離散空間
概要
離散空間（discrete space）とは、すべての部分集合が開集合となる位相空間である。各点の一元集合が開であること、すべての点が孤立点であること、すべての部分集合が閉であることと同値である。離散空間を定義域とする任意の写像は連続であり、離散空間は零・一距離で距離化できる。離散空間がコンパクトであることは有限であることと同値で、連結であることは点が高々一つであることと同値である。また第2可算または可分であることは高々可算であることと同値である。部分空間と商空間は離散性を保つが、無限直積は一般に離散でない。
定義
集合 $X$ 上の位相が冪集合 $\mathcal P(X)$ に等しいとき、すなわち $X$ のすべての部分集合が開集合であるとき、$X$ を離散空間（discrete space）という。この位相を $X$ 上の離散位相（discrete topology）という。
この定義と、以下で用いる部分空間・積位相・商位相・連結性・コンパクト性の標準的な定義は Mun00 に従う。
離散空間では各点 $x$ の一元集合 $\{x\}$ が開いている。したがって、各点をほかの点から最も強く分離した位相と考えられる。実際、同じ集合上のどの位相も離散位相に含まれるので、離散位相は位相全体を包含関係で並べたとき最大の位相である。
位相空間 $X$ の点 $x$ が孤立点（isolated point）であるとは、$\{x\}$ が $X$ の開集合であることをいう。
この用語を使えば、離散空間とはすべての点が孤立点である空間である（prop-discrete-space-characterization）。
直感
一般の位相空間では、点の近くには別の点がいくらでも入り込みうる。離散空間では各点 $x$ だけからなる集合 $\{x\}$ がすでに近傍なので、点どうしの間に位相的な近接関係がない。任意の写像を点ごとに指定しても、定義域が離散空間なら連続性に追加条件は生じない。一方、コンパクト性や連結性のように「点が互いにまとまっていること」を表す性質は、無限または多点の離散空間では強く失われる。
例と反例
任意の集合には離散位相を入れられる。特に有限集合 $\{1,\dots,n\}$ や整数全体 $\mathbb Z$ に離散位相を入れれば離散空間になる。
さらに、$\mathbb Z$ を実数直線 $\mathbb R$ の部分空間とみなしても離散空間である。各 $n\in\mathbb Z$ に対して
$$
\{n\}=\mathbb Z\cap(n-1/2,n+1/2)
$$
が部分空間の開集合だからである。
集合 $X$ 上で
$$
d(x,y)=\begin{cases}0&(x=y),\\1&(x\ne y)
\end{cases}
$$
と定めると $d$ は距離であり、半径 $1/2$ の開球は $B(x,1/2)=\{x\}$ である。したがって $d$ が定める位相は離散位相である。ゆえに、どの離散空間も距離化可能である。
$A:=\{0\}\cup\{1/n\mid n\in\mathbb N,\ n\ge1\}$ を $\mathbb R$ の部分空間とみなす。各 $1/n$ は $A$ の孤立点だが、$0$ は孤立点でない。実際、$0$ を含む $\mathbb R$ のどの開区間も、十分大きい $n$ に対する $1/n$ を含む。従って $\{0\}$ は $A$ で開でなく、$A$ は離散空間でない。
この例は「孤立点を多数もつなら離散空間である」という含意を破る。離散性に必要なのは、一部ではなくすべての点が孤立点であることである。
二点以上をもつ集合 $X$ に $\{\emptyset,X\}$ だけを開集合とする密着位相を入れると、どの一元集合も開でないので離散空間ではない。密着位相は同じ集合上の最小の位相、離散位相は最大の位相であり、両者は対極にある。
基本的な特徴づけ
位相空間 $X$ について、次は同値である。
- $X$ は離散空間である。
- 任意の $x\in X$ に対して $\{x\}$ は開集合である。
- $X$ の任意の部分集合は閉集合である。
- 恒等写像 $\mathrm{id}_X\colon X_{\mathrm{disc}}\to X$ が同相写像である。ここで $X_{\mathrm{disc}}$ は $X$ と同じ台集合に離散位相を入れた空間である。
- なら定義から (2) が成り立つ。(2) を仮定し $A\subset X$ とすると、$A=\bigcup_{x\in A}\{x\}$ は開集合の合併なので開である。従って $X$ は離散空間であり、(1) が従う。また (1) のもとでは $X\setminus A$ も開なので、任意の $A$ は閉であり (3) が成り立つ。逆に (3) なら任意の $A$ について $X\setminus A$ が閉、従って $A$ が開であり、(1) が従う。
