ネット

(1 ⇒ 2) $x\in\overline{A}$ なので、閉包の触点による特徴づけにより、各 $U\in\mathcal{N}(x)$ に対し $U\cap A\neq\emptyset$ である。選択公理により $a_U\in U\cap A$ を選ぶと、ex-net-neighborhood によりネット $(a_U)_{U\in\mathcal{N}(x)}$ は $x$ に収束し、その点はすべて $A$ に属する。
(2 ⇒ 1) $A$ 内のネット $(x_d)_{d\in D}$ が $x$ に収束するとする。$x$ の任意の近傍 $V$ に対し、ある $d_0\in D$ が存在して $d\ge d_0$ なら $x_d\in V$ である。反射律より $d_0\ge d_0$ なので $x_{d_0}\in V\cap A$、すなわち $V\cap A\neq\emptyset$。$V$ は任意だったので $x\in\overline{A}$ である。
最後の主張：$A$ が閉なら $\overline{A}=A$ なので、(2 ⇒ 1) により $A$ 内の収束ネットの極限は $A$ に属する。逆に $A$ 内の収束ネットの極限がつねに $A$ に属するなら、(1 ⇒ 2) により $\overline{A}\subset A$、よって $A$ は閉である。$\square$

(1 ⇒ 2) $(x_d)_{d\in D}$ を $x_0$ に収束するネットとし、$V$ を $f(x_0)$ の近傍とする。連続性より $x_0$ の近傍 $U$ で $f(U)\subset V$ となるものがあり、$x_d\to x_0$ より、ある $d_0$ が存在して $d\ge d_0$ なら $x_d\in U$、したがって $f(x_d)\in V$ である。よって $f(x_d)\to f(x_0)$。
(2 ⇒ 1) 対偶を示す。$f$ が $x_0$ で連続でないとすると、$f(x_0)$ のある近傍 $V$ が存在して、$x_0$ のどの近傍 $U$ についても $f(U)\not\subset V$、すなわち $f(x_U)\notin V$ となる $x_U\in U$ がとれる。ex-net-neighborhood によりネット $(x_U)_{U\in\mathcal{N}(x_0)}$ は $x_0$ に収束するが、すべての $U$ で $f(x_U)\notin V$ なので $(f(x_U))_U$ は $f(x_0)$ の近傍 $V$ に最終的に入ることがなく、$f(x_0)$ に収束しない。これは 2 の否定である。$\square$

(1 ⇒ 2) ネット $(x_d)_{d\in D}$ が $x$ と $y$ に収束し、$x\neq y$ と仮定する。Hausdorff 性より $x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$ となる開集合 $U,V$ がとれる。$d\ge d_1$ なら $x_d\in U$、$d\ge d_2$ なら $x_d\in V$ となる $d_1,d_2$ をとり、有向性により $d_3\ge d_1,d_2$ をとると $x_{d_3}\in U\cap V=\emptyset$ となり矛盾する。
(2 ⇒ 1) 対偶を示す。$X$ が Hausdorff でないとすると、相異なる $x,y$ で、$x$ の任意の近傍 $U$ と $y$ の任意の近傍 $V$ が交わるものがある。$D:=\mathcal{N}(x)\times\mathcal{N}(y)$ に $(U,V)\le(U',V'):\Longleftrightarrow U\supset U'$ かつ $V\supset V'$ と定めると、$(U\cap U',V\cap V')$ が共通の上界となるので $D$ は有向集合である（有向集合の直積）。各 $(U,V)\in D$ に対し $z_{(U,V)}\in U\cap V$ を選ぶ。$x$ の近傍 $U_0$ に対し $d_0:=(U_0,X)$ とおくと、$(U,V)\ge d_0$ なら $z_{(U,V)}\in U\subset U_0$ なので $z\to x$ であり、同様に $z\to y$ である。よって二点に収束するネットが存在し、2 が破れる。$\square$

