Morseの補題

同義語：モースの補題Morse lemma

概要

前提知識: 可微分多様体, 2次形式, 逆関数定理, 陰関数定理

滑らかな関数 $f$ の臨界点 $p$（微分が $0$ になる点）で 2 階微分の行列が正則なとき、$p$ のまわりの座標をうまくとると、$f$ は
$$ f=f(p)-y_1^2-\dots-y_\lambda^2+y_{\lambda+1}^2+\dots+y_n^2 $$
という 2 次式にちょうど一致する。これが Morse の補題（Morse lemma）である。Taylor 展開の 3 次以上の項は、座標を取り替えるだけで消せる。負の項の個数 $\lambda$ は 2 階微分から決まる臨界点の指数で、局所的な形は $\lambda$ だけで決まる。
Morse の補題は、Morse関数の臨界点のまわりの形を確定させ、劣位集合の変化をハンドルの貼り付けとして記述するハンドル分解や Morse理論の出発点になる。この記事では、対称行列の平方根を使って Morse の補題を証明し、同じ方法で、関数がパラメータに滑らかに依存する場合の版と、正則関数の版も証明する。

定義

$M$ を $n$ 次元（$n\ge1$）の可微分多様体、$f\colon M\to\mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級関数とする。点 $p$ のまわりの局所座標 $(x_1,\dots,x_n)$ で $f$ を表す。$df_p=0$、すなわち $\partial f/\partial x_i(p)=0$（すべての $i$）のとき、$p$ を $f$ の臨界点という。臨界点 $p$ では、行列
$$ H=\Bigl(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)\Bigr)_{i,j} $$
が座標変換 $x=h(u)$ で $J^{\top}HJ$（$J$ は $p$ での $h$ の Jacobi 行列）に変わる。2 階微分の連鎖律に現れるもう一つの項 $\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial^2x_i}{\partial u_a\partial u_b}$ は、臨界点では $\partial f/\partial x_i(p)=0$ なので消えるからである（Morse関数の命題「Hesse形式」）。したがって $H$ は接空間 $T_pM$ 上の対称双線形形式 $H_pf$（Hesse 形式）を定め、それが非退化であるかどうかと次の指数は座標によらない。

非退化臨界点と指数

$f$ の臨界点 $p$ は、Hesse 行列 $H$ が正則であるとき非退化であるという。$H_pf$ が負定値になる $T_pM$ の部分空間の次元の最大値を、$p$ の指数（index）という。

実対称行列 $H$ は正則行列 $P$ によって $P^{\top}HP$ を対角行列にでき（2次形式の定理「平方完成による対角化」）、対角成分の負のものの個数は $P$ によらず、指数に等しい（同記事の定理「実2次形式の係数の符号の不変性」と Morse関数の補題「指数と対角化」）。$H$ が正則なら対角成分はどれも $0$ でないので、各基底ベクトルを $\lvert d_i\rvert^{-1/2}$ 倍に取り替え、負の成分を前に並べることで、次の形にできる：$\lambda$ を指数として
$$ P^{\top}HP=D_\lambda:=\operatorname{diag}(\underbrace{-1,\dots,-1}_{\lambda},\underbrace{1,\dots,1}_{n-\lambda}). $$

二つの補題

以下、$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$n$ 次正方行列のノルムは作用素ノルム $\|E\|:=\sup_{\|v\|=1}\|Ev\|$ とする。$\|E^{\top}\|=\|E\|$、$\|EF\|\le\|E\|\|F\|$ である。

積分形の Taylor 展開

$V\subset\mathbb{R}^n$ を原点を含む凸な開集合、$T\subset\mathbb{R}^k$ を開集合、$g\colon V\times T\to\mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級とし、すべての $t\in T$ について $g(0,t)=0$、$\partial g/\partial x_i(0,t)=0$ とする。
$$ A_{ij}(x,t):=\int_0^1(1-s)\,\frac{\partial^2g}{\partial x_i\partial x_j}(sx,t)\,ds $$
とおくと、$A=(A_{ij})$ は $V\times T$ 上の $C^\infty$ 級の対称行列値関数で、
$$ g(x,t)=x^{\top}A(x,t)\,x,\qquad A(0,t)=\tfrac12\Bigl(\frac{\partial^2g}{\partial x_i\partial x_j}(0,t)\Bigr)_{i,j} $$
が成り立つ。パラメータがない場合（$k=0$）も同じである。

