Zariskiの補題

生成元の個数 $n$ についての帰納法で、「任意の体 $k$ と、$k$ を含み $k$ 上 $n$ 個の元で環として生成される任意の体 $K$ について $[K:k]<\infty$」を示す。$n=0$ なら $K=k$ である。
$n\ge1$ とし、$K=k[a_1,\dots,a_n]$ とする。$K$ は体なので、$a_1$ を含む部分体 $L:=k(a_1)\subset K$ がある。$K\supset L[a_2,\dots,a_n]\supset k[a_1,\dots,a_n]=K$ より $K=L[a_2,\dots,a_n]$ であり、$K$ は体 $L$ 上 $n-1$ 個の元で環として生成される。帰納法の仮定（基礎体を $L$ として使う）により $[K:L]<\infty$ である（$n=1$ なら $K=L$）。
$a_1$ が $k$ 上代数的なら $[L:k]<\infty$ であり、有限次拡大 の定理「拡大次数の塔の公式」により $[K:k]=[K:L][L:k]<\infty$ となって終わる。そこで $a_1$ が $k$ 上超越的と仮定して矛盾を導く。
このとき代入 $k[t]\to k[a_1]$、$t\mapsto a_1$ は同型であり、$A:=k[a_1]$ は一変数の多項式環、$L$ はその分数体である。$2\le i\le n$ の各 $a_i$ は $L$ 上代数的なので（$[K:L]<\infty$ だから）、$L$ 係数のモニックな多項式 $f_i(T)$ で $f_i(a_i)=0$ となるものがある。$f_2,\dots,f_n$ の係数は有限個の分数なので、それらの分母の積を $0\ne b\in A$ とすれば、すべての係数は部分環
$$ A_b:=A[1/b]=\{c/b^N\mid c\in A,\ N\ge0\}\subset L $$
に入る。したがって各 $a_i$ は $A_b$ 上整である。$1/b\in L\subset K$ なので $K=k[a_1,\dots,a_n]\subset A_b[a_2,\dots,a_n]\subset K$、すなわち $K=A_b[a_2,\dots,a_n]$ である。基本事実 1 により、$K$ は $A_b$ 加群として有限生成であり、$K$ のすべての元が $A_b$ 上整である（$n=1$ のときは $b=1$、$K=A$ と読む）。
基本事実 2 により、$b$ の既約因子のどれとも異なるモニックな既約多項式 $p\in A$ がとれる。一変数の多項式環は単項イデアル整域なので $p$ は素元であり、$p$ は $b$ を割らない。$1/p\in L\subset K$ は $A_b$ 上整なので、ある $m\ge1$ と $c_0,\dots,c_{m-1}\in A_b$ で
$$ \Bigl(\frac1p\Bigr)^m+c_{m-1}\Bigl(\frac1p\Bigr)^{m-1}+\cdots+c_0=0 $$
となる。$N$ を十分大きくとって $b^Nc_j\in A$（$0\le j\le m-1$）とし、両辺に $p^mb^N$ を掛けると
$$ b^N=-p\bigl(b^Nc_{m-1}+b^Nc_{m-2}\,p+\cdots+b^Nc_0\,p^{m-1}\bigr) $$
が $A$ の中で成り立つ。右辺の括弧の中は $A$ の元なので $p$ は $b^N$ を割り、$p$ は素元なので $b$ を割る。これは $p$ の選び方に反する。
よって $a_1$ は $k$ 上代数的であり、$[K:k]<\infty$ である。$\square$

$K:=A/\mathfrak m$ は体であり、合成 $k\to A\to K$ は体からの環準同型なので単射である。これで $k$ を $K$ の部分体とみなす。$A=k[a_1,\dots,a_n]$ なら $K$ は $a_1,\dots,a_n$ の剰余類で $k$ 上環として生成されるので、thm-zl-main により $[K:k]<\infty$ である。$k$ が代数閉なら、$\beta\in K$ の $k$ 上の最小多項式は既約で、したがって 1 次式なので $\beta\in k$ である。$\square$

$\mathfrak p:=\varphi^{-1}(\mathfrak n)$ とおく。$\varphi$ は単射 $A/\mathfrak p\hookrightarrow B/\mathfrak n$ を誘導する。cor-zl-residue により $B/\mathfrak n$ は $k$ 上有限次元なので、その部分 $k$ ベクトル空間 $D:=A/\mathfrak p$ も有限次元であり、体の部分環として整域である（$1\ne0$ も $B/\mathfrak n$ から受け継ぐ）。$0\ne x\in D$ について、掛け算 $y\mapsto xy$ は $D$ の $k$ 線形写像で、$D$ が整域なので単射である。有限次元なので全射でもあり、$xy=1$ となる $y\in D$ がある。よって $D$ は体であり、$\mathfrak p$ は極大イデアルである。$\square$

$K=\mathbb Z[a_1,\dots,a_n]$ とする。
$K$ の標数が素数 $p$ のとき、$K$ は素体 $\mathbb F_p$ を含み、$K=\mathbb F_p[a_1,\dots,a_n]$ である。thm-zl-main により $K$ は $\mathbb F_p$ 上有限次元であり、有限体である。
$K$ の標数が $0$ だと仮定して矛盾を導く。このとき $\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset K$ であり、$K=\mathbb Q[a_1,\dots,a_n]$ なので、thm-zl-main により $K$ は $\mathbb Q$ 上有限次元、とくに $\mathbb Q$ 加群として有限生成である。$\mathbb Z$ は Noether 環で $K$ は $\mathbb Z$ 上有限生成なので、有限生成代数 の定理「Artin–Tate の補題」を $\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset K$ に当てると、$\mathbb Q$ は $\mathbb Z$ 上有限生成である。そこで $\mathbb Q=\mathbb Z[u_1/v_1,\dots,u_s/v_s]$（$u_i,v_i\in\mathbb Z$、$v_i\ge1$）と書き、$v:=v_1\cdots v_s$ とおく。$\mathbb Q$ の元はすべて $c/v^N$（$c\in\mathbb Z$、$N\ge0$）の形である。$v$ を割らない素数 $q$ をとると、$1/q=c/v^N$ から $v^N=qc$ となり、$q$ は $v$ を割ってしまう。これは矛盾である。$\square$

$\beta\in K$ が $k$ 上超越的だと仮定する。各 $c\in k$ について $\beta-c\ne0$ なので、$K$ の中に $1/(\beta-c)$ がある。相異なる $c_1,\dots,c_s\in k$ と $\lambda_1,\dots,\lambda_s\in k$ が $\sum_j\lambda_j/(\beta-c_j)=0$ を満たすとし、両辺に $\prod_l(\beta-c_l)$ を掛けると、$P(t):=\sum_j\lambda_j\prod_{l\ne j}(t-c_l)\in k[t]$ について $P(\beta)=0$ を得る。$\beta$ は超越的なので $P=0$ であり、$t=c_j$ を代入して $\lambda_j\prod_{l\ne j}(c_j-c_l)=0$、よって $\lambda_j=0$ である。したがって $\{1/(\beta-c)\mid c\in k\}$ は $K$ の中の非可算個の元からなる一次独立な族である。
一方、$K$ は可算個の元 $v_1,v_2,\dots$ で張られる。$K_N$ を $v_1,\dots,v_N$ が張る部分空間とすると $K=\bigcup_NK_N$ であり、非可算個の族の元はどれかの $K_N$ に入るので、ある $N$ について $K_N$ は族の元を無限個含む。これは $N$ 次元以下の空間の一次独立な族が $N$ 個以下の元しか含まないことに反する。$\square$