Gromov-Hausdorff距離
概要
Gromov-Hausdorff距離とは、距離空間どうしの類似度を測る指標のひとつである。
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Hausdorff距離
距離空間$(X, d)$の部分集合$A, B$に対して、Hausdorff距離を
$$d_H(A, B) \coloneqq \mathrm{max}(\sup_{a \in A}(d(a, B)), \sup_{b \in B}(d(b, A))) \in [0, \infty]$$
で定義する。
Hausdorff距離は$\mathcal{P}(M)\setminus \{\emptyset\}$上の拡張擬距離となっている。これは異なる元$A, B$についても $d(A,B)=0$ となることを許し、また距離として無限大の値も許すということを意味する。
以上の準備のもと、Gromov-Hausdorff距離は以下のように定義される。
Gromov-Hausdorff距離
距離空間$(X, d_X)$と$(Y, d_Y)$について、Gromov-Hausdorff距離を
$$d_{GH}(A, B) \coloneqq \mathrm{inf}\left\{ d_H(f(X), g(Y)) \ \middle| \ M : 距離空間, f \colon X \to M, \ g \colon Y \to M : 等長写像\right\} \in [0, \infty]$$
で定義する。