$(x,t)$ を固定し、$\varphi(s):=g(sx,t)$（$0\le s\le1$）とおく。$V$ は凸なので $sx\in V$ である。部分積分による Taylor の公式 $\varphi(1)=\varphi(0)+\varphi'(0)+\int_0^1(1-s)\varphi''(s)\,ds$ に、$\varphi(0)=g(0,t)=0$、$\varphi'(0)=\sum_ix_i\,\partial g/\partial x_i(0,t)=0$、$\varphi''(s)=\sum_{i,j}x_ix_j\,\partial^2g/\partial x_i\partial x_j(sx,t)$ を代入すると $g(x,t)=x^{\top}A(x,t)x$ を得る。被積分関数は $(s,x,t)$ について $C^\infty$ 級で、$s$ はコンパクトな区間 $[0,1]$ を動くので、積分記号の下で何回でも微分でき、$A$ は $C^\infty$ 級である。偏微分の順序交換により $A$ は対称である。$x=0$ では $\int_0^1(1-s)\,ds=\frac12$ から最後の式が従う。$\square$

対称行列の平方根

$S_0$ を $\mathbb{K}$ 成分の正則な対称行列とし、$W:=\{S\text{ は対称}\mid\|S_0^{-1}S-I\|<1\}$ とおく。$W$ 上の写像 $Q\colon W\to GL_n(\mathbb{K})$ で、成分の冪級数で表され（とくに $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら $C^\infty$ 級、$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ なら成分について正則）、
$$ Q(S)^{\top}S_0\,Q(S)=S\quad(S\in W),\qquad Q(S_0)=I $$
を満たすものがある。

$c_k:=\binom{1/2}{k}$ を $(1+u)^{1/2}=\sum_{k\ge0}c_ku^k$（$\lvert u\rvert<1$）の係数とする。$\lvert c_k\rvert\le1$ なので、$\|E\|<1$ の行列 $E$ について $R(E):=\sum_kc_kE^k$ は絶対収束し、収束は $\|E\|\le r<1$ で一様なので、項別に微分した級数も一様に収束する。冪級数の等式 $\bigl(\sum_kc_ku^k\bigr)^2=1+u$ は係数の等式 $\sum_{a+b=m}c_ac_b=\delta_{m,0}+\delta_{m,1}$ を意味し、$E$ の冪は互いに可換なので、絶対収束級数の積をとって $R(E)^2=I+E$ である。
$S\in W$ に対し $E:=S_0^{-1}S-I$、$Q(S):=R(E)$ とおく。$R(E)^2=S_0^{-1}S$ は正則なので $Q(S)$ も正則で、$Q(S_0)=R(0)=I$ である。$S,S_0$ は対称なので
$$ E^{\top}=SS_0^{-1}-I=S_0\,(S_0^{-1}S-I)\,S_0^{-1}=S_0ES_0^{-1} $$
であり、級数を項ごとに転置すると $Q(S)^{\top}=\sum_kc_k(E^{\top})^k=S_0R(E)S_0^{-1}$ である。よって
$$ Q(S)^{\top}S_0Q(S)=S_0R(E)S_0^{-1}S_0R(E)=S_0R(E)^2=S_0(I+E)=S $$
である。$\square$

$n=1$ なら、これは「$S$ が $S_0$ に近ければ $S/S_0$ は正の平方根 $q$ をもち $q^2S_0=S$」というだけのことである。上の補題はその行列版で、転置が $S_0$ による共役になることがかぎである。

