Kleinの四元群

$V_4$ の元は
$$ (0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad (1,1) $$
の四つであり、演算は各座標での法 $2$ の加法である。非単位元 $(a,b)$ では $(a,b)+(a,b)=(0,0)$ であるから、その位数は $2$ である。

法 $2$ の加法は可換であり、直積の演算は座標ごとに行うので、任意の二元の和は順序を入れ替えても変わらない。

もし位数 $4$ の群 $V_4$ が一元で生成されるなら、その生成元の位数は $4$ である（巡回群の分類により）。しかし prop-klein-orders により、どの非単位元の位数も $2$ である。したがって $V_4$ は巡回群ではない。

位数 $4$ の群 $G$ が位数 $4$ の元をもてば、$G$ はその元で生成される巡回群であり、$C_4$ と同型である。そうでなければ、Lagrangeの定理により非単位元の位数は $4$ の約数のうち $1$ を除いたもの、すなわち $2$ か $4$ に限られるので、位数 $4$ の元がないという仮定からすべての非単位元の位数は $2$ である。このとき相異なる非単位元 $a,b$ に対して $ab\notin\{e,a,b\}$ である。実際 $ab=e$ なら $b=a^{-1}=a$ となり $a\neq b$ に反し、$ab=a$ または $ab=b$ なら消去して $b=e$ または $a=e$ となり非単位元であることに反する。したがって $G=\{e,a,b,ab\}$ の乗積表は $V_4$ の乗積表と一致し、$G\cong V_4$ である。

各 $H_i$ は単位元と一つの位数 $2$ の元からなり、演算と逆元について閉じているので部分群である。部分群 $H$ が非単位元 $x$ を一つだけ含むなら、$H=\{(0,0),x\}$ である。異なる二つの非単位元を含むなら、その和は残りの非単位元であるため、$H$ は四元をすべて含んで $H=V_4$ となる。したがって、これ以外の部分群はない。