Hurewiczファイブレーション

1：$f=(f_A,f_E)\colon Y\to A\times_BE$ と $h\colon Y\times I\to A$ で $h(y,0)=f_A(y)$ とする。$g\circ h$ は $g\circ f_A=p\circ f_E$ から始まるので、$f_E$ を始点とする持ち上げ $H_E\colon Y\times I\to E$ がある。$H:=(h,H_E)$ は $A\times_BE$ に値をもつ連続写像で、$H(y,0)=f(y)$、$q\circ H=h$ である。

2：$f\colon Y\to E$ と $h\colon Y\times I\to C$ で $h(y,0)=q(p(f(y)))$ とする。$q$ について $p\circ f$ を始点とする持ち上げ $h'\colon Y\times I\to B$ をとり、次に $p$ について $f$ を始点とする $h'$ の持ち上げ $H$ をとれば、$q\circ p\circ H=q\circ h'=h$ である。

3：包含 $U\to B$ に沿った引き戻しは、$e\mapsto(p(e),e)$ によって $p^{-1}(U)\to U$ と同一視できるので、1 から従う。$\square$

レトラクション．$m(s):=\min(s,1-s)$ とし、$q=(s,t)\in Q$ について、$t\le4m(s)$ なら $r(q):=\bigl(\frac12+\frac{2s-1}{2-t},\,0\bigr)$、$t\ge4m(s)$ なら $r(q):=\bigl(\frac{1+\varepsilon}2,\,2-\frac{2-t}{|2s-1|}\bigr)$（$\varepsilon$ は $2s-1$ の符号）とおく。後者の範囲では $|2s-1|=1-2m(s)\ge1-\frac t2\ge\frac12$ なので式は意味をもち、境界 $t=4m(s)$ では $|2s-1|=\frac{2-t}2$ から両式はともに $(\frac{1+\varepsilon}2,0)$ になる。よって $r$ は連続である。前者の範囲では $|2s-1|\le\frac{2-t}2$ から第 1 成分は $[0,1]$ に入り、後者の範囲では $1\le\frac{2-t}{|2s-1|}\le2$ から第 2 成分は $[0,1]$ に入るので、$r(Q)\subset V$ である。$t=0$ なら $r(s,0)=(s,0)$、$s\in\{0,1\}$ なら $r(s,t)=(s,t)$ なので、$r$ は $V$ の上で恒等写像である。

持ち上げ．$d(q):=\min(1,|q-r(q)|)$（$|\cdot|$ は Euclid ノルム）は連続で、$d(q)=0$ と $q\in V$ は同値である。$\sigma_q(\theta):=(1-\theta)r(q)+\theta q\in Q$ とし、$d(q)>0$ なら $\psi_{y,q}(\theta):=K\bigl(y,\sigma_q(\min(\theta/d(q),1))\bigr)$、$d(q)=0$ なら $\psi_{y,q}(\theta):=K(y,q)$ とおく。$(y,q,\theta)\mapsto\psi_{y,q}(\theta)$ は $d>0$ の範囲で連続である。$q_0\in V$ では $|\sigma_q(\theta')-q_0|\le|r(q)-q|+|q-q_0|$ が $\theta'$ によらず $q\to q_0$ で $0$ に近づくので、$K$ の $(y_0,q_0)$ での連続性から、$(y,q)$ が $(y_0,q_0)$ に近ければすべての $\theta$ で $\psi_{y,q}(\theta)$ は $K(y_0,q_0)$ に近い。よって $(y,q)\mapsto\psi_{y,q}$ は連続写像 $Y\times Q\to B^I$ である。$\psi_{y,q}(0)=K(y,r(q))=p(G(y,r(q)))$ なので、prop-hf-lifting-function の持ち上げ関数 $s$ を使って $$\Lambda(y,q):=s\bigl(G(y,r(q)),\psi_{y,q}\bigr)\bigl(d(q)\bigr)$$ とおける。$\Lambda$ は連続である。$q\in V$ なら $d(q)=0$、$r(q)=q$ から $\Lambda(y,q)=G(y,q)$ である。$p(\Lambda(y,q))=\psi_{y,q}(d(q))$ は、$d(q)>0$ なら $K(y,\sigma_q(1))=K(y,q)$、$d(q)=0$ なら $K(y,q)$ である。$\square$