主定理

Morseの補題

$p$ を $C^\infty$ 級関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ の非退化臨界点とし、その指数を $\lambda$ とする。$p$ のまわりの局所座標 $(y_1,\dots,y_n)$ で、$y(p)=0$ かつその座標近傍の上で
$$ f=f(p)-y_1^2-\dots-y_\lambda^2+y_{\lambda+1}^2+\dots+y_n^2 $$
となるものがある。逆に、ある局所座標でこの形（$y(p)=0$、負の項が $k$ 個）に書けるなら、$p$ は非退化臨界点で、指数は $k$ である。

逆向き．その座標で $\partial f/\partial y_i=\mp2y_i$ は $p$ で $0$ であり、Hesse 行列 $2D_k$ は正則で、負の対角成分は $k$ 個なので指数は $k$ である。
順向き．段 1（2 次形式の形）．局所座標で $p$ を原点に移し、原点を中心とする開球 $V$ の上の関数 $g(x):=f(x)-f(p)$ を考える。$g(0)=0$、$\nabla g(0)=0$ なので、lem-ml-taylor（パラメータなし）により $g(x)=x^{\top}A(x)x$ と書ける。ここで $A$ は $C^\infty$ 級の対称行列値関数で、$A(0)=\frac12H$ は正則であり、その負の固有値の個数は $H$ と同じ $\lambda$ である。
段 2（係数を定数にする）．$S_0:=A(0)$ に lem-ml-sqrt を使う。$A$ は連続なので、$V$ を小さくとれば $A(x)\in W$ である。$\tilde Q(x):=Q(A(x))$ は $C^\infty$ 級で、$\tilde Q(0)=I$、$\tilde Q(x)^{\top}A(0)\tilde Q(x)=A(x)$ を満たす。よって
$$ g(x)=x^{\top}\tilde Q(x)^{\top}A(0)\tilde Q(x)x=z^{\top}A(0)\,z,\qquad z:=\tilde Q(x)x $$
である。
段 3（座標であること）．写像 $\zeta\colon x\mapsto\tilde Q(x)x$ の原点での微分は、積の微分により $\tilde Q(0)=I$ である（$\tilde Q$ を微分した項には $x=0$ が掛かる）。逆関数定理により、$\zeta$ は原点の近傍から原点の近傍への $C^\infty$ 級の微分同相である。
段 4（符号をそろえる）．正則行列 $P$ を $P^{\top}A(0)P=D_\lambda$ ととり（定義の節の対角化を $A(0)=\frac12H$ に当てる）、$y:=P^{-1}z=P^{-1}\tilde Q(x)x$ とおく。$y$ は原点のまわりの座標で $y(0)=0$ であり、$A(0)=P^{-\top}D_\lambda P^{-1}$ から
$$ f-f(p)=g=z^{\top}P^{-\top}D_\lambda P^{-1}z=y^{\top}D_\lambda y=-y_1^2-\dots-y_\lambda^2+y_{\lambda+1}^2+\dots+y_n^2 $$
である。$\square$

この形の座標を Morse 座標という。Morse 座標で $\partial f/\partial y_i=\mp2y_i$ なので、その近傍の臨界点は $p$ だけである。非退化臨界点が孤立すること、指数 $0$ が極小・指数 $n$ が極大にあたることは、ここから従う（Morse関数の系「非退化臨界点は孤立する」と命題「指数と極値」）。

微分可能性

$f$ が $C^{r+2}$ 級（$r\ge1$）なら、lem-ml-taylor の $A$ は $C^r$ 級で、$Q$ は冪級数で表されるので $\tilde Q$ も $C^r$ 級であり、$C^r$ 級の逆関数定理により $C^r$ 級の Morse 座標が得られる。Hir76 Ch. 6 §1 の Morse の補題 1.1（p. 145）はこの形で述べられている。

