Ramanujan–Petersson予想
概要
Ramanujan–Petersson予想（Ramanujan–Petersson conjecture）とは、重さ $k$ の正規化された新形式（レベル $1$ では $q$ の係数が $1$ の Hecke 同時固有形式）$f=\sum c(n)q^n$ について、レベルを割らない素数 $p$ で $\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}$ が成り立つという主張である。同値な言い方として、$X^2-c(p)X+p^{k-1}$ の根の絶対値はともに $p^{(k-1)/2}$ になる。判別式関数では $\lvert\tau(p)\rvert\le2p^{11/2}$ である。正則な尖点形式については、重さ $k\ge2$ の場合を Deligne が Weil 予想から導き、重さ $1$ の場合を Deligne と Serre が示した。
Ramanujan–Petersson予想（Ramanujan–Petersson conjecture）は、重さ $k$ の尖点形式のうち正規化された新形式（レベル $1$ では、$q$ の係数が $1$ の Hecke 同時固有形式）$f=\sum_{n\ge1}c(n)q^n$ の Fourier 係数について、レベルを割らない素数 $p$ で
$$
\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}
$$
が成り立つ、という主張である。重さ $12$ の判別式関数 $\Delta=\sum\tau(n)q^n$ では $\lvert\tau(p)\rvert\le2p^{11/2}$ となり、これは Ramanujan が数値から予想したものである。言い換えると、2 次式 $X^2-c(p)X+p^{k-1}$ の 2 つの根の絶対値がともに $p^{(k-1)/2}$ になる。
正則な尖点形式については、重さ $k\ge2$ の場合を Deligne が Weil予想 の証明の帰結として 1974 年に示し、重さ $1$ の場合も Deligne と Serre が示した。したがってこの場合は定理だが、歴史的な名で「予想」と呼ばれる。
この記事では、主張と同値な言い換え（根の絶対値、すべての $n$ についての評価 $\lvert c(n)\rvert\le d(n)\,n^{(k-1)/2}$、指数 $(k-1)/2+\varepsilon$ の評価）を証明し、Hecke の評価 $O(n^{k/2})$ との差を説明する。仮定を 1 つずつ外した反例も確かめる。Deligne の定理そのものは、この記事では証明しない（所在と証明の筋を述べる）。
主張
$q=e^{2\pi i\tau}$ とし、$k\ge2$、$N\ge1$ を整数とする。$S_k(\Gamma_0(N))$ を $\Gamma_0(N)$ に関する重さ $k$ の尖点形式の空間とする（$k$ が奇数なら $-I\in\Gamma_0(N)$ によりこの空間は $0$ である）。$N$ と互いに素な $n$ について Hecke作用素 $T_n$ が働く。
レベル $1$（$N=1$）では、$S_k:=S_k(\Gamma_0(1))$ は正規化された同時固有形式（$q$ の係数が $1$ で、すべての $T_n$ の固有形式）からなる基底をただ 1 つもち、その係数 $c(n)$ はすべて実数である（Hecke作用素 の定理「固有形式の基底」）。一般のレベルでは、低いレベルから来る旧形式の直交補空間である新形式の空間の、$\gcd(n,N)=1$ の $T_n$ の同時固有空間は 1 次元で、各空間に $q$ の係数が $1$ の元（正規化された新形式）がただ 1 つある（Atkin–Lehner の定理、Mil21 Theorem V.4.20、p. 206。この記事では証明しない）。$\gcd(n,N)=1$ の $T_n$ は Petersson 内積について自己随伴なので（同 Theorem V.4.19、p. 206）、$p\nmid N$ の $c(p)$ は実数である。レベル $1$ の正規化された同時固有形式は、レベル $1$ の正規化された新形式にほかならない。
$f=\sum_{n\ge1}c(n)q^n\in S_k(\Gamma_0(N))$ を正規化された新形式、$p$ を $N$ を割らない素数とする。
$$
H_p(X):=X^2-c(p)X+p^{k-1}
$$
を $f$ の $p$ での Hecke 多項式 といい、その 2 つの根 $\alpha_p,\beta_p$（重根なら $\alpha_p=\beta_p$）を $p$ での Satake 根 という。$\alpha_p+\beta_p=c(p)$、$\alpha_p\beta_p=p^{k-1}$ である。
$k\ge2$ とし、$f=\sum c(n)q^n\in S_k(\Gamma_0(N))$ を正規化された新形式とする。$N$ を割らないすべての素数 $p$ について
$$
\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}
$$
が成り立つ。
