単純加群

単純な $\mathbb{Z}$ 加群（単純なアーベル群）は、素数 $p$ に対する $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型なものに限る。prop-simple-module-characterization により、単純 $\mathbb{Z}$ 加群は $\mathbb{Z}$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ による $\mathbb{Z}/\mathfrak{m}$ と同型である。$\mathbb{Z}$ のイデアルは $n\mathbb{Z}$（$n\geq0$）の形であり、$n\mathbb{Z}\subset m\mathbb{Z}$ は $m\mid n$ と同値なので、極大なものは $n$ が素数のときの $p\mathbb{Z}$ である（$n=0$ なら $0\subsetneq2\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}$、$n=1$ なら $\mathbb{Z}$ 自身、$n=ab$（$1< a< n$）なら $n\mathbb{Z}\subsetneq a\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}$）。
したがって、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$n$ が素数でないときの $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（$n\geq2$）は単純でない。$\mathbb{Z}$ は $0$ でない真部分群 $2\mathbb{Z}$ をもち、$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ をもつ。

1. 体 $k$（より一般に斜体）上の加群、すなわちベクトル空間 $V$ が単純であることと、$\dim V=1$ であることは同値である。$V\neq0$ なら $0$ でない $x$ をとると $kx$ は $1$ 次元の部分空間であり、$V$ が単純なら $V=kx$ である。逆に $\dim V=1$ なら部分空間の次元は $0$ か $1$ なので、部分空間は $0$ と $V$ だけである。
2. 斜体 $D$ と $n\geq1$ について、列ベクトルの空間 $D^n$ は、行列の積による左 $M_n(D)$ 加群として単純である（半単純環 の記事の例「斜体と行列環」の 2）。$D^n$ は $D$ 上では $n$ 次元であり、$n\geq2$ なら $D$ 加群としては単純でない。単純かどうかは、どの環の上の加群とみるかによる。

$\mathbb{R}$ 上のベクトル空間 $V$ と線形写像 $T\colon V\to V$ の組は、$x$ を $T$ として作用させる多項式環 $\mathbb{R}[x]$ 上の加群と同じものであり、その部分加群は $T$ で不変な部分空間である。$V=\mathbb{R}^2$、$T=J:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（$90^\circ$ の回転）とすると、$V$ は単純 $\mathbb{R}[x]$ 加群である。実際、$0$ と $V$ 以外の部分空間は $1$ 次元 $\mathbb{R}v$ であり、それが $J$ で不変なら $v$ は $J$ の実数の固有値の固有ベクトルになるが、$J$ の固有多項式 $t^2+1$ は実数の根をもたない。
同じ行列を複素数上で考えた $\mathbb{C}^2$ は単純 $\mathbb{C}[x]$ 加群でない。$J\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}=i\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$ なので、$\mathbb{C}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$ が $0$ でない真の部分加群である。係数体を広げると単純性は保たれないことがある。

$0$ でない加群 $M$ が直既約（indecomposable）であるとは、$M=N\oplus N'$ となる $0$ でない部分加群 $N,N'$ がないことをいう。単純加群は直既約である（部分加群が $0$ と自分自身しかないから）。逆は成り立たない。

1. $\mathbb{Z}$ は直既約である。$0$ でない 2 つの部分群 $a\mathbb{Z}$、$b\mathbb{Z}$（$a,b\neq0$）は $0$ でない元 $ab$ を共有するので、直和 $a\mathbb{Z}\oplus b\mathbb{Z}$ の形に分かれない。しかし ex-simple-module-integers のとおり単純でない。
2. 体 $k$ 上の $R=k[x]/(x^2)$ を $R$ 加群とみると、部分加群（$R$ のイデアル）は $0$、$k\bar x$、$R$ の 3 つだけである（半単純環 の記事の例「反例：冪零元をもつ環」）。$0$ でない真の部分加群が $k\bar x$ ただ 1 つなので $R$ は直既約であるが、$k\bar x$ があるので単純でない。
   これらの例が満たす性質は「直既約」であり、満たさない性質は「単純」である。ベクトル空間では「直既約 ⟺ $1$ 次元 ⟺ 単純」であるが、一般の加群では含意「直既約ならば単純」が破れる。