1 変数の例

$\mathbb{R}$ 上の $f(x)=1-\cos x$ は、$f'(0)=0$、$f''(0)=1$ なので原点が指数 $0$ の非退化臨界点である。$1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ なので、$y:=\sqrt2\sin(x/2)$ とおけば $f=y^2$ であり、$dy/dx=\frac{1}{\sqrt2}\cos(x/2)\ne0$（$\lvert x\rvert<\pi$）なので $y$ は $(-\pi,\pi)$ の上の座標である。2 変数の $f(x_1,x_2)=x_1x_2$ では原点の Hesse 行列は $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$（指数 $1$）で、線形な座標 $y_1=(x_1-x_2)/2$、$y_2=(x_1+x_2)/2$ により $f=-y_1^2+y_2^2$ となる。

パラメータ付きの Morse の補題

関数が滑らかに変形するとき、変形が小さい間は非退化臨界点は消えずに滑らかに動き、Morse 座標もパラメータに滑らかに依存してとれる。

パラメータ付きの Morse の補題

$U\subset\mathbb{R}^n$、$T\subset\mathbb{R}^k$ を原点を含む開集合、$f\colon U\times T\to\mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級とし、$f_t:=f(\cdot,t)$ と書く。原点が $f_0$ の非退化臨界点で、指数が $\lambda$ であるとする。このとき、原点の近傍 $U'\subset U$、$T'\subset T$、$C^\infty$ 級写像 $c\colon T'\to U'$（$c(0)=0$）と $C^\infty$ 級写像 $\Phi\colon U'\times T'\to\mathbb{R}^n$ があって、各 $t\in T'$ について次が成り立つ。

$c(t)$ は $f_t$ の $U'$ の中の唯一の臨界点で、非退化で指数は $\lambda$ である。
$x\mapsto\Phi(x,t)$ は $U'$ からその像への微分同相で、$\Phi(c(t),t)=0$ かつ
$$ f(x,t)=f(c(t),t)+\Phi(x,t)^{\top}D_\lambda\,\Phi(x,t)\qquad(x\in U'). $$

段 1（臨界点を追う）．$F(x,t):=\nabla_xf(x,t)$ とおくと、$F(0,0)=0$ で、$x$ についての微分 $D_xF(0,0)$ は $f_0$ の Hesse 行列 $H$ で正則である。陰関数定理により、原点の近傍 $B\times T_1$ と $C^\infty$ 級写像 $c\colon T_1\to B$（$c(0)=0$）があって、$B\times T_1$ の中の $F$ の零点はちょうど $\{(c(t),t)\}$ である。
段 2（2 次形式の形）．$g(x,t):=f(x+c(t),t)-f(c(t),t)$ は、原点を中心とする開球 $V$ と $T_1$ の上で $C^\infty$ 級で、$g(0,t)=0$、$\nabla_xg(0,t)=F(c(t),t)=0$ を満たす。lem-ml-taylor により $g(x,t)=x^{\top}A(x,t)x$、$A(0,0)=\frac12H$ である。
段 3（係数を定数にする）．$S_0:=A(0,0)$ に lem-ml-sqrt を使い、$V$ と $T_1$ を小さくとって $A(x,t)\in W$ とする。$P^{\top}S_0P=D_\lambda$ となる $P$ をとり、$\Psi(x,t):=P^{-1}Q(A(x,t))\,x$ とおくと、prf-ml-main の段 2・段 4 と同じ計算で $g(x,t)=\Psi(x,t)^{\top}D_\lambda\Psi(x,t)$ である。
段 4（座標であること）．$G(x,t):=(\Psi(x,t),t)$ の $(0,0)$ での微分は $\begin{pmatrix}P^{-1}&\ast\\0&I\end{pmatrix}$ の形で正則なので、逆関数定理により $G$ は $(0,0)$ の近傍 $N$ の上で開集合への微分同相である。$N$ に含まれる積の近傍 $B'\times T_2$ をとると、各 $t\in T_2$ について $x\mapsto\Psi(x,t)$ は $B'$ の上で単射で、微分は正則である（$DG$ が正則なので）。よって $B'$ からその像への微分同相である。
段 5（まとめ）．$c$ は連続なので、原点の近傍 $U'$ と $T'\subset T_2$ を、$t\in T'$、$x\in U'$ なら $x-c(t)\in B'\cap V$、$U'\subset B$、かつ $c(T')\subset U'$ となるようにとれる。$\Phi(x,t):=\Psi(x-c(t),t)$ とおけば 2 が成り立つ。$\Phi_t$ を座標とみると $f_t-f_t(c(t))=y^{\top}D_\lambda y$ なので、thm-ml-main の逆向きにより $c(t)$ は指数 $\lambda$ の非退化臨界点で、$U'$ の中の臨界点は $y=0$ すなわち $c(t)$ だけである。これで 1 が成り立つ。$\square$

