保守的関手

同義語：conservative functor同型を反映する関手

概要

前提知識: 関手, 同型射, 極限(圏論), 充満忠実関手

関手はいつも同型射を同型射に送る。逆に、像 $F(f)$ が同型射であることから元の射 $f$ が同型射であると結論できるとき、関手 $F$ は保守的（conservative）であるという。保守的な関手は、行き先の圏で同型を確かめれば元の圏でも同型だと分かる「同型の検出器」である。群や加群の準同型が同型であることを、台の写像が全単射であることで確かめてよいのは、忘却関手が保守的だからである。
この記事では、保守的関手を定義し、代数的な構造の忘却関手・充満忠実関手・亜群からの関手が保守的であり、位相空間の忘却関手や鎖複体のホモロジーが保守的でないことを確かめる。そのうえで、極限を保つ保守的関手は極限を反映すること、等化子を保つ保守的関手は忠実であること、引き戻しを保つ保守的関手はモノ射を反映することを証明する。最後に、仮定を 1 つずつ外した反例を表にまとめる。

定義

射の合成は $g\circ f$（先に $f$）と書く。

保守的関手

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が保守的（conservative）であるとは、$\mathcal C$ の任意の射 $f$ について、$F(f)$ が $\mathcal D$ の同型射ならば $f$ は $\mathcal C$ の同型射であることをいう。このとき $F$ は同型を反映する（reflects isomorphisms）ともいう。

関手は恒等射と合成を保つので、$f$ が逆射 $g$ をもてば $F(g)$ が $F(f)$ の逆射になる（関手の基本性質）。したがって $F$ が保守的であることは、
$$ f\ \text{が同型射}\iff F(f)\ \text{が同型射} $$
がすべての射 $f$ で成り立つことと同じである。保守的であることは射についての条件であり、「$F(x)\cong F(y)$ なら $x\cong y$」という対象についての条件とは別である（rem-cf-objects）。
この定義は Rie16 Lemma 5.6.1（p. 212）の中と Mac98 Chapter VI §7（p. 154）にある。

直感

保守的関手は、構造を忘れても「可逆かどうか」の情報だけは失わない関手である。群準同型 $f$ の逆写像は自動的に準同型になるので、群の同型は全単射な準同型と同じであり、忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は同型を検出する。一方、連続な全単射の逆写像は連続とは限らないので、$\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ は同型を検出しない。
同型の検出は、極限の検出にもつながる。極限は普遍性で定まり、二つの極限錐の比較射は同型射である。比較射が同型かどうかを行き先の圏で判定できれば、極限であるかどうかも行き先で判定できる（thm-cf-reflect-limits）。また、二つの射 $f,g$ が等しいことは、その等化子が同型であることと言い換えられるので、等化子を保つ保守的関手は射の区別も失わない（thm-cf-faithful）。

例

加群の忘却関手

$R$ を環とし、左 $R$ 加群と $R$ 線形写像の圏 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ から $\mathbf{Set}$ への忘却関手 $U$ を考える。$R$ 線形写像 $f\colon M\to N$ が全単射なら、逆写像 $f^{-1}$ も $R$ 線形である。実際、$y,y'\in N$、$r\in R$ について $x=f^{-1}(y)$、$x'=f^{-1}(y')$ とおくと $f(x+x')=y+y'$、$f(rx)=ry$ なので、$f^{-1}(y+y')=x+x'$、$f^{-1}(ry)=rx$ である。$\mathbf{Set}$ の同型射は全単射（同型射の補題「写像を射とする圏での同型射の判定」）なので、$U(f)$ が同型なら $f$ は同型であり、$U$ は保守的である。群・環・ベクトル空間の忘却関手も同じ議論で保守的である（群の場合は関手の命題「群の忘却関手は同型を反映する」）。

