率が一定なので、どの点の曲率円も同じ円（もとの円）である。

ex-evol-parabola の $C(t)=\left(-4t^3,\ 3t^2+\dfrac12\right)$ では $C'(t)=(-12t^2,\ 6t)$ である。
(1) $t=1$ では $C'(1)=(-12,\ 6)$、放物線の点 $(1,1)$ での法線の向きは $(-2,\ 1)$ で、$C'(1)=6(-2,\ 1)$ は法線と平行である。$R(t)=\dfrac{(1+4t^2)^{3/2}}2$ を合成関数の微分で微分すると $R'(t)=\dfrac32(1+4t^2)^{1/2}\cdot\dfrac{8t}{2}=6t\sqrt{1+4t^2}$ で、$R'(1)=6\sqrt5$、$\vec N(1)=\dfrac1{\sqrt5}(-2,\ 1)$ なので、$R'(1)\vec N(1)=(-12,\ 6)$ と一致する。
(2) $t=0$ では $R'(0)=0$、$C'(0)=(0,\ 0)$ である。縮閉線は頂点の曲率中心 $\left(0,\dfrac12\right)$ で尖っている（図 1）。

ex-evol-parabola の縮閉線の、$t=0$ から $t=1$ までの長さを 2 通りに計算する。$R(t)=\dfrac{(1+4t^2)^{3/2}}2$ は $t\ge0$ で増加する。
(1) thm-evol-length により、長さは $R(1)-R(0)=\dfrac{5\sqrt5}2-\dfrac12=5.0901\ldots$ である。
(2) 直接積分する。$C'(t)=(-12t^2,\ 6t)$ なので、$t\ge0$ で $\lvert C'(t)\rvert=\sqrt{144t^4+36t^2}=6t\sqrt{4t^2+1}$ である。$u=4t^2+1$ と置換すると $du=8t\,dt$ で
$$ \int_0^16t\sqrt{4t^2+1}\,dt=\int_1^5\frac34\sqrt u\,du=\frac34\cdot\frac23\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_1^5=\frac12\bigl(5\sqrt5-1\bigr) $$
となり、(1) と一致する。図 2 の赤い太線がこの弧で、2 本の線分 $P(0)C(0)$、$P(1)C(1)$ の長さの差 $\dfrac{5\sqrt5}2-\dfrac12$ に等しい。

$a>b>0$ とし、楕円 $P(t)=(a\cos t,\ b\sin t)$ を考える。$x'=-a\sin t$、$y'=b\cos t$、$x''=-a\cos t$、$y''=-b\sin t$ なので $D=ab$、$x'^2+y'^2=a^2\sin^2t+b^2\cos^2t$ である。def-evol の式に入れると
$$ X=a\cos t-\frac{b\cos t\,\bigl(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\bigr)}{ab}=\frac{\cos t\,\bigl(a^2-a^2\sin^2t-b^2\cos^2t\bigr)}{a}=\frac{a^2-b^2}{a}\cos^3t $$
である（$a^2-a^2\sin^2t=a^2\cos^2t$ なので、括弧の中は $(a^2-b^2)\cos^2t$）。同じように
$$ Y=b\sin t-\frac{a\sin t\,\bigl(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\bigr)}{ab}=-\frac{a^2-b^2}{b}\sin^3t $$
である。$c=a^2-b^2$ とおくと $aX=c\cos^3t$、$bY=-c\sin^3t$ なので、$(aX)^{2/3}=c^{2/3}\cos^2t$、$(bY)^{2/3}=c^{2/3}\sin^2t$ となり
$$ (aX)^{\frac23}+(bY)^{\frac23}=\bigl(a^2-b^2\bigr)^{\frac23} $$
を満たす。これは アステロイド $x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$ を、横に $\dfrac{a^2-b^2}{a}$ 倍、縦に $\dfrac{a^2-b^2}b$ 倍に伸ばした曲線である。$a=3$、$b=2$ なら $C(t)=\left(\dfrac53\cos^3t,\ -\dfrac52\sin^3t\right)$ で、4 つの尖った点は $\left(\pm\dfrac53,\ 0\right)$、$\left(0,\ \pm\dfrac52\right)$ である（図 3）。$\left(\dfrac53,0\right)$ は 曲率（高校数学） の例「楕円の曲率円」で求めた、長軸の端 $(3,0)$ の曲率中心である。