非退化臨界点の安定性

$p$ を $f\colon M\to\mathbb{R}$ の非退化臨界点（指数 $\lambda$）、$h\colon M\to\mathbb{R}$ を任意の $C^\infty$ 級関数とする。$p$ の近傍 $U'$ と $\delta>0$ があって、$\lvert\epsilon\rvert<\delta$ なら $f+\epsilon h$ は $U'$ の中にただ 1 つの臨界点 $p(\epsilon)$ をもち、それは指数 $\lambda$ の非退化臨界点で、$p(\epsilon)$ は $\epsilon$ について $C^\infty$ 級である。

$p$ のまわりの局所座標で、$T=\mathbb{R}$ として $f(x,\epsilon):=f(x)+\epsilon h(x)$ に thm-ml-parametric を当てはめればよい。$\square$

正則関数の Morse の補題

複素数の上では、平方根がいつもとれるので符号の区別が消える。

正則関数の Morse の補題

$X$ を $n$ 次元複素多様体、$f$ を点 $p$ の近傍で正則な関数とし、正則な局所座標 $(z_1,\dots,z_n)$ で $\partial f/\partial z_i(p)=0$（すべての $i$）かつ行列 $\bigl(\partial^2f/\partial z_i\partial z_j(p)\bigr)$ が正則であるとする。このとき $p$ のまわりの正則な局所座標 $(w_1,\dots,w_n)$ で、$w(p)=0$ かつ
$$ f=f(p)+w_1^2+w_2^2+\dots+w_n^2 $$
となるものがある。

prf-ml-main を次のように読み替える。$p$ を原点とし、原点を中心とする開球 $V\subset\mathbb{C}^n$ の上で $g:=f-f(p)$ とおく。$z\in V$ を固定すると、実変数 $s\in[0,1]$ の関数 $\varphi(s):=g(sz)$ は $C^\infty$ 級で、正則関数の連鎖律により $\varphi''(s)=\sum_{i,j}z_iz_j\,\partial^2g/\partial z_i\partial z_j(sz)$ である。よって lem-ml-taylor と同じ計算で $g(z)=z^{\top}A(z)z$、$A_{ij}(z)=\int_0^1(1-s)\,\partial^2g/\partial z_i\partial z_j(sz)\,ds$ となる。被積分関数は $z$ について正則で $(s,z)$ について連続なので、$A$ は正則である（積分記号の下で $\partial/\partial\bar z_j$ をとると $0$）。$A(0)$ は正則な複素対称行列である。
lem-ml-sqrt を $\mathbb{K}=\mathbb{C}$、$S_0=A(0)$ で使うと、$\tilde Q(z):=Q(A(z))$ は正則で、$z\mapsto\tilde Q(z)z$ は原点で微分が $I$ の正則写像なので、正則な逆写像定理（正則写像の定理「正則な逆写像定理」）により原点のまわりの正則な座標である。最後に、正則な複素対称行列 $S_0$ は正則行列 $P$ で $P^{\top}S_0P=I$ にできる：2次形式の定理「平方完成による対角化」で対角行列 $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$（$d_i\ne0$）にし、各基底ベクトルを $d_i$ の平方根の一つで割ればよい。$w:=P^{-1}\tilde Q(z)z$ とおけば $g=w^{\top}w=\sum_iw_i^2$ である。$\square$

