幾何的正則性

分離の場合。 有限拡大の生成元を $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ とし、$L_i=k(\alpha_1,\ldots,\alpha_i)$ と置く。$L/k$ が分離なら、$\alpha_i$ の $L_{i-1}$ 上の最小多項式 $f_i$ も分離である。実際、$k$ 上の分離多項式を $L_{i-1}$ 上で因数分解して得る因子であり、重根を新たに持つことはない。
任意の有限次体拡大 $k'/k$ を取る。最初の $L_0\otimes_k k'$ は体 $k'$ である。帰納的に $L_{i-1}\otimes_k k'$ が有限個の体 $F_j$ の積なら
$$ L_i\otimes_k k'\cong\prod_j F_j[T]/(f_{i,j}) $$
となる。$f_{i,j}$ は $f_i$ の係数を $F_j$ へ送った多項式である。分離性の Bézout 等式 $u f_i+v f_i'=1$ は係数写像後にも成立するので、$f_{i,j}$ とその微分は互いに素である。一変数の既約因子分解には従って重複がない。中国剰余定理により各商は有限個の体の積となる。
これを全生成元へ繰り返すと $L\otimes_k k'$ は有限個の体の積である。その素イデアルは一つの因子を残すものに限られ、局所化はその体になる。各局所環は次元零、極大イデアル零なので正則である。$k'$ が分離である必要はなく、最初に取った全有限拡大でこの議論が成立する。
非分離の場合。 $L/k$ が分離でなければ、ある $\alpha\in L$ の $k$ 上の最小多項式 $f$ が非分離となる。既約多項式で重根を持つことは $f'=0$ と同値である。従って標数はある素数 $p$ であり、$f(T)=f_0(T^{p^e})$、$e\ge1$ と書ける。$e$ を最大に取れば $f_0$ の微分は零でない。
$f$ の全根を含む有限次体拡大 $k'/k$ を取る。多項式一つの根を有限個順に付加するだけなので、これは有限拡大でよい。$k'[T]$ では
$$ f(T)=\prod_{j=1}^r(T-c_j)^{p^e} $$
となり、$c_j$ は相異なる。$g(T)=\prod_j(T-c_j)$ の類は $k'[T]/(f)$ で非零であり、その $p^e$ 乗は零である。非零である理由は $\deg g<\deg f$ なので $g\notin(f)$ だからである。
$k(\alpha)\hookrightarrow L$ は $k$ ベクトル空間の単射であり、基底を延長して直和分裂できる。従って $k'$ をテンソルした後にも単射である。上の非零冪零元は
$$ k(\alpha)\otimes_k k'\hookrightarrow L\otimes_k k' $$
の像で依然非零となる。
有限次元 $k'$ 代数 $D=L\otimes_k k'$ の素イデアルは全て極大である。素商は有限次元整域であり、非零元の掛け算が単射な有限次元線型写像、従って全射となるので体だからである。よって $D$ の各局所化の次元は零である。非零冪零元 $x$ の消去イデアルを含む極大イデアル $\mathfrak m$ を取れば $x/1\ne0$ が $D_{\mathfrak m}$ でも成立する。零なら $\mathfrak m$ 外の元が $x$ を消し、消去イデアルの包含に反する。
零次元 Noether 局所環が正則なら極大イデアルの最小生成元数は零である。有限生成の極大イデアルに Nakayama を適用してそれが零となり、局所環は体になる。体に非零冪零元はない。従ってこの $D_{\mathfrak m}$ は正則でなく、幾何的正則性が失敗する。

有限次拡大 $k'/k$ を固定する。$S'$ を $R\otimes_k k'$ 内の $s\otimes1$ の集合とする。両環の普遍性から
$$ (S^{-1}R)\otimes_k k'\cong (S')^{-1}(R\otimes_k k') $$
である。具体的には $(r/s)\otimes c$ を $(r\otimes c)/(s\otimes1)$ へ送る。逆方向は、左環で $s\otimes1$ が逆元 $(1/s)\otimes1$ を持つことから定まる。分数の相等は、ある追加分母の掛け算で分子差が零になるという関係であり、両写像はその関係を保つ。
$R\otimes_k k'$ は仮定により正則である。その局所化の素イデアルにおける局所環は、元の環の対応する素イデアルでの局所環と同じである。従って正則局所環のままである。Noether 性も保たれる。もし $S'$ に零が入れば右環は零環になり、その場合も定義により正則である。全有限拡大に対してこの議論が成立する。