充満忠実関手の場合

充満忠実関手は保守的である（充満忠実関手の命題「充満忠実関手は同型射を反映する」）。とくに充満部分圏の包含関手と圏同値は保守的である。

亜群からの関手

すべての射が同型射である圏を亜群という。亜群からの関手は、仮定が何であれ結論「$f$ は同型射」が成り立つので、自動的に保守的である。たとえば $G$ を自明でない群とし、ただ 1 つの対象 $\ast$ と射の集合 $\operatorname{Hom}(\ast,\ast)=G$ からなる圏を $BG$ とする。$BG$ から 1 対象 1 射の圏 $\mathbf 1$ へのただ 1 つの関手は保守的だが、$G$ の異なる元を同じ射に送るので忠実でない。

反例：鎖複体のホモロジー

アーベル群の鎖複体と鎖写像の圏から、次数付きアーベル群の圏への関手 $H_\ast$（ホモロジーをとる関手）は保守的でない。$C$ を、次数 $1$ と $0$ に $\mathbb Z$ を置き、境界写像 $d_1\colon C_1\to C_0$ を恒等写像とし、ほかの次数を $0$ とした鎖複体とする。$d_1$ は全単射なので $H_1(C)=\ker d_1=0$、$H_0(C)=\mathbb Z/\operatorname{im}d_1=0$ であり、$C$ から零複体への鎖写像はホモロジーの同型を誘導する。しかし $C_0=\mathbb Z\neq0$ なので、この鎖写像は鎖複体の同型でない。ホモロジーの同型を誘導する鎖写像（擬同型）を同型射に変えた圏が導来圏である。

空間の側では、CW 複体の間の連続写像が $\pi_0$ の全単射と、すべての基点でのすべてのホモトピー群の同型を誘導すればホモトピー同値である（Whiteheadの定理）。これは、ホモトピー群がホモトピー同値を検出するという、保守性と同じ形の定理である。

反例：位相空間と順序集合の忘却関手

忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ は保守的でない。離散位相の $\mathbb R$ から通常の位相の $\mathbb R$ への恒等写像は連続な全単射だが、同相写像でない（関手の注意「反例：位相空間の忘却関手は同型を反映しない」）。同様に、半順序集合と単調写像の圏 $\mathbf{Pos}$ から $\mathbf{Set}$ への忘却関手も保守的でない。2 元集合 $\{a,b\}$ に自明な順序（$a\le a$、$b\le b$ だけ）を入れたものから $a< b$ の順序を入れたものへの恒等写像は単調な全単射だが、逆写像は $a\le b$ を保たないので単調でない。

対象についての条件とは別

保守的関手 $F$ について $F(x)\cong F(y)$ でも $x\cong y$ とは限らない。$F(x)$ と $F(y)$ の間の同型射が $F$ の像に入っているとは限らないからである。たとえば忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は保守的だが、巡回群 $\mathbb Z/4\mathbb Z$ と Klein の四元群 $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ は台集合が 4 元集合どうしで同型なのに、群として同型でない（前者は位数 $4$ の元をもち、後者はもたない）。

基本的な性質

合成と相殺

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$、$G\colon\mathcal D\to\mathcal E$ について次が成り立つ。

$F$ と $G$ が保守的なら、$G\circ F$ は保守的である。
$G\circ F$ が保守的なら、$F$ は保守的である。
$F$ と自然同型な関手 $F'\colon\mathcal C\to\mathcal D$ について、$F$ が保守的であることと $F'$ が保守的であることは同値である。

$GF(f)$ が同型なら、$G$ が保守的なので $F(f)$ は同型であり、$F$ が保守的なので $f$ は同型である。
$F(f)$ が同型なら、関手 $G$ は同型を保つので $GF(f)$ は同型であり、$GF$ が保守的なので $f$ は同型である。
$\alpha\colon F\Rightarrow F'$ を自然同型とする。射 $f\colon x\to y$ について自然性から $F'(f)=\alpha_y\circ F(f)\circ\alpha_x^{-1}$ であり、同型射の合成は同型射なので、$F(f)$ が同型であることと $F'(f)$ が同型であることは同値である。よって両者の保守性は同値である。$\square$

2 の逆は成り立たない。$F$ が保守的でも、$G$ が保守的でなければ $GF$ は保守的とは限らない。たとえば $F=\operatorname{id}_{\mathbf{Top}}$、$G$ を忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ とすればよい。