1 変数の正則関数

$f(z)=z^2+z^3=z^2(1+z)$ は原点で $f'(0)=0$、$f''(0)=2\ne0$ である。$\lvert z\rvert<1$ で $1+z$ の平方根 $\sqrt{1+z}=\sum_kc_kz^k$（prf-ml-sqrt の係数）は正則なので、$w:=z\sqrt{1+z}$ とおけば $f=w^2$ で、$dw/dz(0)=1$ から $w$ は原点の近くの正則な座標である。実関数の $x^2$ と $-x^2$ は実の座標変換では移り合わない（極小と極大）が、正則関数としての $z^2$ と $-z^2$ は $w=iz$ で移り合う。

この版は、平面曲線の pencil から作るファイブレーションの臨界点のまわりで、写像を $z_1^2+z_2^2$ の形に直すのに使われる（Lefschetzファイブレーション）。形式的冪級数の環では、同じ主張が通常 2 重点の判定として成り立つ（通常2重点の定理「通常2重点の判定」）。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$p$ で非退化	$\mathbb{R}$ 上の $f(x)=x^3$、$p=0$	$p$ の近くの座標で $f=f(p)\pm y^2$ と書ける
$p$ が臨界点	$\mathbb{R}$ 上の $f(x)=x$、$p=0$	$f$ の局所的な形が 2 次式 $f(p)+\sum\pm y_i^2$
座標を $p$ の近傍に限る	$\mathbb{R}$ 上の $f(x)=1-\cos x$	$\mathbb{R}$ 全体の座標 $y$ で $f=y^2$ と書ける
$t=0$ で非退化	$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 上の $f(x,t)=x^3-tx$	近くのどの $t$ でも $f_t$ が原点の近くにちょうど 1 つの臨界点をもつ

反例：表の各行の確かめ

1 行目：$f'(0)=f''(0)=0$ なので原点は退化臨界点である。ある座標 $y$（$y(0)=0$）で $x^3=\pm y^2$ と書けたとすると、thm-ml-main の逆向きにより原点は非退化になり、非退化性が座標によらないことに反する。実際 $x^3$ は原点の両側で符号を変えるが、$\pm y^2$ は変えない。
2 行目：$f'(0)=1\ne0$ である。2 次式 $f(p)+\sum\pm y_i^2$ は $y=0$ で微分が $0$ なので、どの座標でも $f$ はこの形にならない。正則点のまわりの標準形は、$y_1:=f-f(p)$ を座標の一つにとった 1 次式 $f=f(p)+y_1$ である。
3 行目：原点は非退化で、ex-ml-one-variable のように $(-\pi,\pi)$ の上では $f=y^2$ となる座標がある。$\mathbb{R}$ 全体の座標 $y$（$\mathbb{R}$ からその像への微分同相）で $f=y^2$ なら $f^{-1}(0)=\{y=0\}$ は 1 点だが、$f(0)=f(2\pi)=0$ である。Morse の補題は局所的な主張である。
4 行目：$\partial f/\partial x=3x^2-t$ なので、$f_0=x^3$ の原点は退化臨界点である。$t>0$ では臨界点は $\pm\sqrt{t/3}$ の 2 つ、$t<0$ では臨界点がない。臨界点は $t$ とともに滑らかに動かず、生成・消滅する。

補足

大域的な使い方：Morse 座標を使うと、指数 $\lambda$ の非退化臨界点を 1 つだけ含む臨界値を越えるとき、劣位集合 $\{f\le a\}$ のホモトピー型が $\lambda$ 次元の胞体を 1 つ貼り付けた形に変わることが示される（Mil63 Theorem 3.2、pp. 14–19。仮定は同所）。微分同相の水準ではハンドルの貼り付けになる（ハンドル分解）。
証明の方法：古典的な証明は、Hadamard の補題で係数関数を作り、座標を 1 つずつ平方完成していく（Mil63 Lemma 2.2、pp. 6–8）。この記事の証明は、平方完成の繰り返しを行列の平方根 1 回で済ませている。どちらの証明もパラメータや正則関数の場合にそのまま通る。