目玉の定理

円 1 を中心 $O_1(0,0)$、半径 $7$、円 2 を中心 $O_2(25,0)$、半径 $15$ とする。
(1) $O_1$ から円 2 への接線。接点を $T_1$ とすると、接線は接点で半径に垂直なので、三角形 $O_1T_1O_2$ は $T_1$ を直角とする直角三角形である。斜辺 $O_1O_2=25$、$O_2T_1=15$ なので、三平方の定理から
$$ O_1T_1=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20 $$
である。$T_1$ の座標は $(16,12)$ である。実際、$O_1T_1=\sqrt{16^2+12^2}=20$、$O_2T_1=\sqrt{(16-25)^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15$ で、$\overrightarrow{O_1T_1}\cdot\overrightarrow{O_2T_1}=16\cdot(-9)+12\cdot12=0$ だから $O_1T_1\perp O_2T_1$ である。もう 1 つの接点は、$T_1$ を $x$ 軸で折り返した $T_2(16,-12)$ である。
(2) 弦 $AB$。半直線 $O_1T_1$ の上で $O_1$ から距離 $7$ の点が $A$ である。$O_1T_1=20$ なので $A$ は $O_1T_1$ を $7:13$ に分ける点で、
$$ A=\frac{7}{20}(16,12)=\left(\frac{28}5,\frac{21}5\right) $$
である。同じく $B=\left(\dfrac{28}5,-\dfrac{21}5\right)$ で、$AB=\dfrac{42}5$ である。
(3) $O_2$ から円 1 への接線。上側の接点を $U_1$ とすると、三角形 $O_2U_1O_1$ は $U_1$ を直角とする直角三角形なので
$$ O_2U_1=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24 $$
である。接線 $O_2U_1$ が直線 $O_1O_2$ となす角を $\psi$ とすると、$\sin\psi=\dfrac{O_1U_1}{O_1O_2}=\dfrac7{25}$、$\cos\psi=\dfrac{O_2U_1}{O_1O_2}=\dfrac{24}{25}$ である。半直線 $O_2U_1$ は $O_2$ から左上へ向かうので、その向きの長さ $1$ のベクトルは $\left(-\dfrac{24}{25},\dfrac7{25}\right)$ である。
(4) 弦 $CD$。半直線 $O_2U_1$ の上で $O_2$ から距離 $15$ の点が $C$ なので
$$ \overrightarrow{O_2C}=15\left(-\frac{24}{25},\frac7{25}\right)=\left(-\frac{72}5,\frac{21}5\right),\qquad C=\left(25-\frac{72}5,\frac{21}5\right)=\left(\frac{53}5,\frac{21}5\right) $$
である。同じく $D=\left(\dfrac{53}5,-\dfrac{21}5\right)$ で、$CD=\dfrac{42}5$ である。
弦の長さは $AB=CD=\dfrac{42}5$ で等しい。しかも $A$ と $C$ はどちらも高さ $\dfrac{21}5$ にあり、4 点 $A,B,D,C$ は横 $\dfrac{53}5-\dfrac{28}5=5$、縦 $\dfrac{42}5$ の長方形の頂点になっている。

円 1 を中心 $O_1(0,0)$、半径 $2$、円 2 を中心 $O_2(5,0)$、半径 $3$ とする。
(1) $O_1$ から円 2 への接線が $x$ 軸となす角を $\varphi$ とする。直角三角形 $O_1T_1O_2$ で $\sin\varphi=\dfrac{O_2T_1}{O_1O_2}=\dfrac35$、$\cos\varphi=\dfrac45$ なので、$A=(2\cos\varphi,\,2\sin\varphi)=\left(\dfrac85,\dfrac65\right)$、$AB=2\cdot\dfrac65=\dfrac{12}5$ である。
(2) $O_2$ から円 1 への接線が $x$ 軸となす角を $\psi$ とする。$\sin\psi=\dfrac25$、$\cos\psi=\dfrac{\sqrt{21}}5$ なので、$C=(5-3\cos\psi,\,3\sin\psi)=\left(5-\dfrac{3\sqrt{21}}5,\,\dfrac65\right)$、$CD=2\cdot\dfrac65=\dfrac{12}5$ である。
$C$ の $x$ 座標には根号が出るが、高さはどちらも $\dfrac65$ で、弦の長さは $AB=CD=\dfrac{12}5$ と等しい。

1. ex-eye-start：$\dfrac{2r_1r_2}d=\dfrac{2\cdot7\cdot15}{25}=\dfrac{210}{25}=\dfrac{42}5$ で、座標で求めた $AB=CD=\dfrac{42}5$ と一致する。$O_1H=\dfrac{7\cdot20}{25}=\dfrac{28}5$ は $A$ の $x$ 座標である。
2. ex-eye-second：$\dfrac{2\cdot2\cdot3}5=\dfrac{12}5$ で一致する。
3. $(d,r_1,r_2)=(5,1,2)$：$AB=CD=\dfrac{2\cdot1\cdot2}5=\dfrac45=0.8$ である。
4. $(d,r_1,r_2)=(7,3,1)$：$AB=CD=\dfrac{2\cdot3\cdot1}7=\dfrac67\fallingdotseq0.857$ である。半径が $3$ 倍違っても、弦の長さは等しい。