極限の反映

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が図式 $K\colon J\to\mathcal C$ の極限を反映するとは、$K$ 上の錐であって $F$ による像が $FK$ の極限錐になるものは、必ず $K$ の極限錐であることをいう（Rie16 Definition 3.4.1, p. 103。Mac98 Chapter VI §7, p. 154 は余極限について同じ定義を述べる）。$F$ が $K$ の極限を保つとは、$K$ の極限錐の像が $FK$ の極限錐になることをいう。

保守的関手は保つ極限を反映する

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を保守的関手とし、図式 $K\colon J\to\mathcal C$ が $\mathcal C$ で極限をもち、$F$ がその極限を保つとする。このとき $F$ は $K$ の極限を反映する。

$K$ の極限錐を $(L,(\pi_j\colon L\to K(j))_{j\in J})$ とし、$(c,(\lambda_j\colon c\to K(j))_{j})$ を $K$ 上の錐で、$(F(c),(F(\lambda_j))_j)$ が $FK$ の極限錐であるものとする。極限の普遍性により、すべての $j$ で $\pi_j\circ u=\lambda_j$ となる射 $u\colon c\to L$ がただ 1 つある。
$F$ を施すと $F(\pi_j)\circ F(u)=F(\lambda_j)$ である。仮定により $(F(L),(F(\pi_j))_j)$ と $(F(c),(F(\lambda_j))_j)$ はともに $FK$ の極限錐であり、$F(u)$ は前者を経由する後者の比較射である。二つの極限錐の間の比較射は同型射である。実際、極限錐 $(F(c),F(\lambda))$ の普遍性から $F(\lambda_j)\circ v=F(\pi_j)$ となる $v\colon F(L)\to F(c)$ があり、$F(u)\circ v$ と $v\circ F(u)$ はそれぞれの極限錐をそれ自身へ経由させる射なので、普遍性の一意性から恒等射に等しい。よって $F(u)$ は同型射であり、$F$ が保守的なので $u$ は同型射である。
最後に、錐 $(c,\lambda)$ が極限錐であることを示す。$K$ 上の錐 $(d,(\mu_j)_j)$ に対し、$\pi_j\circ w=\mu_j$ となる $w\colon d\to L$ がただ 1 つあるので、$u^{-1}\circ w$ が $\lambda_j\circ(u^{-1}\circ w)=\pi_j\circ w=\mu_j$ を満たす。逆に $\lambda_j\circ w'=\mu_j$ なら $\pi_j\circ(u\circ w')=\mu_j$ なので $u\circ w'=w$、すなわち $w'=u^{-1}\circ w$ である。よって $(c,\lambda)$ は極限錐である。$\square$

この定理から、極限をもつ $\mathcal C$ から $\mathcal D$ への、極限を保つ保守的関手は、極限を創出する（$F$ の像で極限錐であることと元の錐が極限錐であることが同値になる）。Rie16 Exercise 3.4.iii（p. 108）は、この形の主張を演習としている。双対に、余極限を保つ保守的関手は余極限を反映する。

群の直積の判定

群 $G$ と準同型 $p\colon G\to H$、$q\colon G\to H'$ について、写像 $(p,q)\colon G\to H\times H'$ が全単射なら、$(G,p,q)$ は群の圏での $H$ と $H'$ の直積である。忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は保守的で（ex-cf-modules）、群の直積の台集合は台集合の直積なので直積を保ち、thm-cf-reflect-limits が当てはまるからである。位相空間ではこれが成り立たない。空でない位相空間 $X,Y$ の少なくとも一方が離散でないとき、$X\times Y$ に離散位相を入れた空間と二つの射影は、台集合では直積錐だが、位相空間の圏での直積錐ではない（直積位相の $X\times Y$ からの比較射は恒等写像になるはずだが、直積位相は離散でないので、それは連続でない）。

忠実性とモノ射の反映

保守的関手は忠実とは限らない（ex-cf-groupoid）。しかし等化子を保てば忠実になる。

等化子を保つ保守的関手は忠実である

圏 $\mathcal C$ が等化子をもち、関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が保守的で、等化子を保つとする。このとき $F$ は忠実である。