(1 ⇒ 2) $E:=\{(d,U)\in D\times\mathcal{N}(x)\mid x_d\in U\}$ とおき、$(d,U)\le(d',U'):\Longleftrightarrow d\le d'$ かつ $U\supset U'$ と定める。反射律・推移律は明らかである。$E\neq\emptyset$ かつ有向であることを示す。$(d_1,U_1),(d_2,U_2)\in E$ に対し、$D$ の有向性より $d\ge d_1,d_2$ をとり、$U:=U_1\cap U_2\in\mathcal{N}(x)$ とおく。$x$ は集積点なので $d'\ge d$ かつ $x_{d'}\in U$ となる $d'$ があり、$(d',U)\in E$ は両者の共通の上界である。また $D\neq\emptyset$ と $x_d\in X$ より $(d,X)\in E$ なので $E\neq\emptyset$ である。$\varphi(d,U):=d$ とおく。$\varphi$ は共終である：$d\in D$ に対し $e_0:=(d,X)\in E$ とすると、$(d'',U)\ge e_0$ なら $\varphi(d'',U)=d''\ge d$ である。部分ネット $(x_{\varphi(e)})_{e\in E}$ は $x$ に収束する：$x$ の近傍 $V$ に対し、$x$ が集積点であることから $x_{d_1}\in V$ なる $d_1$ がとれるので $e_0:=(d_1,V)\in E$ とおくと、$(d,U)\ge e_0$ なら $U\subset V$ かつ $x_d\in U$ より $x_{\varphi(d,U)}=x_d\in V$ である。
(2 ⇒ 1) 部分ネット $(x_{\varphi(e)})_{e\in E}$ が $x$ に収束するとする。$x$ の近傍 $V$ と $d\in D$ に対し、共終性より $e\ge e_1\Rightarrow\varphi(e)\ge d$ なる $e_1$、収束より $e\ge e_2\Rightarrow x_{\varphi(e)}\in V$ なる $e_2$ がある。$E$ の有向性で $e\ge e_1,e_2$ をとり $d':=\varphi(e)$ とすれば $d'\ge d$ かつ $x_{d'}\in V$ である。$\square$

2 と 3 の同値は prop-net-cluster-subnet による。
(1 ⇒ 2) $(x_d)_{d\in D}$ をネットとし、各 $d\in D$ に対し $A_d:=\overline{\{x_{d'}\mid d'\ge d\}}$ とおく。$\bigcap_{d\in D}A_d=\emptyset$ と仮定すると $\{X\setminus A_d\mid d\in D\}$ は $X$ の開被覆なので、有限個の $d_1,\dots,d_n$ で $X=\bigcup_i(X\setminus A_{d_i})$、すなわち $A_{d_1}\cap\cdots\cap A_{d_n}=\emptyset$ となる。しかし有向性により $d\ge d_1,\dots,d_n$ なる $d$ がとれ、$x_d$ はすべての $A_{d_i}$ に属するので矛盾する。よって $x\in\bigcap_d A_d$ が存在する。この $x$ は集積点である：$x$ の近傍 $V$ と $d\in D$ に対し、$x\in A_d=\overline{\{x_{d'}\mid d'\ge d\}}$ なので $V$ は $\{x_{d'}\mid d'\ge d\}$ と交わり、$d'\ge d$ かつ $x_{d'}\in V$ となる $d'$ がある。
(2 ⇒ 1) 対偶を示す。$X$ がコンパクトでないとし、有限部分被覆を持たない開被覆 $\mathcal{U}$ をとる。$D:=\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(\mathcal{U})$（$\mathcal{U}$ の有限部分族全体）を包含で順序づけると有向集合であり、各 $F\in D$ は $X$ を覆わないので $x_F\in X\setminus\bigcup F$ が選べる。ネット $(x_F)_{F\in D}$ が集積点 $x$ を持つと仮定する。$\mathcal{U}$ は被覆なので $x\in U$ なる $U\in\mathcal{U}$ があり、$U$ は $x$ の近傍である。集積点の定義を $V=U$、$d=\{U\}$ に適用すると、$F\supset\{U\}$ かつ $x_F\in U$ なる $F$ が存在するが、$U\in F$ より $x_F\notin\bigcup F\supset U$ であり矛盾する。よって $(x_F)$ は集積点を持たず、2 が破れる。$\square$

1. $D\neq\emptyset$ より末尾集合は少なくとも一つあり、各 $T_d$ は $x_d$ を含むので空でない。$d_1,d_2$ に対し $d_3\ge d_1,d_2$ をとると $T_{d_3}\subset T_{d_1}\cap T_{d_2}$ なので、$\{T_d\}$ はフィルター基であり、$\mathcal{F}_{(x_d)}$ はフィルターである（フィルターの「フィルター基が生成するフィルター」）。$x_d\to x$ は「任意の $V\in\mathcal{N}(x)$ に対しある $d$ で $T_d\subset V$」と同値であり、これは $\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{F}_{(x_d)}$ にほかならない。
2. $X\in\mathcal{F}$ かつ $\emptyset\notin\mathcal{F}$ より $X\neq\emptyset$ なので $D_{\mathcal{F}}\neq\emptyset$ である。反射律・推移律は包含のそれから従う。$(a,A),(b,B)\in D_{\mathcal{F}}$ に対し $A\cap B\in\mathcal{F}$ は空でないので $c\in A\cap B$ がとれ、$(c,A\cap B)$ が共通の上界である。$(a_0,A_0)$ 以降の末尾集合は $\{a\mid\text{ある }A\in\mathcal{F},\ A\subset A_0,\ a\in A\}=A_0$（$a\in A_0$ なら $(a,A_0)\ge(a_0,A_0)$）なので、末尾集合の全体は $\mathcal{F}$ 自身であり、末尾フィルターは $\mathcal{F}$ である。最後の主張は (1) から従う。$\square$