Eichler–志村同型

上の定義のもとで $(a-X)^w=\sum_i\binom wia^{w-i}(-1)^iX^i$ と $(b-X)^w$ を展開すると、$\langle(a-X)^w,(b-X)^w\rangle=\sum_i\binom wi^2a^{w-i}b^i(-1)^{w}\langle X^i,X^{w-i}\rangle=\sum_i\binom wia^{w-i}(-b)^i=(a-b)^w$ である。相異なる $w+1$ 個の $a$ で $(a-X)^w$ は $V_w$ を張る（Vandermonde 行列式）ので、一意性が従う。$h=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\c&d\end{pmatrix}$ とし、$j(a):=\alpha-ca$ とおく。$j(a)\ne0$ なら直接の計算で $(a-X)^w|h=j(a)^w(h^{-1}a-X)^w$ であり、$h^{-1}a-h^{-1}b=(a-b)/(j(a)j(b))$ なので $\langle(a-X)^w|h,(b-X)^w|h\rangle=(a-b)^w$ である。$j(a)\ne0$ となる $a$ だけでも $V_w$ を張るので、不変性が従う。$\square$

$\Theta:=\omega_f+\bar\omega_g$、$F(z):=\int_\infty^z\Theta$ とおくと $dF=\Theta$ である。lem-esi-transform により、$\gamma\in\Gamma$ について$$F(\gamma z)|\gamma=\int_{\gamma^{-1}\infty}^{z}\Theta=F(z)+(\varphi_f+\bar\varphi_g)(\gamma)$$である。仮定から $(\varphi_f+\bar\varphi_g)(\gamma)=v|\gamma-v$ となる $v\in V_w$ がある。$G:=F-v$ とおくと、$dG=\Theta$ かつ $G(\gamma z)|\gamma=G(z)$ である。

$\mathfrak{H}$ の上の 1 形式 $\eta:=\langle G,\bar\omega_f\rangle$ を考える。lem-esi-pairing と lem-esi-transform により $\gamma^*\eta=\eta$ である。$\bar\omega_f$ は閉で、$\bar\omega_g\wedge\bar\omega_f=0$（$(0,2)$ 形式）なので$$d\eta=\langle\omega_f\wedge\bar\omega_f\rangle=\lvert f\rvert^2(z-\bar z)^w\,dz\wedge d\bar z=-(2i)^{w+1}\lvert f\rvert^2y^{k-2}\,dx\wedge dy$$である。$\Gamma$ の基本領域 $D$（有限個の測地線で囲まれ、尖点をもつ多角形）の各尖点の近くを、$\Gamma(1)$ の元で尖点を $\infty$ へ移したときの高さ $Y$ の線で切り落とした領域 $D_Y$ に Stokes の定理を当てる。$\Gamma$ で対になる辺の上の積分は $\eta$ の不変性で打ち消し合う。尖点の近くでは、$\sigma\in\Gamma(1)$ で尖点を $\infty$ へ移すと $f|_k\sigma$ は指数的に小さく、$G\circ\sigma$ は多項式程度の増大なので、切り口の上の積分は $Y\to\infty$ で $0$ に近づく。よって$$\int_D\lvert f\rvert^2y^{k}\,\frac{dx\,dy}{y^2}=0$$で、$f=0$ である。

$g$ については $\eta':=\langle G,\omega_g\rangle$ を使う。$\omega_f\wedge\omega_g=0$ なので $d\eta'=\langle\bar\omega_g\wedge\omega_g\rangle=\lvert g\rvert^2(\bar z-z)^w\,d\bar z\wedge dz$ であり、同じ議論で $g=0$ である。$\square$

$\bar\Gamma$ を $\Gamma$ の $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$ での像とする。$\mathbb{C}$ への準同型は有限位数の元（$-1$ を含む）で $0$ なので、$\mathrm{Hom}(\Gamma,\mathbb{C})=\mathrm{Hom}(\bar\Gamma,\mathbb{C})$ である。$E\subset\mathfrak{H}$ を楕円点の全体、$\mathfrak{H}^\circ:=\mathfrak{H}\setminus E$、$X^\circ:=\bar\Gamma\backslash\mathfrak{H}^\circ$ とする。$X^\circ$ は $X$ から有限集合 $T$（楕円点と尖点の像）を除いたものである。$\mathfrak{H}^\circ\to X^\circ$ は被覆で、基本群の全射 $r\colon\pi_1(X^\circ)\to\bar\Gamma$ を与え、核は $\pi_1(\mathfrak{H}^\circ)$ の像である。Van Kampenの定理 により、$q\colon\pi_1(X^\circ)\to\pi_1(X)$ は全射で、核は $T$ の各点をまわる小さい輪（の共役）で生成される。楕円点をまわる輪の $r$ での像は楕円元で、尖点をまわる輪の像は尖点を固定する元である。$\psi\in H^1_{\mathrm{par}}(\Gamma,\mathbb{C})$ なら、$\psi\circ r$ はこれらの輪で $0$ なので $\pi_1(X)$ の準同型を定める。逆に $\pi_1(X)$ の準同型 $\chi$ について、$\ker r$ は $E$ の点をまわる小さい輪（の共役）で生成され、それらは $X^\circ$ で楕円点の小さい輪の冪になるので、$\chi\circ q$ は $\ker r$ で $0$ であり、$\bar\Gamma$ の準同型を定める。これは尖点を固定する元で $0$ である。2 つの対応は互いに逆である。$H_1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{2g_X}$ なので次元は $2g_X$ である。$f\,dz$ は $\Gamma$ 不変なので $X^\circ$ の閉 1 形式を定め（thm-esi-weight-two の証明の次元の比較により、これは $X$ の正則 1 形式の引き戻しである）、$\gamma\in\bar\Gamma$ に対応する輪は $\mathfrak{H}$ の中の $z_0$ から $\gamma z_0$ への道の像である。$f\,dz$ の不変性から $\int_{z_0}^{\gamma z_0}f\,dz=\int_{\gamma^{-1}z_0}^{z_0}f\,dz$ で、$V_0$ ではコバウンダリが $0$ なので、基点を $\infty$ に取り替えてこれは $\varphi_f(\gamma)$ に等しい。$\square$