(a)．$g_0\colon E\to D$ を $f$ のホモトピー逆写像、$F\colon f\circ g_0\simeq\mathrm{id}_E$ とする。$q\circ F$ は $q\circ f\circ g_0=p\circ g_0$ から始まるので、$p$ の持ち上げ $G\colon E\times I\to D$ で $G_0=g_0$、$p\circ G=q\circ F$ となるものがある。$g_1:=G_1$ は $p\circ g_1=q$ を満たし、$g_1\simeq g_0$ である。$a:=f\circ g_1$ は $q\circ a=p\circ g_1=q$ を満たし、$a\simeq f\circ g_0\simeq\mathrm{id}_E$ である。ホモトピー $h\colon E\times I\to E$、$h_0=a$、$h_1=\mathrm{id}_E$ を 1 つとる。$q\circ h$ は $q\circ a=q$ から始まるので、$q$ の持ち上げ $k\colon E\times I\to E$ で $k_0=\mathrm{id}_E$、$q\circ k=q\circ h$ となるものがある。$\kappa:=k_1$ は $q\circ\kappa=q\circ h_1=q$ を満たす。

$s\le\frac12$ で $J(x,s):=a(k(x,1-2s))$、$s\ge\frac12$ で $J(x,s):=h(x,2s-1)$ とおくと、$J$ は $a\circ\kappa$ から $\mathrm{id}_E$ へのホモトピーである（$s=\frac12$ で両式は $a(x)$）。$q\circ a=q$ から $q(J(x,s))$ は $s\le\frac12$ で $q(h(x,1-2s))$、$s\ge\frac12$ で $q(h(x,2s-1))$ である。$Q$ の点 $(s,t)$ について $$K(x,s,t):=\begin{cases}q\bigl(h(x,1-2s(1-t))\bigr)&(s\le\frac12)\\ q\bigl(h(x,1-2(1-s)(1-t))\bigr)&(s\ge\frac12)\end{cases}$$ とおくと、$s=\frac12$ で両式は $q(h(x,t))$ に一致し、$K(x,s,0)=q(J(x,s))$、$K(x,0,t)=K(x,1,t)=K(x,s,1)=q(h(x,1))=q(x)$ である。$V$ の上で $G'(x,s,0):=J(x,s)$、$G'(x,0,t):=a(\kappa(x))$、$G'(x,1,t):=x$ と指定すると、角で値は一致し（$J(x,0)=a(\kappa(x))$、$J(x,1)=x$）、$q\circ G'=K|_{E\times V}$ である。lem-hf-relative による持ち上げ $\Lambda$ について $R(x,s):=\Lambda(x,s,1)$ とおくと、$R$ は $a\circ\kappa$ から $\mathrm{id}_E$ へのホモトピーで、$q(R(x,s))=K(x,s,1)=q(x)$ を満たす。

$g:=g_1\circ\kappa$ とおく。$p\circ g=q\circ\kappa=q$ なので $g$ は $B$ 上の写像で、$f\circ g=a\circ\kappa$ だから $R$ は $f\circ g\simeq_B\mathrm{id}_E$ を与える。さらに $g\simeq g_0\circ\mathrm{id}_E=g_0$ なので、$g$ はホモトピー同値である（ホモトピー同値 の命題「ホモトピックな写像への置換」）。

(b)．(a) を、ファイブレーション $q$、$p$ の間の $B$ 上のホモトピー同値 $g\colon E\to D$ に当てはめると、$B$ 上の写像 $f'\colon D\to E$ で $g\circ f'\simeq_B\mathrm{id}_D$ となるものがある。$f\circ g\simeq_B\mathrm{id}_E$ の右から $f'$ を合成して $f\circ g\circ f'\simeq_B f'$、$g\circ f'\simeq_B\mathrm{id}_D$ の左から $f$ を合成して $f\circ g\circ f'\simeq_B f$ を得る（$q\circ f=p$ なので、どちらも $B$ 上のホモトピーである）。よって $f\simeq_Bf'$ であり、$g\circ f\simeq_Bg\circ f'\simeq_B\mathrm{id}_D$ である。$f\circ g\simeq_B\mathrm{id}_E$ と合わせて、$g$ は $f$ の $B$ 上のホモトピー逆写像である。$\square$

