三角化

表現行列の第 $k$ 列は $Tb_k$ の座標なので、(i) は「$Tb_k$ を $b_1,\dots,b_n$ の線形結合で書くと $b_{k+1},\dots,b_n$ の係数が $0$」、つまり (ii) と同じである。(iii) なら $b_k\in V_k$ なので (ii) である。(ii) なら、$j\le k$ について $Tb_j\in V_j\subset V_k$ なので、$T$ の線形性により $T(V_k)\subset V_k$ である。最後の主張は、$Tb_k=\sum_{i\le k}t_{ik}b_i$ で $b_1,\dots,b_n$ が線形独立なことによる。$\square$

1：$(ST)_{ij}=\sum_ks_{ik}t_{kj}$ で、$s_{ik}\ne0$ なら $i\le k$、$t_{kj}\ne0$ なら $k\le j$ である。$i>j$ ならどの項も $0$ で、$i=j$ なら $k=i$ の項 $s_{ii}t_{ii}$ だけが残る。2：1 を繰り返すと $T^k$ は対角成分 $t_{ii}^k$ の上三角行列であり、上三角行列の和とスカラー倍は対角成分ごとの和とスカラー倍をもつ上三角行列なので、$f(T)$ についても成り立つ。3：$xI-T$ は対角成分 $x-t_{ii}$ の上三角行列なので、固有多項式 の記事の例「三角行列と区分三角行列」による。$\square$

(i)⇒(ii)：$T=P^{-1}AP$ が上三角行列なら、相似な行列の固有多項式は等しい（固有多項式 の記事の命題「転置と相似で固有多項式は変わらない」）ので、lem-tri-products の 3 により $p_A=p_T=\prod_i(x-t_{ii})$ である。
(ii)⇒(i) と最後の主張を、$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ ではどの行列も上三角行列である。$n\ge2$ とし、$p_A=\prod_{i=1}^n(x-\lambda_i)$ と根を指定の順に並べる。
段 1（固有ベクトルを最初に置く）：$p_A(\lambda_1)=\det(\lambda_1I-A)=0$ なので、$\lambda_1I-A$ は正則でなく、$Av=\lambda_1v$ となる $v\ne0$ がある（固有値 の記事の命題「固有空間と特性方程式」）。$v$ に $n-1$ 本のベクトル $w_2,\dots,w_n$ を加えて $K^n$ の基底にし（基底と次元）、$P_1:=(v\ w_2\ \cdots\ w_n)$ とおく。$P_1$ は正則で、$AP_1e_1=Av=\lambda_1v=P_1(\lambda_1e_1)$ なので $P_1^{-1}AP_1$ の第 1 列は $\lambda_1e_1$ である。よって
$$ P_1^{-1}AP_1=\begin{pmatrix}\lambda_1&b\\0&A_1\end{pmatrix}\qquad(b\in M_{1,n-1}(K),\ A_1\in M_{n-1}(K)) $$
と区分けできる。
段 2（残りの固有多項式）：区分三角行列の固有多項式は対角ブロックの固有多項式の積なので（固有多項式 の記事の例「三角行列と区分三角行列」）、
$$ (x-\lambda_1)\prod_{i=2}^n(x-\lambda_i)=p_A(x)=p_{P_1^{-1}AP_1}(x)=(x-\lambda_1)\,p_{A_1}(x) $$
である。$K[x]$ は整域なので $x-\lambda_1$ を約せて、$p_{A_1}=\prod_{i=2}^n(x-\lambda_i)$ である。
段 3（帰納法）：帰納法の仮定により、正則な $Q_1\in M_{n-1}(K)$ で $Q_1^{-1}A_1Q_1$ が対角成分 $\lambda_2,\dots,\lambda_n$ をこの順にもつ上三角行列 $T_1$ になるものがある。$P:=P_1\,\mathrm{diag}(1,Q_1)$ は正則で、ブロック行列 の積の規則により
$$ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&Q_1^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1&b\\0&A_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&Q_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1&bQ_1\\0&T_1\end{pmatrix} $$
である。これは対角成分 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ をこの順にもつ上三角行列である。$\square$

1：(i)⇒(ii) の証明により $p_A=\prod_i(x-t_{ii})$ なので、対角成分は $p_A$ の根を重複度込みで並べたものである。行列式と跡は相似で変わらず、上三角行列の行列式は対角成分の積である（行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）。2：代数閉体の上では $p_A$ は 1 次式の積に分解する（代数閉体 の記事の命題「代数閉体の同値条件」）。$\mathbb{C}$ が代数閉体であることは代数学の基本定理である。3：そのような $L$ として、たとえば $K$ の代数閉包がとれる（代数閉体 の記事の定理「代数閉包の存在と一意性」）。$p_A$ は $A$ を $M_n(L)$ の元とみても同じ多項式なので、thm-tri-criterion を $L$ 上で使えばよい。$\square$

