Riesz–Schauder理論

1：二項展開により $A^k=\lambda^kI-T_k$ で、$T_k$ は $T$ の正の冪の線形結合である。コンパクト作用素 の記事の定理「コンパクト作用素の全体は閉じたイデアル」により $T_k$ はコンパクトなので、同記事の定理「Riesz–Schauderの理論」の 1 と 2 を $T_k$ と $\lambda^k\ne0$ に当てればよい。
2：$T$ は $A$ と可換なので $A^k(Tx)=T(A^kx)$ から最初の二つが従う。残りは定義から明らかである。
3：$x\in N_{k+2}$ なら $Ax\in N_{k+1}=N_k$ なので $x\in N_{k+1}$ であり、$N_{k+2}=N_{k+1}$ となる。帰納法で前半が出る。後半は $R_{k+2}=A(R_{k+1})=A(R_k)=R_{k+1}$ と帰納法による。$\square$

道具は Fredholm作用素 の記事の補題「Rieszの補題」の 1 である：ノルム空間 $V$ の閉部分空間 $U\subsetneq V$ に対し、$\|u\|=1$、$\operatorname{dist}(u,U)\ge\tfrac12$ となる $u\in V$ がある。
昇鎖指数は有限．そうでないとすると、すべての $k$ で $N_k\subsetneq N_{k+1}$ であり、$N_k$ は有限次元なので閉じている。$u_k\in N_{k+1}$、$\|u_k\|=1$、$\operatorname{dist}(u_k,N_k)\ge\tfrac12$ をとる。$m< k$ なら $Tu=\lambda u-Au$ から
$$ Tu_k-Tu_m=\lambda u_k-\bigl(Au_k+Tu_m\bigr) $$
であり、$Au_k\in N_k$、$Tu_m\in N_{m+1}\subset N_k$（lem-rs-basic の 2）なので、$\|Tu_k-Tu_m\|\ge|\lambda|\operatorname{dist}(u_k,N_k)\ge|\lambda|/2$ である。有界列 $(u_k)$ の像 $(Tu_k)$ が収束する部分列をもたないので、$T$ のコンパクト性に反する。
降鎖指数は有限．そうでないとすると、すべての $k$ で $R_{k+1}$ は $R_k$ の真の閉部分空間である。$u_k\in R_k$、$\|u_k\|=1$、$\operatorname{dist}(u_k,R_{k+1})\ge\tfrac12$ をとる。$m>k$ なら同じ式で $Au_k\in R_{k+1}$、$Tu_m\in R_m\subset R_{k+1}$ なので、$\|Tu_k-Tu_m\|\ge|\lambda|/2$ となり、やはり矛盾する。
直和分解．$r$ を昇鎖指数と降鎖指数の大きいほうとする。lem-rs-basic の 3 により、すべての $j\ge0$ で $N_{r+j}=N_r$、$R_{r+j}=R_r$ である。$x\in N_r\cap R_r$ なら $x=A^ry$ と書けて $A^{2r}y=A^rx=0$ なので $y\in N_{2r}=N_r$、$x=A^ry=0$ である。また $x\in E$ について $A^rx\in R_r=R_{2r}$ なので $A^rx=A^{2r}y$ となる $y$ があり、$x=(x-A^ry)+A^ry$ で $x-A^ry\in N_r$、$A^ry\in R_r$ である。よって $E=N_r\oplus R_r$ である。
$R_r$ 上で $A$ は全単射．$A(R_r)=R_{r+1}=R_r$ で、$\ker A\cap R_r\subset N_r\cap R_r=\{0\}$ である。
二つの指数は等しい．降鎖指数を $q$、昇鎖指数を $p$ とする。$x\in N_{q+1}$ なら $A^qx\in R_q=R_r$ かつ $A(A^qx)=0$ なので、$R_r$ 上の $A$ の単射性から $A^qx=0$、すなわち $x\in N_q$ である。よって $N_{q+1}=N_q$、$p\le q$ である。また $N_p=N_r$ なので $A^p(N_r)=\{0\}$ であり、$A^p$ は $R_r$ を $R_r$ の上へ写すから、
$$ R_p=A^p(E)=A^p(N_r)+A^p(R_r)=R_r $$
となって $q\le p$ である。したがって $p=q=r$ で、1 と 2 の直和分解が示された。$N_p$ の有限次元性と $R_p$ の閉性・不変性は lem-rs-basic の 1・2 による。
3 と 4．$R_p$ は閉部分空間なので Banach 空間であり、$A|_{R_p}$ は有界な全単射だから、開写像定理 の記事の系「有界逆写像定理」により逆は有界である。$N_p$ 上で $A^p=0$ は定義どおりである。$N_p$（有限次元なので閉）と $R_p$ はともに閉じているので、開写像定理 の記事の系「閉部分空間への直和分解の射影」により $P$ は有界である。$x=u+v$ なら $Tx=Tu+Tv$、$Tu\in N_p$、$Tv\in R_p$ なので $PTx=Tu=TPx$ である。$\square$