1. ex-eye-start：$\sin\varphi=\dfrac35$、$\cos\varphi=\dfrac45$、$\sin\psi=\dfrac7{25}$、$\cos\psi=\dfrac{24}{25}$ なので
   $$ \sin(\varphi+\psi)=\frac35\cdot\frac{24}{25}+\frac45\cdot\frac7{25}=\frac{72+28}{125}=\frac45,\qquad d\{1-\sin(\varphi+\psi)\}=25\cdot\frac15=5 $$
   で、座標で求めた横の長さ $\dfrac{53}5-\dfrac{28}5=5$ と一致する。
2. $(d,r_1,r_2)=(10,6,5)$：2 つの円は交わっている（$10<6+5$）。$\sin\varphi=\dfrac12$ で $\varphi=30^\circ$、$\sin\psi=\dfrac35$、$\cos\psi=\dfrac45$ なので
   $$ \sin(\varphi+\psi)=\frac12\cdot\frac45+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac35=\frac{4+3\sqrt3}{10},\qquad d\{1-\sin(\varphi+\psi)\}=6-3\sqrt3\fallingdotseq0.80 $$
   である。座標では $A=(3\sqrt3,3)$、$C=(6,3)$ で、差は $6-3\sqrt3$ である。弦は $AB=CD=\dfrac{2\cdot6\cdot5}{10}=6$ で、細長い長方形になる（図 3）。
3. $(d,r_1,r_2)=(5,3,4)$：$3^2+4^2=5^2$ なので横の長さは $0$ である。$\sin\varphi=\dfrac45$、$\cos\varphi=\dfrac35$ から $A=\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$、$\sin\psi=\dfrac35$、$\cos\psi=\dfrac45$ から $C=\left(5-\dfrac{16}5,\dfrac{12}5\right)=\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ で、$A=C$ である。この点は $\left(\dfrac95\right)^2+\left(\dfrac{12}5\right)^2=9$、$\left(\dfrac95-5\right)^2+\left(\dfrac{12}5\right)^2=\dfrac{256+144}{25}=16$ を満たし、2 つの円の交点である（図 4）。弦は $AB=CD=\dfrac{24}5$ で、2 本の弦は同じ線分になる。

$(d,r_1,r_2)=(5,1,2)$ で、円 1 の中心 $O_1(0,0)$ の代わりに、円 1 の内部の点 $P\left(\dfrac12,0\right)$ から円 2 に 2 本の接線を引く。$P$ と $O_2$ の距離は $\dfrac92>2$ なので、接線は 2 本引ける。接線が $x$ 軸となす角を $\varphi'$ とすると、lem-eye-tangent と同じ直角三角形から $\sin\varphi'=\dfrac2{9/2}=\dfrac49$、$\cos\varphi'=\dfrac{\sqrt{65}}9$ である。
$P$ は円 1 の内部にあるので、$P$ から接点へ向かう半直線は円 1 とちょうど 1 点で交わる。その点を $A'$ とし、$A'=\left(\dfrac12+t\cos\varphi',\,t\sin\varphi'\right)$（$t>0$）とおく。$A'$ が円 1 の上にある条件は
$$ \left(\frac12+\frac{\sqrt{65}}9t\right)^2+\left(\frac49t\right)^2=1,\qquad\text{展開して}\qquad t^2+\frac{\sqrt{65}}9t-\frac34=0 $$
である（$\dfrac{65+16}{81}=1$ を使った）。正の解は
$$ t=\frac12\left(-\frac{\sqrt{65}}9+\sqrt{\frac{65}{81}+3}\right)=\frac{2\sqrt{77}-\sqrt{65}}{18} $$
である（$\dfrac{65}{81}+3=\dfrac{308}{81}$、$\sqrt{308}=2\sqrt{77}$）。もう 1 本の接線でも同じで、弦の長さは
$$ A'B'=2t\sin\varphi'=\frac{8t}9=\frac{4(2\sqrt{77}-\sqrt{65})}{81}\fallingdotseq0.469 $$
である。一方、$O_2$ から引いた接線が作る弦は ex-eye-formula (3) のとおり $CD=0.8$ で、2 本の弦の長さは等しくない（図 5）。
prf-eye-main の段 1 では、接線を引く点から円 1 までの距離がいつも $r_1$ であることを使った。$P$ から円 1 の周までの距離は向きによって変わるので、この段が使えない。

$(d,r_1,r_2)=\left(\dfrac32,1,2\right)$ では、$O_1$ と $O_2$ の距離 $\dfrac32$ が円 2 の半径 $2$ より小さいので、$O_1$ は円 2 の内部にある。内部の点を通る直線は、中心からの距離が半径より小さく円 2 と 2 点で交わるので、$O_1$ から円 2 への接線は 1 本も引けない（2円の位置関係と共通接線 の補題「1 点から引ける接線の本数」）。弦 $AB$ は作れない。一方 $d=\dfrac32>r_1=1$ なので、$O_2$ から円 1 への接線は引けて、$\sin\psi=\dfrac23$ から $CD=2\cdot2\cdot\dfrac23=\dfrac83$ である。式 $\dfrac{2r_1r_2}d=\dfrac83$ は $CD$ の長さとしては正しいが、比べる相手の $AB$ がない。

$(d,r_1,r_2)=(5,1,2)$ で、$O_1$ から円 2 の接点までの長さは $O_1T_1=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\fallingdotseq4.58$、$O_2$ から円 1 の接点までの長さは $O_2U_1=\sqrt{25-1}=2\sqrt6\fallingdotseq4.90$ で、等しくない。一般に $O_1T_1^2-O_2U_1^2=(d^2-r_2^2)-(d^2-r_1^2)=r_1^2-r_2^2$ なので、2 つの長さが等しいのは $r_1=r_2$ のときだけである。等しくなるのは、接線を円で切り取った弦の方である。