任意の体拡大 $K/k$ について
$$ k[X_1,\ldots,X_n]\otimes_k K\cong K[X_1,\ldots,X_n] $$
となる。単項式の $k$ 基底をテンソルすると同じ単項式が $K$ 基底になり、積も係数積と指数加算で一致する。これは任意の体拡大を許すが、以下では変数の数 $n$ は有限のままである。
代数閉体の閉点。 まず $K$ が代数閉体の場合を考える。Zariskiの補題 の系「極大イデアルの剰余体」により、有限型 $K$ 代数の極大点の剰余体は $K$ である。従って多項式環の各極大点は $\mathfrak m=(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ という形である。$Y_i=X_i-a_i$、$T=K[Y]_{(Y)}$ とすると、各 $r\ge1$ について
$$ T/(Y)^r\cong K[Y]/(Y)^r $$
である。左から右への写像は定数項が非零の分母を有限幾何級数で逆転し、逆写像は多項式を局所化する。二つの合成は分母の逆元の一意性から恒等である。全精度で互換な係数を取れば
$$ \widehat T\cong K[\![Y_1,\ldots,Y_n]\!] $$
となる。geom-poly-lem-fs-jgr-series-regular によりこの級数環は次元 $n$、埋込み次元 $n$ の正則局所環である。同補題の完成の Noether性・次元一致・余接空間一致から、$T$ も正則局所環となる。
代数閉体の全素点。 任意の素点 $\mathfrak p$ を含む極大点 $\mathfrak m$ を取る。反復局所化の同型
$$ K[X]_{\mathfrak p}\cong\bigl(K[X]_{\mathfrak m}\bigr)_{\mathfrak pK[X]_{\mathfrak m}} $$
により、その局所環は上の正則局所環の素局所化である。下の geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-regular-local-localization により、この局所環も正則局所環である。単に閉点だけを調べたのではなく、この定理を通じて全素点を調べている。
一般の体への下降。 一般の体 $K$ に対し代数閉包 $\Omega$ を取る。$D=K[X]$ の任意の素点 $\mathfrak p$ に対し $\kappa(\mathfrak p)\otimes_K\Omega\ne0$ である。実際、$1$ を含む $K$ 基底を $\Omega$ に選び、$1$ の係数を取る線型写像をテンソルすると、$\kappa(\mathfrak p)\to\kappa(\mathfrak p)\otimes_K\Omega$ の左逆を得る。この非零環の極大イデアルを取れば、その逆像は $D\otimes_K\Omega$ の $\mathfrak p$ の上の素点 $\mathfrak q$ となる。
$R=D_{\mathfrak p}$、$U=(D\otimes_K\Omega)_{\mathfrak q}$ とする。体拡大は自由 $K$ 加群なので単射をテンソル後も保ち、局所化は完全なので単射を保つ。従って $R\to U$ は平坦局所射である。Hilbert基底定理と局所化で両環は Noether であり、$U$ は先の全素点判定から正則局所環である。
$R$ の剰余体の最小自由分解 $F_\bullet$ を取る。各項は有限自由で、各微分の係数は $\mathfrak m_R$ に入る。平坦性により $U\otimes_R F_\bullet$ は $U/\mathfrak m_RU$ の自由分解である。geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-regular-local により $e=\dim U$ を超える次数の Tor は任意の $U$ 加群について零である。一方、$\kappa(\mathfrak m_U)$ とテンソルすると局所射であるため全微分は零になるので、$i>e$ のこの Tor は $F_i\otimes_R\kappa(\mathfrak m_U)$ に等しい。有限自由階数が零であり $F_i=0$ となる。従って $R$ の剰余体の射影次元は有限で、geom-poly-fs-jgr-thm-ci-gdl-regular-local-converse により $R$ は正則局所環である。この議論は任意の $K$ と全ての素点に適用できる。
特に全有限次拡大後にも正則なので、定義の幾何的正則性が得られる。局所化の主張は prop-geometric-localization による。$n=0$ では係数変更後は体 $K$ そのものであり、零次元・極大イデアル零で正則となる。乗法集合に零が入る局所化は零環であり、空の素スペクトルという規約で扱う。

証明は パラメータ系 の補題「極大根基の生成元数による次元上界」に譲る。特に Noether 局所環の次元は有限で、極大イデアルの生成元数以下である。

証明は 完備化 の定理「Noether 環の完備化は Noether 環」に譲る（次元の等式はその定理の後半である）。

冪級数環。 上の geom-poly-fs-jgr-thm-ci-cohen-fps-noether と geom-poly-fs-jgr-prop-ci-cohen-fps-local が Noether性と局所性を与える。$(Z)$ 進完備性は、互換な切断の各単項式の係数が安定し、それを係数にした級数が唯一の逆極限の原像になることから従う。非零級数の最低次数の斉次部分の積は多項式環上で非零なので、この環は整域である。$(Z_1,\ldots,Z_j)$ による商も残りの変数の冪級数整域であり、変数を順に加えた素イデアル鎖は長さ $d$ である。他方、geom-poly-fs-jgr-lem-ci-drop-local-bound により、極大イデアルの $d$ 個の生成元は次元の上界 $d$ を与える。一次係数を取る写像から $(Z)/(Z)^2$ の基底は $Z_1,\ldots,Z_d$ の像であり、埋込み次元も $d$ となる。$d=0$ では環は体 $k$ であり、空鎖と零次元の余接空間を用いる。
完成。 geom-poly-fs-jgr-prop-ci-completion-jets の $\widehat R/\mathfrak m^q\widehat R\cong R/\mathfrak m^q$ は $q=1,2$ で剰余体と余接空間を同定する。geom-poly-fs-jgr-prop-ci-completion-noether は完成の Noether性、geom-poly-fs-jgr-thm-ci-completion-dimension は次元の一致を与える。従って次元と埋込み次元が等しいという正則局所環の条件は両環で一致する。