この記事では証明しない。Del74 Théorème 8.2（p. 302）は、レベル $N$・重さ $k\ge2$・指標 $\varepsilon$ をもつ原始的な（新形式の）尖点形式で $q$ の係数が $1$ のものについて、$p\nmid N$ で $\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}$、すなわち $X^2-c(p)X+\varepsilon(p)p^{k-1}$ の根の絶対値が $p^{(k-1)/2}$ であることを述べ、同 Remarque 8.3（p. 302）は Deligne と Serre が重さ $1$ でも同じことを別の方法で示したと述べる。Mil21 Remark V.4.21（p. 207。同書の重さ $2k$ はこの記事の $k$ にあたる）と Sil09 Example C.12.10.1（p. 436。$\Delta$ の場合）にも主張がある。
名前と歴史． Ramanujan は $\tau(n)$ の最初の値を計算して、乗法性 $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$（$\gcd(m,n)=1$）などとともに、$30$ 未満の素数 $p$ で $\lvert\tau(p)\rvert$ が $2p^{11/2}$ 以下であることを観察し、すべての素数で成り立つと予想した（Zag08 §2.4、pp. 22–23）。乗法性は翌年 Mordell が証明し、Hecke と Petersson の理論で一般の固有形式に広げられた。固有形式の理論ができると、Ramanujan の予想は上の形に自然に一般化された（Mil21 Remark V.4.21、p. 207）。重さ $2$ のいくつかの形式では Eichler が 1954 年に、有限体上の曲線の Riemann 予想に結びつけて示した（Mil21 Aside V.7.11、p. 219）。
言い換え
def-rp-hecke-polynomial の状況で、$c(p)$ は実数とする。$P:=p^{k-1}$ とおくと、次の 3 条件は同値である。
- $\lvert c(p)\rvert\le2\sqrt P$。
- $\lvert\alpha_p\rvert=\lvert\beta_p\rvert=\sqrt P$。
- $c(p)=2\sqrt P\cos\theta_p$ となる $\theta_p\in[0,\pi]$ がある。このとき $\{\alpha_p,\beta_p\}=\{\sqrt P\,e^{i\theta_p},\sqrt P\,e^{-i\theta_p}\}$ である。
1 ⇒ 3：$c(p)/(2\sqrt P)\in[-1,1]$ なので $\cos\theta_p=c(p)/(2\sqrt P)$ となる $\theta_p\in[0,\pi]$ がただ 1 つある。$\sqrt Pe^{\pm i\theta_p}$ は和が $2\sqrt P\cos\theta_p=c(p)$、積が $P$ なので $H_p$ の根である。
3 ⇒ 2：根は $\sqrt Pe^{\pm i\theta_p}$ で、絶対値は $\sqrt P$ である。
2 ⇒ 1：$\lvert c(p)\rvert=\lvert\alpha_p+\beta_p\rvert\le\lvert\alpha_p\rvert+\lvert\beta_p\rvert=2\sqrt P$ である。$\square$
1 ⇒ 2 で $c(p)$ が実数であることを使う。$c(p)$ が実数で $\lvert c(p)\rvert>2\sqrt P$ なら、判別式 $c(p)^2-4P$ が正なので根は相異なる実数で、積が $P$ だから一方の絶対値は $\sqrt P$ より大きく、他方は小さい。
素数冪の係数は Satake 根で表せる。次の補題は数列についての代数的な事実である。
複素数の列 $(c_r)_{r\ge0}$ が $c_0=1$、$c_1=\alpha+\beta$、$c_{r+1}=(\alpha+\beta)c_r-\alpha\beta\,c_{r-1}$（$r\ge1$）をみたすとする。このとき $c_r=\sum_{i=0}^r\alpha^i\beta^{r-i}$ であり、$\alpha\ne\beta$ なら $c_r=(\alpha^{r+1}-\beta^{r+1})/(\alpha-\beta)$ である。
$s_r:=\sum_{i=0}^r\alpha^i\beta^{r-i}$ とおくと $s_0=1$、$s_1=\alpha+\beta$ である。$r\ge1$ で
$$
(\alpha+\beta)s_r-\alpha\beta\,s_{r-1}=\sum_{i=0}^r\alpha^{i+1}\beta^{r-i}+\sum_{i=0}^r\alpha^i\beta^{r+1-i}-\sum_{i=0}^{r-1}\alpha^{i+1}\beta^{r-i}=\alpha^{r+1}+\sum_{i=0}^r\alpha^i\beta^{r+1-i}=s_{r+1}
$$
なので、帰納法で $c_r=s_r$ である。$\alpha\ne\beta$ なら $(\alpha-\beta)s_r=\alpha^{r+1}-\beta^{r+1}$（打ち消し合う和）である。$\square$