射 $f,g\colon a\to b$ が $F(f)=F(g)$ を満たすとする。$f,g$ の等化子を $e\colon E\to a$ とする。$F$ は等化子を保つので、$F(e)$ は $F(f),F(g)$ の等化子である。ところが $F(f)=F(g)$ なので、恒等射 $\operatorname{id}_{F(a)}$ も $F(f),F(g)$ の等化子である（$F(f)\circ h=F(g)\circ h$ はすべての $h$ で成り立ち、$h$ は $\operatorname{id}_{F(a)}$ をただ 1 通りに経由する）。二つの等化子は同型な比較射で結ばれるので、$F(e)=\operatorname{id}_{F(a)}\circ k$ となる同型射 $k\colon F(E)\to F(a)$ があり、$F(e)$ は同型射である。$F$ は保守的なので $e$ は同型射である。$f\circ e=g\circ e$ の右から $e^{-1}$ を合成して $f=g$ を得る。$\square$

射 $f\colon a\to b$ の核対とは、引き戻し $a\times_b a$ と二つの射影 $p_1,p_2\colon a\times_b a\to a$ のことであり、$p_1\circ\delta=p_2\circ\delta=\operatorname{id}_a$ を満たす射 $\delta\colon a\to a\times_b a$ を対角射という（引き戻し(圏論)）。

モノ射と対角射

$f\colon a\to b$ の核対が存在するとき、$f$ がモノ射であることと、対角射 $\delta$ が同型射であることは同値である。

$f$ がモノ射なら、$f\circ p_1=f\circ p_2$ から $p_1=p_2$ である。すると $p_i\circ(\delta\circ p_1)=p_1=p_i$（$i=1,2$）なので、引き戻しの普遍性の一意性から $\delta\circ p_1=\operatorname{id}$ であり、$p_1\circ\delta=\operatorname{id}_a$ と合わせて $\delta$ は同型射である。
逆に $\delta$ が同型射なら、$p_1=p_1\circ\delta\circ\delta^{-1}=\delta^{-1}=p_2\circ\delta\circ\delta^{-1}=p_2$ である。$g,h\colon x\to a$ が $f\circ g=f\circ h$ を満たせば、引き戻しの普遍性から $p_1\circ u=g$、$p_2\circ u=h$ となる $u$ があり、$g=p_1\circ u=p_2\circ u=h$ である。よって $f$ はモノ射である。$\square$

引き戻しを保つ保守的関手はモノ射を反映する

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を保守的関手とし、射 $f\colon a\to b$ の核対が $\mathcal C$ に存在して $F$ がそれを保つとする。$F(f)$ がモノ射なら、$f$ はモノ射である。

$F$ は核対を保つので、$(F(a\times_b a),F(p_1),F(p_2))$ は $F(f)$ の核対であり、$F(p_i)\circ F(\delta)=\operatorname{id}$ から $F(\delta)$ はその対角射である。$F(f)$ がモノ射なので、lem-cf-diagonal により $F(\delta)$ は同型射であり、$F$ が保守的なので $\delta$ は同型射である。再び lem-cf-diagonal により $f$ はモノ射である。$\square$

モナド的関手との関係

随伴 $F\dashv G$ の右随伴 $G$ がモナド的であれば、$G$ は保守的である（Rie16 Lemma 5.6.1, p. 212）。Barr–Beck の定理は逆向きの判定を与え、右随伴 $G$ がモナド的であることを「$G$ が同型を反映し、$G$-分裂対の余等化子が存在して $G$ がそれを保つ」ことで特徴づける（モナドとBarr–Beckの定理の定理「Barr–Beckの定理」）。この意味で保守性は、ある圏が別の圏の上の「代数」の圏として表されるための必要条件である。忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ は左随伴（離散位相）をもつが保守的でないので、モナド的でない（モナドとBarr–Beckの定理の例「反例：同型を反映しない右随伴」）。
同じ区別は実現関手(モチーフ)にも現れる。実現関手がモチーフの同型をコホモロジーの同型に送ることは関手性から従うが、実現で同型になる射がモチーフの同型であると結論するには、その実現関手が保守的であることが別に要る。

