単葉関数

1 は 開写像定理(複素解析) の系「単射な正則写像の逆写像」である。2：$f'(a)\neq0$ なら、同じ記事の補題「正則関数の局所的な逆写像」により $a$ の開近傍 $V$ で $f|_V$ が全単射（像の上へ）になるので、$f$ は $a$ で局所単葉である。逆に $f|_V$ が単射なら、$a$ を中心とする開円板 $B\subset V$ をとると $f|_B$ は領域 $B$ 上の単葉関数なので、1 により $f'(a)\neq0$ である。$\square$

$z_1\neq z_2$ を $D$ の点とする。$D$ は凸なので線分 $z_1+t(z_2-z_1)$（$0\leq t\leq1$）は $D$ に含まれる。$f'$ は正則（Cauchyの積分公式 の定理「導関数の積分表示」）なので連続であり、$t\mapsto f(z_1+t(z_2-z_1))$ の導関数は $f'(z_1+t(z_2-z_1))(z_2-z_1)$ である。微分積分学の基本定理を実部と虚部に当てて
$$f(z_2)-f(z_1)=(z_2-z_1)\int_0^1f'\bigl(z_1+t(z_2-z_1)\bigr)\,dt$$
を得る。右辺の積分の実部は $\int_0^1\operatorname{Re}f'(z_1+t(z_2-z_1))\,dt$ であり、正の連続関数の積分なので正である。よって積分は $0$ でなく、$z_2-z_1\neq0$ から $f(z_2)\neq f(z_1)$ である。$\square$

$z\in\mathbb{D}$ なら $|\bar\zeta z|<1$ なので分母 $1+\bar\zeta z$ は $0$ でなく、展開して確かめられる恒等式
$$|1+\bar\zeta z|^2-|z+\zeta|^2=(1-|z|^2)(1-|\zeta|^2)>0$$
から $|\varphi_\zeta(z)|<1$ である。$\varphi_{-\zeta}(\varphi_\zeta(z))$ を計算すると分子・分母がともに $(1-|\zeta|^2)/(1+\bar\zeta z)$ 倍になって $z$ に戻り、$\zeta$ を $-\zeta$ に替えた式も同じなので、$\varphi_\zeta$ は $\mathbb{D}$ からそれ自身への全単射である。$f'(\zeta)\neq0$（prop-uf-basic）なので $F_\zeta$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数で、単射の合成と定数倍・平行移動なので単射である。$\varphi_\zeta(0)=\zeta$、
$$\varphi_\zeta'(z)=\frac{1-|\zeta|^2}{(1+\bar\zeta z)^2},\qquad\varphi_\zeta''(z)=\frac{-2\bar\zeta(1-|\zeta|^2)}{(1+\bar\zeta z)^3}$$
より $\varphi_\zeta'(0)=1-|\zeta|^2$、$\varphi_\zeta''(0)=-2\bar\zeta(1-|\zeta|^2)$ である。合成の微分により $F_\zeta(0)=0$、$F_\zeta'(0)=f'(\zeta)\varphi_\zeta'(0)/((1-|\zeta|^2)f'(\zeta))=1$、
$$F_\zeta''(0)=\frac{f''(\zeta)\varphi_\zeta'(0)^2+f'(\zeta)\varphi_\zeta''(0)}{(1-|\zeta|^2)f'(\zeta)}=(1-|\zeta|^2)\frac{f''(\zeta)}{f'(\zeta)}-2\bar\zeta$$
であり、第 2 係数は $F_\zeta''(0)/2$ である。$F_\zeta\in S$ に Bieberbach の不等式を当てれば最後の不等式を得る。$\square$