$\pi\colon\mathfrak{H}\to X$ を射影とする。$X$ の正則 1 形式 $\eta$ について $\pi^*\eta=f(z)\,dz$ と書くと、$f$ は重さ $2$ の変換則をみたす正則関数である。尖点 $\infty$ の局所座標 $q_h=e^{2\pi iz/h}$ で $\eta=u(q_h)\,dq_h$ と書くと、$f(z)=\frac{2\pi i}hq_hu(q_h)$ は $q_h=0$ で $0$ になる。ほかの尖点も $\sigma\in\Gamma(1)$ で移して同じである。よって $\eta\mapsto f$ は単射 $H^0(X,\Omega^1)\to S_2(\Gamma)$ であり、$\dim S_2(\Gamma)\ge g_X$ である。

一方 prop-esi-injective と prop-esi-pi1 から $2\dim S_2(\Gamma)\le2g_X$ である。よって $\dim S_2(\Gamma)=g_X$ で、$\mathrm{ES}$ は次元の等しい空間の単射なので同型である。Hodge 分解との対応は、prop-esi-pi1 の周期の対応による。$\square$

1 の証明：自由積なので、コサイクルは $a:=\varphi(S)$、$b:=\varphi(U)$ で決まり、$a\in\ker(1+S)$、$b\in\ker(1+U+U^2)$ は自由に選べる。$S,U$ は有限位数で半単純に働くので、$\dim\ker(1+S)=2m+1-d_S$、$\dim\ker(1+U+U^2)=2m+1-d_U$ である（$d_S,d_U$ は不変元の次元）。$V_w$ に不変元はないのでコバウンダリの次元は $2m+1$ で、$\dim H^1=2m+1-d_S-d_U$ である。$S,U$ の固有値は $e^{\pm\pi i/2},e^{\pm\pi i/3}$ で、$V_w$ の固有値はその $(2m-2j)$ 乗（$0\le j\le2m$）である。よって $d_S=\#\{j:j\equiv m\pmod2\}=m+\epsilon$、$d_U=\#\{j:j\equiv m\pmod3\}=2\lfloor m/3\rfloor+1$ である。

右辺の等式を見る。$m=6q+r$（$0\le r\le5$）とおくと $m-\epsilon-2\lfloor m/3\rfloor=2q+(r-\epsilon-2\lfloor r/3\rfloor)$ で、括弧の値は $r=0,1,2,3,4,5$ の順に $-1,1,1,1,1,3$ である。$k=12q+2r+2$ と 尖点形式 の定理「レベル 1 の空間と次元」の 2 を比べると、どの場合もこれは $2\dim S_k+1$ に等しい。

2 の証明：$T-1$ は次数をちょうど 1 下げるので $V_w|(T-1)$ は次数 $w-1$ 以下の多項式の空間である。尖点はすべて $\infty$ と $\Gamma(1)$ で移り合い、$\varphi(\sigma g\sigma^{-1})$ の放物的条件は $\varphi(g)$ のものと同値なので、放物的という条件は $\varphi(T)\in V_w|(T-1)$ と同じである。$\varphi$ はコバウンダリを引いて $\varphi(T)=0$ にでき、この正規化の残りは $T$ の不変元、すなわち定数のコバウンダリ $1|S-1=X^w-1$ である。$T=US$ から $0=\varphi(T)=\varphi(S)+\varphi(U)|S$ で、$\varphi(U)=\varphi(TS)=\varphi(S)$ なので、$P:=\varphi(S)$ は $W_w$ の元である。逆に $P\in W_w$ なら $a=b=P$ のコサイクルは $\varphi(T)=P|(1+S)=0$ をみたす。これで同型を得る。

$a=X^w-1$、$b=0$ のコサイクルは $\varphi(T)=X^w-1\notin V_w|(T-1)$ なので放物的でなく、$\varphi\mapsto(\varphi(T)$ の $X^w$ の係数$)$ は $H^1$ から $\mathbb{C}$ への全射で、核が $H^1_{\mathrm{par}}$ である。よって $\dim H^1_{\mathrm{par}}=2\dim S_k$ である。

3 の証明：prop-esi-injective と 2 の次元の一致による。$\square$