反例の表

thm-cf-reflect-limits と thm-cf-faithful の仮定を 1 つずつ外した反例である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$F$ が保守的（thm-cf-reflect-limits）	忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ と離散位相の $X\times Y$	極限の反映
$F$ が極限を保つ（thm-cf-reflect-limits）	$F\colon\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$、$F(X)=X\sqcup\{\ast\}$ と空集合	極限の反映（空の図式の極限、すなわち終対象）
$\mathcal C$ が極限をもつ（thm-cf-reflect-limits）	$BG\to\mathbf 1$（$G$ は自明でない群）	極限の反映（終対象）
$F$ が保守的（thm-cf-faithful）	$\mathbf{Set}\to\mathbf 1$	忠実性
$F$ が等化子を保つ（thm-cf-faithful）	$\mathbf{Vect}_{\mathbb R}\to\mathbf{Set}$、$V\mapsto V/\mathbb R^\times$	忠実性

反例の確かめを開く

1 行目：忘却関手 $U$ は極限を保ち（直積の台集合は台集合の直積）、$\mathbf{Top}$ は極限をもつ。ex-cf-product-groups の後半のとおり、離散位相の $X\times Y$ と射影は、$U$ で直積錐に写るが直積錐でない。

2 行目：$F(f)=f\sqcup\operatorname{id}_{\{\ast\}}$ とすると $F$ は関手である。$F(f)$ が全単射なら、$F(f)$ は $X$ を $Y$ に、$\ast$ を $\ast$ に写すので、$f$ も全単射であり、$F$ は保守的である。$\mathbf{Set}$ はすべての極限をもつ。空の図式の極限は終対象（1 点集合）で、$F(1)$ は 2 点集合なので $F$ は終対象を保たない。空集合 $\emptyset$ 上の空の錐を考えると、$F(\emptyset)=\{\ast\}$ は終対象だが、$\emptyset$ は終対象でない（$\{0\}$ から $\emptyset$ への写像はない）。

3 行目：関手は亜群からなので保守的（ex-cf-groupoid）。$BG$ の対象 $\ast$ は $\operatorname{Hom}(\ast,\ast)=G$ が 1 元でないので終対象でなく、$BG$ は終対象をもたない。したがって「$BG$ にある極限を保つ」は空虚に成り立つ。$\ast$ 上の空の錐の像は $\mathbf 1$ の終対象だが、$\ast$ は終対象でない。

4 行目：$\mathbf 1$ はすべての極限をもち、$\mathbf{Set}\to\mathbf 1$ はすべての極限を保つ。$\emptyset\to\{0\}$ は同型でないのに像は恒等射なので保守的でない。2 つの異なる写像 $\{0\}\to\{0,1\}$ が同じ射に写るので忠実でない。

5 行目：$\mathbb R^\times=\mathbb R\setminus\{0\}$ が実ベクトル空間 $V$ に掛け算で作用し、その軌道の集合を $V/\mathbb R^\times$ と書く。線形写像 $f$ は $f(\lambda v)=\lambda f(v)$ を満たすので、$[v]\mapsto[f(v)]$ が写像 $F(f)$ を定め、$F$ は関手である。$F(f)$ が全単射だとする。$f(v)=0$ なら $[v]$ と $[0]$ の像がともに $[0]$ なので $[v]=[0]$、すなわち $v=0$ であり、$f$ は単射である。$w\in W$ に対し $[w]=[f(v)]$ となる $v$ があるので $w=\lambda f(v)=f(\lambda v)$ であり、$f$ は全単射である。全単射な線形写像は同型なので、$F$ は保守的である。$\mathbf{Vect}_{\mathbb R}$ は等化子 $\ker(f-g)$ をもつ。$V\neq0$ のとき $\operatorname{id}_V$ と $2\operatorname{id}_V$ は異なるが $F$ で同じ写像になるので、$F$ は忠実でない。実際 $F$ は等化子を保たない。$\operatorname{id}_V$ と $2\operatorname{id}_V$ の等化子は $\ker(\operatorname{id}_V)=0$ で、$F(0)$ は 1 点だが、$\mathbf{Set}$ での $F(\operatorname{id}_V)=F(2\operatorname{id}_V)$ の等化子は $F(V)$ 全体で、$V\neq0$ なら 2 点以上ある。