1：thm-tri-criterion と cor-tri-diagonal の 2 により、$P^{-1}AP$ が指定の順の対角成分をもつ上三角行列になる正則な $P$ がある。$P$ の列 $p_1,\dots,p_n$ は $\mathbb{C}^n$ の基底で、lem-tri-flag により $Ap_k\in\operatorname{span}\{p_1,\dots,p_k\}$ である。標準内積 $\langle x,y\rangle=y^*x$ について $p_1,\dots,p_n$ を Gram–Schmidt の方法で正規直交化した $u_1,\dots,u_n$ は、各 $k$ で $\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}=\operatorname{span}\{p_1,\dots,p_k\}$ を満たし、$x\mapsto Ax$ の表現行列を上三角のまま保つ（Gram–Schmidtの直交化 の記事の定理「上三角化できる変換は正規直交基底で上三角化できる」）。$U:=(u_1\ \cdots\ u_n)$ は列が正規直交なので $U^*U=I$ であり、$U^{-1}AU=U^*AU$ は上三角行列である。$U^*AU$ の対角成分は $P^{-1}AP$ の対角成分 $t_{11},\dots,t_{nn}$ と同じ順に並ぶ。

段 1（有限個に帰着）：$\mathcal{S}$ が張る $M_n(K)$ の部分空間は有限次元なので、$\mathcal{S}$ の元からなるその基底 $A_1,\dots,A_r$ がとれる（張る集合は基底を含む。基底と次元）。$v$ が $A_1,\dots,A_r$ に共通の固有ベクトルなら、$A=\sum_ic_iA_i$ について $Av=\sum_ic_i\mu_iv$（$A_iv=\mu_iv$）なので、$v$ はすべての $A\in\mathcal{S}$ の固有ベクトルである。
段 2（$r$ についての帰納法）：次を示す。「$\{0\}$ でない部分空間 $W\subset K^n$ がすべての $A_i$ で不変なら、$W$ の中に $A_1,\dots,A_r$ に共通の固有ベクトルがある」。$W=K^n$ とすれば補題を得る。
$A_1$ を $W$ に制限した線形変換 $A_1|_W$ を考える。$W$ の基底を延長した基底で $A_1$ を表すと区分上三角行列になり、$p_{A_1}=p_{A_1|_W}\cdot p_{\overline{A_1}}$ である（商ベクトル空間 の記事の命題「誘導写像と区分上三角行列」の (iii)）。$p_{A_1}$ は 1 次式の積なので、その約数である $p_{A_1|_W}$ も 1 次式の積であり（$K[x]$ は一意分解整域である）、根 $\lambda\in K$ をもつ。よって $W':=\{w\in W\mid A_1w=\lambda w\}$ は $\{0\}$ でない。$i\ge2$ と $w\in W'$ について、$A_iw\in W$ かつ $A_1(A_iw)=A_iA_1w=\lambda A_iw$ なので $A_iw\in W'$ である。すなわち $W'$ は $A_2,\dots,A_r$ で不変である。$r=1$ なら $W'$ の $0$ でない元が求めるベクトルである。$r\ge2$ なら、帰納法の仮定を $A_2,\dots,A_r$ と $W'$ に使って、$W'$ の中に $A_2,\dots,A_r$ に共通の固有ベクトル $v$ がとれる。$v\in W'$ なので $A_1v=\lambda v$ でもある。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ ならどの行列も上三角行列である。$n\ge2$ とし、$\mathcal{S}$ は空でないとしてよい。lem-tri-common-eigenvector により共通の固有ベクトル $v$ がある。$v$ を延長した基底を並べた正則行列を $P_1$ とすると、thm-tri-criterion の証明の段 1 と同じく、各 $A\in\mathcal{S}$ について
$$ P_1^{-1}AP_1=\begin{pmatrix}\lambda_A&b_A\\0&A'\end{pmatrix}\qquad(A'\in M_{n-1}(K)) $$
と書ける。$A,B\in\mathcal{S}$ について、ブロック行列 の積の規則により $P_1^{-1}ABP_1$ の右下のブロックは $A'B'$ であり、$P_1^{-1}BAP_1$ の右下は $B'A'$ である。$AB=BA$ なので $A'B'=B'A'$ である。また $p_A=(x-\lambda_A)p_{A'}$ なので、$p_{A'}$ も 1 次式の積に分解する。よって $\mathcal{S}':=\{A'\mid A\in\mathcal{S}\}$ に帰納法の仮定を使え、正則な $Q\in M_{n-1}(K)$ で、すべての $A'$ について $Q^{-1}A'Q$ が上三角行列になるものがある。$P:=P_1\,\mathrm{diag}(1,Q)$ とすれば、thm-tri-criterion の証明の段 3 と同じ計算で、すべての $P^{-1}AP$ は上三角行列である。$\square$

$S:=P^{-1}AP$、$T:=P^{-1}BP$ とおく。lem-tri-products の 1 により $ST$ と $TS$ はどちらも対角成分 $s_{ii}t_{ii}$ の上三角行列なので、$P^{-1}(AB-BA)P=ST-TS$ は狭義上三角行列である。狭義上三角行列は冪零であり（冪零行列 の記事の例「ずらしの行列」の後半）、冪零性は相似で保たれるので、$AB-BA$ は冪零である。$\square$

thm-tri-criterion により、$T:=P^{-1}AP$ が対角成分 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の上三角行列となる正則な $P$ がある。$P^{-1}A^kP=(P^{-1}AP)^k=T^k$ なので、線形性により $P^{-1}f(A)P=f(T)$ である。lem-tri-products の 2 により $f(T)$ は対角成分 $f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)$ の上三角行列であり、同じ補題の 3 と固有多項式の相似不変性により $p_{f(A)}=p_{f(T)}=\prod_i(x-f(\lambda_i))$ である。行列式と跡は cor-tri-diagonal の 1 を $f(A)$ に使えばよく、正則性は $\det f(A)\ne0$ と同じである。$\square$