段 1（導関数の対数微分の評価）。 lem-uf-koebe-transform の不等式に $|\zeta|/(1-|\zeta|^2)$ を掛けると、$\bar\zeta\zeta=|\zeta|^2$ より
$$\Bigl|\zeta\frac{f''(\zeta)}{f'(\zeta)}-\frac{2|\zeta|^2}{1-|\zeta|^2}\Bigr|\leq\frac{4|\zeta|}{1-|\zeta|^2}$$
である。実部をとると、$\rho:=|\zeta|$ について
$$\frac{2\rho^2-4\rho}{1-\rho^2}\leq\operatorname{Re}\Bigl(\zeta\frac{f''(\zeta)}{f'(\zeta)}\Bigr)\leq\frac{2\rho^2+4\rho}{1-\rho^2}.$$
段 2（$|f'|$ の評価）。 $\theta\in\mathbb{R}$ を固定し、$u(\rho):=\log|f'(\rho e^{i\theta})|$（$0\leq\rho<1$）とおく。$f'$ は $0$ にならないので $|f'(\rho e^{i\theta})|^2=f'\,\overline{f'}$ は $\rho$ について $C^1$ 級で正であり、$\dfrac{d}{d\rho}|f'|^2=2\operatorname{Re}\bigl(\overline{f'}\,f''e^{i\theta}\bigr)$ から
$$u'(\rho)=\frac{1}{2|f'|^2}\frac{d}{d\rho}|f'|^2=\operatorname{Re}\Bigl(e^{i\theta}\frac{f''(\rho e^{i\theta})}{f'(\rho e^{i\theta})}\Bigr)$$
である。$0<\rho<1$ では $\rho u'(\rho)$ が段 1 の $\zeta=\rho e^{i\theta}$ での実部に等しいので、$\rho$ で割って
$$\frac{2\rho-4}{1-\rho^2}\leq u'(\rho)\leq\frac{2\rho+4}{1-\rho^2}$$
を得る。部分分数 $\dfrac{2\rho+4}{1-\rho^2}=\dfrac{3}{1-\rho}+\dfrac{1}{1+\rho}$、$\dfrac{2\rho-4}{1-\rho^2}=-\dfrac{1}{1-\rho}-\dfrac{3}{1+\rho}$ を使って $0$ から $r$ まで積分すると、$u(0)=\log|f'(0)|=0$ より
$$\log(1-r)-3\log(1+r)\leq u(r)\leq\log(1+r)-3\log(1-r)$$
となり、$z=re^{i\theta}$ での $|f'(z)|$ の評価を得る。
段 3（$|f|$ の上からの評価）。 $f(0)=0$ なので $f(z)=\int_0^1f'(tz)\,z\,dt$ であり、段 2 から
$$|f(z)|\leq\int_0^r\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}\,d\rho=\frac{r}{(1-r)^2}$$
である（右辺の関数 $\rho/(1-\rho)^2$ を微分すると $(1+\rho)/(1-\rho)^3$ になる）。
段 4（$|f|$ の下からの評価）。 $z=0$ なら明らかなので $z\neq0$ とし、$w_0:=f(z)$ とおく。$f$ は単射で $f(0)=0$ なので $w_0\neq0$ である。$(1-r)^2>0$ から $\frac{r}{(1+r)^2}<\frac14$ なので、$|w_0|\geq\frac14$ なら主張は成り立つ。$|w_0|<\frac14$ とする。Koebeの1/4定理 により円板 $\{|w|<\frac14\}$ は $f(\mathbb{D})$ に含まれるので、線分 $\{tw_0\mid0\leq t\leq1\}$ も $f(\mathbb{D})$ に含まれる。$f^{-1}$ は正則（prop-uf-basic）なので $\gamma(t):=f^{-1}(tw_0)$ は $0$ から $z$ への $C^1$ 級の道で、$f'(\gamma(t))\gamma'(t)=w_0$ を満たす。$\gamma(t)=0$ となるのは $t=0$ のときだけなので、$\rho(t):=|\gamma(t)|$ は $(0,1]$ で $C^1$ 級であり、$\rho'=\operatorname{Re}(\bar\gamma\gamma')/|\gamma|\leq|\gamma'|$ である。$g(\rho):=(1-\rho)/(1+\rho)^3>0$、$G(\rho):=\rho/(1+\rho)^2$ とおくと $G'=g$ であり、段 2 の $|f'(\gamma(t))|\geq g(\rho(t))$ から、$0<\varepsilon<1$ について
$$|w_0|\geq\int_\varepsilon^1|f'(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|\,dt\geq\int_\varepsilon^1g(\rho(t))\,\rho'(t)\,dt=G(r)-G(\rho(\varepsilon))$$
である。$\varepsilon\to0$ とすると $\rho(\varepsilon)\to0$、$G(0)=0$ なので $|f(z)|=|w_0|\geq G(r)=r/(1+r)^2$ を得る。
等号。 $k'(z)=(1+z)/(1-z)^3$ だから $k'(r)=(1+r)/(1-r)^3$、$k'(-r)=(1-r)/(1+r)^3$、また $k(r)=r/(1-r)^2$、$|k(-r)|=r/(1+r)^2$ である。$\square$

$0< R<1$ について、$|z|\leq R$ なら thm-uf-distortion により $|f_m(z)|\leq R/(1-R)^2$ である。$\mathbb{D}$ の各点はある閉円板 $\{|z|\leq R\}$（$R<1$）の内部にあるので、族 $\{f_m\}$ は $\mathbb{D}$ 上で局所有界である。複素解析 の定理「Montel の定理」（Leb26 Theorem 6.2.2（p. 154））により、局所一様収束する部分列 $f_{m_j}\to f$ がある。Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」により $f$ は $\mathbb{D}$ 上で正則で、$f_{m_j}'\to f'$ も局所一様収束する。よって $f(0)=\lim f_{m_j}(0)=0$、$f'(0)=\lim f_{m_j}'(0)=1$ であり、とくに $f$ は定数でない。偏角の原理 の系「零点をもたない関数と単射な関数の極限」の 2（Leb26 Corollary 5.4.9（p. 143）にも同じ主張がある）により、単射な $f_{m_j}$ の局所一様極限で定数でない $f$ は単射である。ゆえに $f\in S$ である。$\square$

Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」を半径 $\frac12$ の円周に当てると、thm-uf-distortion から $|a_n(f)|=|f^{(n)}(0)|/n!\leq2^n\cdot\frac{1/2}{(1/2)^2}=2^{n+1}$ なので $A_n\leq2^{n+1}<\infty$ である。$|a_n(f_m)|\to A_n$ となる $f_m\in S$ をとり、thm-uf-compact の部分列 $f_{m_j}\to f\in S$ をとると、Weierstrass の定理により $a_n(f_{m_j})=f_{m_j}^{(n)}(0)/n!\to f^{(n)}(0)/n!=a_n(f)$ なので $|a_n(f)|=A_n$ である。$\square$