(i) 道の空間の被覆．$T=(j_1,\dots,j_n)$（$n\ge1$、$j_i\in J$、繰り返しを許す）について $|T|:=n$、$J_i:=[\frac{i-1}n,\frac in]$ とし、$\lambda_T(\beta):=\min_i\min_{t\in J_i}\lambda_{j_i}(\beta(t))$、$W_T:=\{\lambda_T>0\}$ とおく。$\Phi(\beta,t):=\lambda_j(\beta(t))$ は連続なので、コンパクトな $J_i$ の各点で $\Phi$ の値の変動を $\varepsilon$ 未満にする積近傍をとり有限個で $J_i$ を覆えば、$\beta\mapsto\min_{t\in J_i}\Phi(\beta,t)$ は連続である。よって $\lambda_T$ は連続で、$W_T=\{\beta\mid\beta(J_i)\subset U_{j_i}\ (1\le i\le n)\}$ は開集合である。$\{\beta^{-1}(U_j)\}$ の Lebesgue 数から、$\{W_T\}$ は $B^I$ を覆う。各 $n$ について $\{W_T\}_{|T|=n}$ は局所有限である。実際、$\beta_0(I)$ の各点に有限個の $U_j$ とだけ交わる開近傍をとり、コンパクト性から有限個で $\beta_0(I)$ を覆ってその和を $N$ とすると、$N$ は有限個の $U_j$ とだけ交わり、近傍 $\{\beta\mid\beta(I)\subset N\}$ と交わる $W_T$ の $T$ の成分はその有限個に限られる。

$\gamma_T:=\max\bigl(0,\lambda_T-|T|\sum_{|S|< |T|}\lambda_S\bigr)$ とおく。和は局所的に有限和なので $\gamma_T$ は連続である。$\beta$ で $\lambda_S(\beta)>0$ となる $S$ のうち $|S|$ が最小のものでは $\gamma_S(\beta)=\lambda_S(\beta)>0$ なので、$\{\gamma_T>0\}$ は $B^I$ を覆う。$\lambda_S(\beta_0)>0$ となる $S$ をとり、$\lambda_S\ge\varepsilon>0$ となる $\beta_0$ の近傍をとると、$|T|>|S|$ かつ $|T|\varepsilon\ge1$ なら $\gamma_T\le\max(0,1-|T|\varepsilon)=0$ である。残る有限個の長さについては上の局所有限性を使えば、$\beta_0$ の近傍で恒等的に $0$ でない $\gamma_T$ は有限個である。また $\gamma_T\le\lambda_T$ から $\{\gamma_T>0\}\subset W_T$ である。$\alpha_T:=\gamma_T/\sum_S\gamma_S$、$\mu:=\max_T\alpha_T$（局所的に有限個の最大なので連続で正）、$b_T:=\max(0,\alpha_T-\mu/2)$、$a_T:=b_T/\sum_Sb_S$ とおく。$\sum_Sb_S\ge\mu/2>0$ なので $a_T$ は連続で、局所有限で、$\sum_Ta_T=1$ である。$\{a_T>0\}\subset\{\alpha_T\ge\mu/2\}$ は閉集合で $\{\alpha_T>0\}\subset W_T$ に含まれるので、$\overline{\{a_T>0\}}\subset W_T$ である。$J$ の有限列の全体に全順序を 1 つ固定する（整列可能定理）。すると、各 $\beta_0$ は開近傍 $O$ と有限個の $T_1< \cdots< T_m$ をもち、$O$ の上でほかの $a_T$ は恒等的に $0$、各 $k$ で $O\subset W_{T_k}$ となる。実際、局所有限性から候補を有限個にし、そのうち $\beta_0\notin\overline{\{a_T>0\}}$ のものは近傍を縮めて $0$ にし、残りは $\beta_0\in W_T$ なので近傍を $W_T$ の中に縮める。