レベル $1$ の正規化された同時固有形式では、$c(p^{r+1})=c(p)c(p^r)-p^{k-1}c(p^{r-1})$ と、$\gcd(m,n)=1$ のとき $c(mn)=c(m)c(n)$ が成り立つ（Hecke作用素 の定理「固有形式の係数」）。そこで $c_r:=c(p^r)$ に lem-rp-powers を $\alpha=\alpha_p$、$\beta=\beta_p$ で当てられる。$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする（約数関数）。
$f=\sum c(n)q^n\in S_k$ をレベル $1$ の正規化された同時固有形式とし、すべての素数 $p$ で $\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}$ が成り立つとする。このとき、すべての $n\ge1$ について
$$
\lvert c(n)\rvert\le d(n)\,n^{(k-1)/2}
$$
である。
素数 $p$ と $r\ge0$ について、prop-rp-roots により $\lvert\alpha_p\rvert=\lvert\beta_p\rvert=p^{(k-1)/2}$ なので、lem-rp-powers から
$$
\lvert c(p^r)\rvert\le\sum_{i=0}^r\lvert\alpha_p\rvert^i\lvert\beta_p\rvert^{r-i}=(r+1)\,p^{r(k-1)/2}=d(p^r)\,(p^r)^{(k-1)/2}
$$
である。$n=\prod_pp^{r_p}$ と素因数分解すると、乗法性により $c(n)=\prod_pc(p^{r_p})$ で、$d(n)=\prod_p(r_p+1)$ も乗法的なので、各素数の評価を掛けて主張を得る。$\square$
任意の $\varepsilon>0$ について、$\varepsilon$ だけによる定数 $C_\varepsilon$ があって、すべての $n\ge1$ で $d(n)\le C_\varepsilon n^\varepsilon$ である。
$n=\prod p^{r_p}$ とすると $d(n)/n^\varepsilon=\prod_p(r_p+1)/p^{r_p\varepsilon}$ である。$p^\varepsilon\ge2$ となる素数では $(r+1)/p^{r\varepsilon}\le(r+1)/2^r\le1$ である。$p^\varepsilon< 2$ となる素数は有限個で、それぞれについて $r\mapsto(r+1)/p^{r\varepsilon}$ は $r\to\infty$ で $0$ に近づくので有界である（上界を $B_p$ とする）。$C_\varepsilon:=\prod_{p^\varepsilon< 2}\max(B_p,1)$ とおけばよい。$\square$
$f=\sum c(n)q^n\in S_k$ をレベル $1$ の正規化された同時固有形式とする。次は同値である。
- すべての素数 $p$ で $\lvert c(p)\rvert\le2p^{(k-1)/2}$。
- 任意の $\varepsilon>0$ について $c(n)=O(n^{(k-1)/2+\varepsilon})$（$n\to\infty$）。
1 ⇒ 2：thm-rp-all-n と lem-rp-divisor から $\lvert c(n)\rvert\le C_\varepsilon n^{(k-1)/2+\varepsilon}$ である。
2 ⇒ 1：素数 $p$ を固定し、$P:=p^{k-1}$、$\alpha:=\alpha_p$、$\beta:=\beta_p$ とする。$\lvert\alpha\rvert\le\sqrt P$ かつ $\lvert\beta\rvert\le\sqrt P$ なら、$\lvert\alpha\beta\rvert=P$ から両方とも $\sqrt P$ に等しく、prop-rp-roots により 1 が成り立つ。そこで $\lvert\alpha\rvert>\sqrt P$ と仮定して矛盾を導く（$\beta$ のときも同じ）。$\lvert\alpha\rvert=p^{(k-1)/2+\delta}$（$\delta>0$）と書くと $\lvert\beta\rvert=P/\lvert\alpha\rvert=p^{(k-1)/2-\delta}< \lvert\alpha\rvert$ なので $\alpha\ne\beta$ で、lem-rp-powers により
$$
\lvert c(p^r)\rvert=\frac{\lvert\alpha^{r+1}-\beta^{r+1}\rvert}{\lvert\alpha-\beta\rvert}\ge\frac{\lvert\alpha\rvert^{r+1}-\lvert\beta\rvert^{r+1}}{\lvert\alpha-\beta\rvert}
$$
である。$\lvert\beta/\alpha\rvert< 1$ なので、$r$ が十分大きければ右辺は $\lvert\alpha\rvert^{r+1}/(2\lvert\alpha-\beta\rvert)$ 以上である。一方 2 を $\varepsilon=\delta/2$、$n=p^r$ で使うと $\lvert c(p^r)\rvert\le C\,p^{r((k-1)/2+\delta/2)}$ である。合わせると
