Gromov-Hausdorff距離

$\ge$：$d_{GH}(X,Y)< r$ とし、距離空間 $Z$ と等長埋め込み $f\colon X\to Z$、$g\colon Y\to Z$ で $d_H(f(X),g(Y))< r$ となるものをとる。$X,Y$ をそれぞれ $f(X),g(Y)$ と同一視し、$R:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d_Z(x,y)< r\}$ とおく。$d_H(X,Y)< r$ により各 $x$ に対し $d_Z(x,y)< r$ となる $y$ があり、各 $y$ に対しても同様なので、$R$ は対応である。$(x,y),(x',y')\in R$ に対し、三角不等式から
$$d_X(x,x')=d_Z(x,x')\le d_Z(x,y)+d_Z(y,y')+d_Z(y',x')< d_Y(y,y')+2r$$
であり、同様に $d_Y(y,y')< d_X(x,x')+2r$ なので $\operatorname{dis}R\le2r$ である。よって $\tfrac12\inf_R\operatorname{dis}R\le r$ であり、$r>d_{GH}(X,Y)$ は任意なので $\tfrac12\inf_R\operatorname{dis}R\le d_{GH}(X,Y)$ を得る。
$\le$：$R$ を対応とし、$\operatorname{dis}R<\infty$ としてよい。$r>\tfrac12\operatorname{dis}R$ を任意にとる。非交和 $Z:=X\sqcup Y$ の上に、$X$ の二点、$Y$ の二点の間ではもとの距離を、$x\in X$、$y\in Y$ の間では
$$d(x,y)=d(y,x):=\inf\{d_X(x,x')+r+d_Y(y',y)\mid(x',y')\in R\}$$
を与える。$d(x,y)\ge r>0$ であり、$d$ が三角不等式を満たすことを確かめる。三点のうち二点が同じ側にある場合、たとえば $x,x''\in X$、$y\in Y$ について $d(x,y)\le d(x,x'')+d(x'',y)$ は、$d(x'',y)$ を定める下限の各項に三角不等式 $d_X(x,x')\le d_X(x,x'')+d_X(x'',x')$ を用いれば従う。残るのは $d_X(x,x'')\le d(x,y)+d(y,x'')$ の形の不等式（および $X,Y$ を入れ替えたもの）である。$\varepsilon>0$ に対し $(x',y'),(x''',y''')\in R$ を $d(x,y)+\varepsilon\ge d_X(x,x')+r+d_Y(y',y)$、$d(y,x'')+\varepsilon\ge d_Y(y,y''')+r+d_X(x''',x'')$ となるようにとると、
\begin{align*} d(x,y)+d(y,x'')+2\varepsilon &\ge d_X(x,x')+d_X(x''',x'')+2r+d_Y(y',y)+d_Y(y,y''')\\ &\ge d_X(x,x')+d_X(x''',x'')+2r+d_Y(y',y''')\\ &\ge d_X(x,x')+d_X(x''',x'')+2r+d_X(x',x''')-\operatorname{dis}R\\ &\ge d_X(x,x'') \end{align*}
となる（最後から二つ目で $|d_X(x',x''')-d_Y(y',y''')|\le\operatorname{dis}R$、最後で $2r\ge\operatorname{dis}R$ と三角不等式を用いた）。$\varepsilon$ は任意なので三角不等式が成り立ち、$(Z,d)$ は距離空間で、包含写像 $X\to Z$、$Y\to Z$ は等長埋め込みである。各 $x\in X$ に対し $(x,y)\in R$ となる $y$ をとると $d(x,y)\le r$ であり、各 $y$ についても同様なので $d_H(X,Y)\le r$、したがって $d_{GH}(X,Y)\le r$ である。$r>\tfrac12\operatorname{dis}R$ と $R$ は任意なので $d_{GH}(X,Y)\le\tfrac12\inf_R\operatorname{dis}R$ を得る。$\square$

右側：$R:=X\times Y$ は対応であり、$|d_X(x,x')-d_Y(y,y')|\le\max\{d_X(x,x'),d_Y(y,y')\}\le\max\{\operatorname{diam}X,\operatorname{diam}Y\}$ なので、prop-gromov-hausdorff-correspondence から従う。左側：任意の対応 $R$ と $x,x'\in X$ に対し、$(x,y),(x',y')\in R$ となる $y,y'$ をとると $d_X(x,x')\le d_Y(y,y')+\operatorname{dis}R\le\operatorname{diam}Y+\operatorname{dis}R$ であり、$x,x'$ について上限をとると $\operatorname{diam}X\le\operatorname{diam}Y+\operatorname{dis}R$ である。$X,Y$ を入れ替えて $|\operatorname{diam}X-\operatorname{diam}Y|\le\operatorname{dis}R$ を得るので、prop-gromov-hausdorff-correspondence から左側が従う。$\square$