(ii) 部分区間の持ち上げ．各 $j$ について $p^{-1}(U_j)\to U_j$ の持ち上げ関数 $s_j$ を選ぶ（prop-hf-lifting-function）。$T=(j_1,\dots,j_n)$ について $P_T:=\{(e,\beta,u,v)\in E\times W_T\times I\times I\mid u\le v,\ p(e)=\beta(u)\}$ とおき、$\ell_i:=\frac{i-1}n$、$r_i:=\frac in$、$c_i:=\max(u,\min(v,r_i))$（$c_0=u$、$c_n=v$）とする。$e_0:=e$ から始め、$i=1,\dots,n$ について、閉集合 $D_i:=\{u\le r_i,\ v\ge\ell_i\}$ の上では $a_i:=\max(u,\ell_i)$、$b_i:=\min(v,r_i)$、$\psi_i(\theta):=\beta(\min(a_i+\theta,b_i))$ として $e_i:=s_{j_i}(e_{i-1},\psi_i)(b_i-a_i)$、閉集合 $Z_i:=\{u\ge r_i\}\cup\{v\le\ell_i\}$ の上では $e_i:=e_{i-1}$ とおく。$p(e_{i-1})=\beta(c_{i-1})$ を帰納法の仮定とする。$D_i$ の上では $c_{i-1}=a_i$ であり、$[a_i,b_i]\subset J_i$ から $\psi_i$ は $U_{j_i}$ の中の道で $\psi_i(0)=\beta(a_i)=p(e_{i-1})$ なので、$e_i$ は意味をもち $p(e_i)=\beta(b_i)=\beta(c_i)$ である。$Z_i$ の上では $c_i=c_{i-1}$ である。$D_i\cap Z_i$ の上では $a_i=b_i$ で $s_{j_i}(e_{i-1},\psi_i)(0)=e_{i-1}$ なので両式は一致し、$D_i\cup Z_i=P_T$ である。よって帰納的に $e_i$ は $P_T$ 上の連続写像で、$\Phi_T:=e_n$ は連続、$p(\Phi_T(e,\beta,u,v))=\beta(v)$、$\Phi_T(e,\beta,u,u)=e$ を満たす。

(iii) 貼り合わせ．$(e,\beta)\in N_p$ について、$a_T(\beta)>0$ となる $T$ を全順序で $T_1< \cdots< T_m$ と並べ、$c_0:=0$、$c_k:=\sum_{i\le k}a_{T_i}(\beta)$（$c_m=1$）とおく。$e_0:=e$、$e_k:=\Phi_{T_k}(e_{k-1},\beta,c_{k-1},c_k)$ とし、$c_{k-1}\le t\le c_k$ で $H((e,\beta),t):=\Phi_{T_k}(e_{k-1},\beta,c_{k-1},t)$ とおく。$\beta\in W_{T_k}$ と $p(e_{k-1})=\beta(c_{k-1})$ から各項は意味をもち、区間の端では $\Phi_{T_{k+1}}(e_k,\beta,c_k,c_k)=e_k$ なので $H$ は矛盾なく定まり、$H((e,\beta),0)=e$、$p(H((e,\beta),t))=\beta(t)$ である。連続性を示す。$\beta_0$ について (i) の $O$ と $T_1< \cdots< T_m$ をとる。$O$ の上で同じ式をこの固定した列で書くと、重みが $0$ の段では $c_{k-1}=c_k$ で $\Phi(e',\beta,c,c)=e'$ なので値は変わらない。この固定した列では $c_k$ は $O$ 上の連続関数、$e_k$ は連続で、$H$ は有限個の閉集合 $\{c_{k-1}(\beta)\le t\le c_k(\beta)\}$ の上の連続写像を境界で一致させて貼ったものなので、$\{(e,\beta)\in N_p\mid\beta\in O\}\times I$ の上で連続である。よって $H\colon N_p\times I\to E$ は連続で、その随伴は $p$ の持ち上げ関数である。prop-hf-lifting-function から $p$ はファイブレーションである。$\square$