1：thm-rs-decomposition の $E=N_p\oplus R_p$ と $A(R_p)=R_p$、$A(N_p)\subset N_p$ から
$$ R(A)=A(N_p)+A(R_p)=A(N_p)\oplus R_p $$
である。よって $E/R(A)$ は $N_p/A(N_p)$ と線形同型で、有限次元の $N_p$ 上の線形写像 $A|_{N_p}$ に次元定理を使うと
$$ \dim E/R(A)=\dim N_p-\dim A(N_p)=\dim\ker(A|_{N_p})=\dim(N_1\cap N_p)=\dim N_1 $$
となる（$p=0$ なら両辺とも $0$）。
2：$\psi\in E^*$ について、$(\lambda I-T^*)\psi=\psi\circ A=0$ であることと $\psi$ が $R(A)$ 上で $0$ になることは同値である。$A(N_p)$ の $N_p$ での補空間 $G$ をとると、1 の式から $E=R(A)\oplus G$、$\dim G=\dim N_1$ であり、$R(A)$ と有限次元の $G$ はともに閉じている。$G$ への射影 $Q$（$R(A)$ に沿う）は 開写像定理 の記事の系「閉部分空間への直和分解の射影」により有界である。$R(A)$ 上で $0$ になる $\psi\in E^*$ に $\psi|_G$ を対応させる写像は、$G$ 上の線形汎関数の空間 $G^*$ への線形同型である：単射であることは $E=R(A)\oplus G$ から、全射であることは $g\in G^*$ に対して $g\circ Q\in E^*$ が原像になることからわかる（有限次元の $G$ 上の線形汎関数は連続）。よって $\dim\ker(\lambda I-T^*)=\dim G^*=\dim G=\dim N_1$ である。
3：$f=Ax$ なら $\psi(f)=(\psi\circ A)(x)=0$ である。逆に $f\notin R(A)$ とすると、$R(A)$ は閉じているので、Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」により、$R(A)$ 上で $0$ かつ $\psi(f)\ne0$ となる $\psi\in E^*$ がある。2 の最初の注意により $\psi\in\ker(\lambda I-T^*)$ である。$\square$

1：thm-rs-decomposition の分解 $E=N_p\oplus R_p$ を使い、$B:=(A|_{R_p})^{-1}\in L(R_p)$ とおく。$R_p=\{0\}$ なら $\delta:=\infty$、そうでなければ $\delta:=1/\|B\|$ とする。$0<|\mu-\lambda|<\delta$ とし、$c:=\mu-\lambda$ とおくと $\mu I-T=cI+A$ である。
$N_p$ 上：$A$ は冪零（$A^p=0$）なので、$cI+A$ は
$$ \sum_{j=0}^{p-1}\frac{(-1)^jA^j}{c^{j+1}} $$
を逆にもつ（掛けると望遠鏡和で $I$ になる）。
$R_p$ 上：$cI+A=A(I+cB)$ で、$\|cB\|<1$ なので級数 $\sum_{n\ge0}(-cB)^n$ は $L(R_p)$ で作用素ノルムについて絶対収束し、$I+cB$ の逆を与える（Banach代数 の記事の命題「Neumann 級数」と同じ計算で、実の場合も成り立つ）。よって $cI+A$ は $R_p$ 上で全単射である。
$N_p$ と $R_p$ はともに $T$ で不変なので、$\mu I-T$ は $E=N_p\oplus R_p$ 上で全単射であり、開写像定理 の記事の系「有界逆写像定理」により $\mu\in\rho(T)$ である。
2：代数的重複度 $\dim N_p$ は lem-rs-basic の 1 により有限で、$N_1\subset N_p$ である。
3：Schauderの定理(コンパクト作用素) により $T^*\in K(E^*)$ である。コンパクト作用素 の記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」の 1 を $T$ と $T^*$ に当てると、$0$ でないスペクトルはどちらも固有値からなる。cor-rs-index の 2 により、$\lambda\ne0$ が $T$ の固有値であることと $T^*$ の固有値であることは同値である。$\square$

$\lambda$ は実数なので $A$ も自己共役である。$A^2x=0$ なら $\|Ax\|^2=\langle A^2x,x\rangle=0$ なので $Ax=0$ であり、$N_2=N_1$ である。$\square$

1：最初の $2N$ 成分のブロックだけを残した有限階作用素 $T_N$ について $\|T-T_N\|=\sup_{n>N}a_n\to0$ なので、$T$ はコンパクトである（コンパクト作用素 の記事の定理「コンパクト作用素の全体は閉じたイデアル」の 2）。$Tx=\mu x$（$\mu\in\mathbb R$）とすると、各 $n$ で $-a_nx_{2n}=\mu x_{2n-1}$、$a_nx_{2n-1}=\mu x_{2n}$ なので $(\mu^2+a_n^2)x_{2n}=0$、$(\mu^2+a_n^2)x_{2n-1}=0$ であり、$a_n>0$ から $x=0$ である。よって $T$ は（$0$ も含めて）固有値をもたない。$0$ でないスペクトルは固有値からなり（同記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」の 1）、$E$ は無限次元なので $0\in\sigma(T)$ である。したがって $\sigma(T)=\{0\}$ である。
2：$T^m$ は $n$ 番目のブロックに $a_n^m$ 倍した $90m^\circ$ 回転を施すので、ブロックごとに $\|T^m(x_{2n-1},x_{2n})\|=a_n^m\|(x_{2n-1},x_{2n})\|$ であり、$\|T^m\|=\sup_na_n^m=a^m$ である。
3：$v_n:=e_{2n-1}\mp ie_{2n}$ とおくと、$Te_{2n-1}=a_ne_{2n}$、$Te_{2n}=-a_ne_{2n-1}$ から $Tv_n=\pm ia_n\,v_n$ である。$\square$