$$
\frac{\lvert\alpha\rvert}{2\lvert\alpha-\beta\rvert}\,p^{r((k-1)/2+\delta)}\le C\,p^{r((k-1)/2+\delta/2)},\quad\text{すなわち}\quad p^{r\delta/2}\le\frac{2C\lvert\alpha-\beta\rvert}{\lvert\alpha\rvert}
$$
がすべての大きい $r$ で成り立つことになるが、左辺は $r\to\infty$ で発散する。これは矛盾である。$\square$
Hecke の評価との比較． どの $f\in S_k$ についても、係数を積分で書いて $\lvert f\rvert\le c\,y^{-k/2}$ を当てるだけで $\lvert c(n)\rvert\le Cn^{k/2}$ が出る（尖点形式 の定理「Hecke の評価」）。prop-rp-epsilon は、固有形式についてこの指数 $k/2$ を $(k-1)/2+\varepsilon$ まで下げることが、Ramanujan–Petersson予想そのものと同値であることを示している。指数の差 $1/2$ が予想の深さにあたる。
特別な場合と数値
- 重さ $2$ で係数が整数の場合． $S_2(\Gamma_0(N))$ の正規化された新形式で係数がすべて整数のものには、有理数体上の楕円曲線 $E_f$ が対応し、$p\nmid N$ で $c(p)=p+1-\#\tilde E_f(\mathbb{F}_p)$ となる。すると Hasseの定理(楕円曲線) から $\lvert c(p)\rvert\le2\sqrt p$ が従う（Eichler–志村の関係式 の系「重さ 2 の Ramanujan–Petersson の評価」。その記事は Eichler–志村の関係式と $E_f$ の構成を引用して証明している）。
- 楕円曲線から来る形式． モジュラー性定理 により、有理数体上の楕円曲線 $E$ の $a_p$ は、導手をレベルとする重さ $2$ の正規化された新形式の係数である。この形式については、thm-rp-main の評価は Hasse の定理 $\lvert a_p\rvert\le2\sqrt p$ そのものである。
$\Delta=q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^{24}$ を展開して、$\theta_p\in[0,\pi]$ を $\tau(p)=2p^{11/2}\cos\theta_p$ で定めるための比 $\tau(p)/(2p^{11/2})$ を計算すると、次のようになる（有限の計算）。
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\tau(p)/(2p^{11/2})$ | $-0.265$ | $0.299$ | $0.346$ | $-0.188$ | $0.500$ | $-0.216$ | $-0.590$ | $0.494$ | $0.302$ | $0.581$ |
$1100$ 未満のすべての素数で比の絶対値は $1$ より小さく、最大は $p=103$ での $0.9594\ldots$（$\tau(103)=-225755128648$）である。これは thm-rp-main の証明ではないが、主張と矛盾しない。比の分布については 佐藤–Tate予想 の例「Ramanujan の $\tau$ 関数」にある。
証明の筋
この節の主張はすべて引用であり、この記事では証明しない。
- 重さ $2$． $p\nmid N$ のとき、Eichler–志村の関係式 は $X_0(N)$ を $p$ で還元した曲線の上で Hecke 対応 $T_p$ が Frobenius $F$ とその転置の和になることを述べ、そこから Jacobi 多様体の上で $F^2-T_pF+p=0$ が出る。こうして Satake 根は有限体上の曲線の Frobenius の固有値として現れ、曲線の Riemann 予想（Weil予想）から絶対値 $\sqrt p$ が出る（Mil21 Remark V.4.21、p. 207 と Aside V.7.11、p. 219）。
- 一般の重さ $k\ge2$． $H_p$ の根は、$\mathbb{F}_p$ 上の $k-1$ 次元の非特異射影多様体の $H^{k-1}$ に働く Frobenius の固有値として現れる。Deligne はこれを 1969 年の Bourbaki セミナーの報告で制限つきの仮定の下で示し、一般の場合もそれほど難しくないと述べている（Del74 p. 302、Mil21 Remark V.4.21、p. 207）。1974 年に Deligne が証明した Weil 予想の Riemann 予想の部分（Del74 Théorème 1.6、p. 276：$\mathbb{F}_q$ 上の非特異射影多様体の $H^i$ に働く Frobenius の固有値の絶対値は $q^{i/2}$）を $i=k-1$、$q=p$ で当てると、$\lvert\alpha_p\rvert=\lvert\beta_p\rvert=p^{(k-1)/2}$ を得る。prop-rp-roots によりこれは thm-rp-main の評価と同じである。