- のもとでは $X_{\mathrm{disc}}$ と $X$ の位相が同じなので恒等写像は同相写像であり、(4) が成り立つ。逆に (4) なら $X$ は離散空間 $X_{\mathrm{disc}}$ と同相なので、各一元集合が開であり (2) が従う。$\square$
$X$ を離散空間、$Y$ を任意の位相空間とする。このとき、すべての写像 $f\colon X\to Y$ は連続である。
$V\subset Y$ を開集合とする。逆像 $f^{-1}(V)$ は $X$ の部分集合であり、$X$ は離散空間だから $f^{-1}(V)$ は開である。従って $f$ は連続である。$\square$
逆向きには条件がある。任意の位相空間 $Y$ から離散空間 $X$ への写像が自動的に連続になるわけではない。例えば $\mathbb R$ から二点離散空間 $\{0,1\}$ への写像は、$0$ と $1$ の逆像がともに開閉集合である場合に限って連続である。
コンパクト性・連結性・可算性
離散空間 $X$ がコンパクトであることと、$X$ が有限集合であることは同値である。
$X$ が有限なら、$X$ の任意の開被覆について各点を含む成員を一つずつ選べば高々 $|X|$ 個で $X$ を覆うので、有限部分被覆が存在する。
逆に $X$ が無限の離散空間なら、$\mathcal U:=\{\{x\}\mid x\in X\}$ は $X$ の開被覆である。$\mathcal U$ の有限部分族の合併は有限集合なので、無限集合 $X$ を覆えない。従って $X$ はコンパクトでない。$\square$
離散空間 $X$ が連結であることと、$X$ の点の個数が高々一つであることは同値である。
$X=\emptyset$ または $X=\{x\}$ なら、$X$ を二つの互いに素な非空開集合に分けられないので連結である。逆に $X$ が異なる二点を含み $x\in X$ とすると、$\{x\}$ と $X\setminus\{x\}$ は互いに素な非空開集合で、その合併は $X$ である。従って $X$ は非連結である。$\square$
離散空間 $X$ について次が成り立つ。
- $X$ は常に第1可算である。
- $X$ が第2可算であることと、$X$ が高々可算であることは同値である。
- $X$ が可分であることと、$X$ が高々可算であることは同値である。
各点 $x$ に対して $\{\{x\}\}$ は一元からなる近傍基なので、(1) が成り立つ。
$X$ が高々可算なら $\{\{x\}\mid x\in X\}$ は高々可算な開基であり、$X$ は第2可算である。逆に $\mathcal B$ を $X$ の可算開基とする。各 $x\in X$ に対し、$\{x\}$ が開なので、ある $B_x\in\mathcal B$ が $x\in B_x\subset\{x\}$ を満たす。従って $B_x=\{x\}$ であり、写像 $x\mapsto B_x$ は $X$ から可算集合 $\mathcal B$ への単射である。よって $X$ は高々可算であり、(2) を得る。
離散空間では部分集合 $D$ の閉包は $D$ 自身である。従って $D$ が稠密であることは $D=X$ と同値である。よって可算な稠密部分集合が存在することと $X$ 自身が高々可算であることが同値であり、(3) が従う。$\square$
部分空間・直積・商空間
離散空間の任意の部分空間は離散空間である。また、離散空間の任意の商空間は離散空間である。
$A\subset X$ とし、$X$ が離散であるとする。任意の $B\subset A$ は $X$ でも開であり、$B=A\cap B$ だから部分空間 $A$ で開である。従って $A$ は離散である。
次に全射 $q\colon X\to Y$ で $Y$ に商位相を入れる。任意の $V\subset Y$ について $q^{-1}(V)$ は $X$ の部分集合なので開である。商位相の定義から $V$ は $Y$ で開であり、$Y$ は離散である。$\square$
有限個の離散空間の直積は離散空間である。一方、二点離散空間 $\{0,1\}$ の可算無限直積 $\{0,1\}^{\mathbb N}$ は離散空間でない。積位相の基本開集合は有限個の座標しか固定しないので、どの一元集合も開にならないからである。これは「離散空間の任意の直積は離散である」という含意を破り、有限直積という条件が必要であることを示す。
関連項目
参考文献
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