1. $\mathbb{Z}$ は単純な部分加群をもたない。$0$ でない部分群 $n\mathbb{Z}$ は真部分群 $2n\mathbb{Z}$ をもつからである。
2. $\mathbb{Q}$ は単純な商加群をもたない。単純 $\mathbb{Z}$ 加群は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の形であり（ex-simple-module-integers）、全射準同型 $\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は存在しない。実際、$\mathbb{Q}$ は可除群で、有限アーベル群への準同型は零写像に限る（アーベル群 の記事の命題「可除群の像と可除群からの準同型」の 3）。
   一方、$0$ でない有限生成加群 $M$ は単純な商加群をもつ。$M$ が $x_1,\dots,x_n$ で生成されるとき、$M$ と異なる部分加群の全順序な族の合併は、$x_1,\dots,x_n$ をすべて含むことがない（含めばある 1 つの部分加群がすべてを含み $M$ に等しくなる）ので $M$ と異なる。Zornの補題により $M$ と異なる部分加群のうち極大なもの $N$ があり、部分加群の対応により $M/N$ は単純である。巡回加群 $Rx\cong R/\operatorname{Ann}(x)$ の場合、これは $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大左イデアル $\mathfrak{m}$ による商 $R/\mathfrak{m}$ をとることにあたる。2 の $\mathbb{Q}$ は有限生成でない（アーベル群 の記事の命題「有理数の加法群は有限生成でない」）。

1. $\operatorname{End}_R(M)$ が斜体でも $M$ は単純とは限らない。$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみると、準同型 $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ は $c:=f(1)$ 倍写像に限る。実際 $n\geq1$ について $nf(1/n)=f(1)=c$ から $f(1/n)=c/n$、よって $f(m/n)=mf(1/n)=cm/n$ である。したがって $\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Q}$ は体であるが、$\mathbb{Q}$ は単純でない（ex-simple-module-integers）。満たす性質は「自己準同型環が斜体」、満たさない性質は「単純」であり、含意「自己準同型環が斜体ならば単純」を破る。
2. prop-simple-module-schur-closed の「代数閉体」は外せない。ex-simple-module-rotation の単純 $\mathbb{R}[x]$ 加群 $V=\mathbb{R}^2$ の自己準同型は $J$ と可換な実行列 $X$ である。$X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ について $XJ=\begin{pmatrix}b&-a\\d&-c\end{pmatrix}$、$JX=\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}$ なので、$XJ=JX$ は $d=a$、$c=-b$ と同値であり、$X=aI-bJ$ の形である。$J^2=-I$ なので $aI+bJ\mapsto a+bi$ は環の同型 $\operatorname{End}_{\mathbb{R}[x]}(V)\cong\mathbb{C}$ を与える。自己準同型環は斜体（ここでは体 $\mathbb{C}$）だが、係数体 $\mathbb{R}$ より真に大きい。

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群 $\langle\bar6\rangle=\{\bar0,\bar6\}$、$\langle\bar4\rangle=\{\bar0,\bar4,\bar8\}$、$\langle\bar2\rangle$（位数 $6$）について
$$ 0\subsetneq\langle\bar6\rangle\subsetneq\langle\bar2\rangle\subsetneq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},\qquad 0\subsetneq\langle\bar4\rangle\subsetneq\langle\bar2\rangle\subsetneq\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} $$
はどちらも組成列である。各商の位数は、前者が $2,3,2$、後者が $3,2,2$ であり、位数が素数のアーベル群は巡回群なので、組成因子はそれぞれ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。並べ方は違うが、組成因子の種類と個数は一致する。これは $12=2\cdot2\cdot3$ という素因数分解の一意性の加群版である。一方 $\mathbb{Z}$ は組成列をもたない。組成列 $0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots$ があれば $M_1$ は単純な部分加群であるが、$\mathbb{Z}$ は単純な部分加群をもたない（ex-simple-module-no-simple-parts）。