- 重さ $1$． 対応する多様体がないので、Deligne と Serre はまったく別の方法で示した（Del74 Remarque 8.3、p. 302）。
反例
thm-rp-main の仮定（尖点形式・同時固有形式・$q$ の係数が $1$）と、thm-rp-all-n の約数の個数を 1 つずつ外すと、評価は成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 尖点形式 | $E_4/240=\frac1{240}+\sum_{n\ge1}\sigma_3(n)q^n$（重さ $4$） | $\lvert c(p)\rvert\le2p^{3/2}$ |
| 同時固有形式 | $g=\Delta E_4^3+6000\,\Delta^2\in S_{24}$ | $\lvert c(2)\rvert\le2\cdot2^{23/2}$ |
| $q$ の係数が $1$ | $100\Delta\in S_{12}$ | $\lvert c(2)\rvert\le2\cdot2^{11/2}$ |
| 一般の $n$ での係数 $d(n)$（$2$ に替える） | $\Delta$ と $n=103^2$ | $\lvert\tau(n)\rvert\le2n^{11/2}$ |
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1 行目：$E_4/240$ は $q$ の係数が $1$ の同時固有形式で $T_n(E_4/240)=\sigma_3(n)E_4/240$ をみたす（Hecke作用素 の例「Eisenstein 級数と約数和の恒等式」）が、定数項が $0$ でないので尖点形式でない。素数 $p$ について $c(p)=\sigma_3(p)=1+p^3$ で、相加相乗平均により $1+p^3\ge2p^{3/2}$、等号は $p^3=1$ のときだけなので $c(p)>2p^{3/2}$ である。たとえば $c(2)=9>2\cdot2^{3/2}=5.65\ldots$ である。
2 行目：$F=\Delta E_4^3=q+696q^2+\cdots$ と $\Delta^2=q^2-48q^3+\cdots$ は $S_{24}$ を張り（Hecke作用素 の例「重さ 24 の空間」）、$g$ は $q$ の係数が $1$ の尖点形式で、$c(2)=696+6000=6696$ である。$2\cdot2^{23/2}=5792.6\ldots$ より大きい。$S_{24}$ の正規化された同時固有形式は同じ例の $f_\pm$ の 2 つだけで、その $q^2$ の係数は無理数なので、$g$ は固有形式でない。
3 行目：$100\Delta$ は同時固有形式の尖点形式だが $q$ の係数は $100$ で、$\lvert c(2)\rvert=2400>2\cdot2^{11/2}=90.5\ldots$ である。正規化した $\Delta$ では $\lvert\tau(2)\rvert=24$ で評価をみたす。
4 行目：$\tau(p^2)=\tau(p)^2-p^{11}$（Hecke作用素 の例「判別式関数と Ramanujan の $\tau$ 関数」）と $\tau(103)=-225755128648$ から、$\tau(103^2)=\tau(103)^2-103^{11}$ は約 $3.71\times10^{22}$ で、$2\cdot(103^2)^{11/2}=2\cdot103^{11}$ は約 $2.77\times10^{22}$ である（$103^{11}=1.384\ldots\times10^{22}$）。したがって $\lvert\tau(103^2)\rvert>2\,(103^2)^{11/2}$ で、定数 $2$ では足りない。thm-rp-all-n の $d(103^2)=3$ なら評価は成り立つ。$\tau(103)$ の値は $\Delta$ の積の展開による計算である。$\square$
広がり
- Frobenius 角の分布． prop-rp-roots の $\theta_p$ が $[0,\pi]$ の中でどう分布するかを述べるのが佐藤–Tate 型の主張で、虚数乗法をもたない新形式について証明されている（佐藤–Tate予想 の節「知られている場合」）。
- 保型表現への一般化． 主張は、$\mathrm{GL}_2$ の保型表現の局所成分が緩増加（tempered）であるという形に一般化される。CM 体上の重さ $0$ の正則代数的な尖点的保型表現については ACC+18 Theorem 1.0.2（p. 3）が示し、同じ箇所で、Galois 表現が代数多様体のコホモロジーに現れることが知られていない場合として初めての例だと述べている。その証明は Deligne の方法ではなく、対称冪の（潜在的な）保型性による。
- 楕円曲線． 有理数体上の楕円曲線では モジュラー性定理 により重さ $2$ の場合に帰着し、評価は Hasse の定理になる。
関連項目
参考文献
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