$a=3$、$b=2$ の楕円で、$R(t)=\dfrac{\bigl(9\sin^2t+4\cos^2t\bigr)^{3/2}}{6}$ は $0\le t\le\dfrac\pi2$ で増加する（$9\sin^2t+4\cos^2t=4+5\sin^2t$ が増加する）。$R(0)=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$、$R\left(\dfrac\pi2\right)=\dfrac{27}{6}=\dfrac92$ なので、thm-evol-length により縮閉線の $t=0$ から $\dfrac\pi2$ までの長さは $\dfrac92-\dfrac43=\dfrac{19}6$ である。対称性から、縮閉線 1 周の長さは $4\cdot\dfrac{19}6=\dfrac{38}3=12.66\ldots$ である。一般の楕円では $4\left(\dfrac{a^2}b-\dfrac{b^2}a\right)$ になる。楕円そのものの周の長さは簡単な式にならないが、縮閉線の周の長さは曲率半径の差で求まる。

トラクトリクス の長さ $1$ の場合を、トラクトリクス の命題「懸垂線の伸開線はトラクトリクス」の媒介変数表示 $P(t)=\left(t-\tanh t,\ \dfrac1{\cosh t}\right)$（$t>0$）で表す。計算すると、$v=\tanh t$、$\kappa=\dfrac1{\sinh t}$、$\vec N=\left(\dfrac1{\cosh t},\ \tanh t\right)$ で、縮閉線は
$$ C(t)=P(t)+\sinh t\,\vec N(t)=\left(t-\tanh t+\tanh t,\ \ \frac1{\cosh t}+\frac{\sinh^2t}{\cosh t}\right)=\bigl(t,\ \cosh t\bigr) $$
である（$1+\sinh^2t=\cosh^2t$）。つまり、トラクトリクスの縮閉線は懸垂線 $y=\cosh x$ の $x>0$ の部分である（図 4）。トラクトリクス の命題では懸垂線に巻いた糸をほどくとトラクトリクスになることを示した。この例はその逆向きの関係である。

楕円 $(3\cos t,\ 2\sin t)$ の $t=0$ では $R'(0)=0$ で、$C(t)=\left(\dfrac53\cos^3t,\ -\dfrac52\sin^3t\right)$ の導関数は $C'(t)=\left(-5\cos^2t\sin t,\ -\dfrac{15}2\sin^2t\cos t\right)$、$C'(0)=(0,\ 0)$ である。$t$ が小さいとき $C(t)-C(0)$ はおよそ $\left(-\dfrac52t^2,\ -\dfrac52t^3\right)$ で、$t>0$ と $t<0$ で縦の向きが逆になりながら、どちらも左へ伸びる。こうして $\left(\dfrac53,0\right)$ で尖る（図 3）。円では $R'$ がいつも $0$ で、ex-evol-circle のとおり縮閉線は 1 点に縮む。

$P(t)=(t,\ t^3)$ では $D=6t$、$x'^2+y'^2=1+9t^4$ で、$t\ne0$ のとき
$$ C(t)=\left(\frac{t(1-9t^4)}2,\ \ \frac{1+15t^4}{6t}\right) $$
である。$t=0.5$、$0.2$、$0.1$、$0.05$ で $Y$ 座標は $0.645\ldots$、$0.853\ldots$、$1.669\ldots$、$3.333\ldots$ で、$t\to+0$ のとき $Y\to\infty$、$t\to-0$ のとき $Y\to-\infty$ である。原点（$\kappa=0$）では曲率中心がなく、縮閉線は 2 つの枝に分かれて無限に遠ざかる（図 5）。

楕円 $(3\cos t,\ 2\sin t)$ の $-\dfrac\pi4\le t\le\dfrac\pi4$ では、$R(t)=\dfrac{(4+5\sin^2t)^{3/2}}6$ は $t=0$ で最小になり、単調でない。両端では $R\left(\pm\dfrac\pi4\right)=\dfrac{(13/2)^{3/2}}{6}=\dfrac{13\sqrt{26}}{24}=2.761\ldots$ で等しく、$\bigl\lvert R\left(\frac\pi4\right)-R\left(-\frac\pi4\right)\bigr\rvert=0$ である。ところが縮閉線の弧は尖点 $\left(\dfrac53,0\right)$ をはさんで 2 本あり、thm-evol-length を $[-\frac\pi4,0]$ と $[0,\frac\pi4]$ に分けて使うと、長さは $2\left(\dfrac{13\sqrt{26}}{24}-\dfrac43\right)=2.857\ldots$ である（数値積分でも $2.8572\ldots$）。