$x\in X$ に対し $(x,y)\in R_1$ となる $y$、次いで $(y,z)\in R_2$ となる $z$ をとれば $(x,z)\in R_2\circ R_1$ である。$z\in Z$ についても同様なので $R_2\circ R_1$ は対応である。$(x,z),(x',z')\in R_2\circ R_1$ に対し、仲介する $y,y'$ をとると
$$|d_X(x,x')-d_Z(z,z')|\le|d_X(x,x')-d_Y(y,y')|+|d_Y(y,y')-d_Z(z,z')|\le\operatorname{dis}R_1+\operatorname{dis}R_2$$
である。$\square$

$x\in X\setminus h(X)$ が存在したとする。$h$ は連続写像で $X$ はコンパクトなので $h(X)$ はコンパクト、特に閉集合であり、$\varepsilon:=d(x,h(X))>0$ である。$x_0:=x$、$x_{k+1}:=h(x_k)$ とおくと、$i< j$ に対し $d(x_i,x_j)=d(h^i(x),h^{j}(x))=d(x,h^{j-i}(x))\ge\varepsilon$ である（$h^{j-i}(x)\in h(X)$）。よって点列 $(x_k)$ は収束する部分列をもたず、$X$ が点列コンパクトであることに反する。$\square$

1 は定義から明らかである。2：prop-gromov-hausdorff-correspondence により、$X,Y$ の間の対応 $R_1$ と $Y,Z$ の間の対応 $R_2$ に対し、lem-gromov-hausdorff-composition から $d_{GH}(X,Z)\le\tfrac12\operatorname{dis}(R_2\circ R_1)\le\tfrac12\operatorname{dis}R_1+\tfrac12\operatorname{dis}R_2$ であり、$R_1,R_2$ について下限をとればよい。
3：prop-gromov-hausdorff-correspondence により、対応の列 $R_k$ で $\operatorname{dis}R_k\to0$ となるものがある。コンパクト距離空間は可分空間なので、$X$ の稠密な可算部分集合 $S=\{s_1,s_2,\dots\}$ をとる。各 $k$ と $i$ に対し $(s_i,f_k(s_i))\in R_k$ となる $f_k(s_i)\in Y$ を選ぶ。$Y$ がコンパクト（点列コンパクト）なので、対角線論法により、部分列 $(k_m)$ で、すべての $i$ について $f_{k_m}(s_i)$ が $m\to\infty$ で収束するものがとれる。その極限を $f(s_i)$ とおく。$|d_Y(f_k(s_i),f_k(s_j))-d_X(s_i,s_j)|\le\operatorname{dis}R_k\to0$ と距離の連続性から $d_Y(f(s_i),f(s_j))=d_X(s_i,s_j)$、すなわち $f\colon S\to Y$ は等長埋め込みである。
$f$ を $X$ 全体に延ばす。$x\in X$ に対し $S$ の点列 $t_m\to x$ をとると、$d_Y(f(t_m),f(t_l))=d_X(t_m,t_l)$ から $(f(t_m))$ は Cauchy列であり、コンパクト距離空間 $Y$ は完備距離空間なので収束する。極限は $x$ に収束する $S$ の点列のとり方によらない（二つの列を交互に並べた列も $x$ に収束するから）ので、それを $f(x)$ とおく。距離の連続性から $d_Y(f(x),f(x'))=d_X(x,x')$ であり、$f\colon X\to Y$ は等長埋め込みである。
$X$ と $Y$ の役割を入れ替えて等長埋め込み $g\colon Y\to X$ を得る。$g\circ f\colon X\to X$ は等長埋め込みなので、lem-gromov-hausdorff-surjective により全射であり、したがって $g$ は全射である。等長埋め込みは単射なので $g$ は全単射な等長埋め込み、すなわち等長写像である。
最後の主張：prop-gromov-hausdorff-diameter により $\mathcal{M}$ 上で $d_{GH}$ は有限であり、等長類の上で well-defined であることは定義の直後に述べた。1〜3 と、等長な空間の距離が $0$ であること（等長写像で $Z=Y$ に埋め込めばよい）から、$d_{GH}$ は $\mathcal{M}$ 上の距離である。$\square$