Hecke作用素

存在．$\alpha=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n$ の第 1 列は $0$ でない（$\det\alpha\neq0$）。$g:=\gcd(a',c')>0$ とし、Bézoutの等式 で $xa'/g+yc'/g=1$ となる整数 $x,y$ をとると、$\gamma:=\begin{pmatrix}x&y\\-c'/g&a'/g\end{pmatrix}\in\Gamma(1)$ で、$\gamma\alpha$ の第 1 列は $(g,0)$ である。$\gamma\alpha=\begin{pmatrix}g&b''\\0&d\end{pmatrix}$ で $gd=n$ から $d>0$ である。$T^m\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b+md\\0&d\end{pmatrix}$ なので、$m$ を選んで $0\le b+md< d$ にできる。

一意性．$\gamma\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a'&b'\\0&d'\end{pmatrix}$（$\gamma\in\Gamma(1)$、ともに上の形）とすると、$\gamma=\begin{pmatrix}a'&b'\\0&d'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}^{-1}$ は対角成分が $a'/a$、$d'/d$ の上三角行列で、整数成分・行列式 $1$ なので対角成分は $1,1$ か $-1,-1$ である。$a,a'>0$ から $\gamma=T^m$ で、$a=a'$、$d=d'$、$b'=b+md$ となり、$0\le b,b'< d$ から $m=0$ である。個数は $d\mid n$ ごとに $b$ が $d$ 通りなので $\sigma_1(n)$ である。$\square$

変換則．$\gamma\in\Gamma(1)$ について $\alpha\mapsto\alpha\gamma$ は $\mathcal{M}_n$ の全単射で、$\Gamma(1)\alpha\mapsto\Gamma(1)\alpha\gamma$ は $\Gamma(1)\backslash\mathcal{M}_n$ の全単射である。よって $(T_nf)|\gamma=n^{k-1}\sum_\alpha f|(\alpha\gamma)=T_nf$ である。$T_nf$ は正則関数の有限和なので正則である。

係数．$f((az+b)/d)=\sum_mc(m)e^{2\pi im(az+b)/d}$ を $b=0,\dots,d-1$ について足すと、$d\mid m$ の項だけが $d$ 倍で残り、$\sum_{b}f\bigl(\frac{az+b}d\bigr)=d\sum_{l\ge0}c(dl)q^{al}$ となる。$n^{k-1}d^{1-k}=a^{k-1}$（$ad=n$）なので $$(T_nf)(z)=\sum_{ad=n}a^{k-1}\sum_{l\ge0}c(dl)\,q^{al}$$ である。$\lvert q^{a/d}\rvert=e^{-2\pi ay/d}<1$ なので $\sum_l\lvert c(dl)\rvert\lvert q\rvert^{al}\le\sum_m\lvert c(m)\rvert\lvert q^{a/d}\rvert^m<\infty$ であり（$f$ の $q$ 展開は $\lvert q\rvert<1$ で絶対収束する）、並べ替えて $q^m$ の係数を集めてよい。$al=m$ となるのは $a\mid\gcd(m,n)$、$l=m/a$ のときで、そのとき $dl=nm/a^2$ である。$a$ を $d$ と書き直せば主張の式を得る。右辺は $q$ の負冪を含まない冪級数なので $T_nf$ は $\operatorname{Im}z\ge1$ で有界で、$T_nf\in M_k$ である。$c_n(0)=\sum_{d\mid n}d^{k-1}c(0)$ なので、$c(0)=0$ なら $c_n(0)=0$ である。$\square$

$f=\sum c(m)q^m$ とし、$T_nf$ の係数を $c_n(\cdot)$ と書く。

1．$T_m(T_nf)$ の $q^l$ の係数は $\sum_{d\mid(l,m)}d^{k-1}c_n(lm/d^2)=\sum_{d\mid(l,m)}\sum_{e\mid(lm/d^2,\,n)}(de)^{k-1}c\bigl(lmn/(de)^2\bigr)$ である。$e\mid n$ は $m$ と、したがって $d$ とも素なので、$e\mid lm/d^2$ は $e\mid lm$、さらに $e\mid l$ と同値である。互いに素な $d\mid(l,m)$、$e\mid(l,n)$ の組と $g\mid(l,mn)$ は $g=de$ で一対一に対応するので、係数は $\sum_{g\mid(l,mn)}g^{k-1}c(lmn/g^2)=c_{mn}(l)$ である。

2．$v:=v_p(l)$（$l=0$ なら $v=\infty$）とし、$X_i:=p^{i(k-1)}c(lp^{r+1-2i})$ とおく。$T_p(T_{p^r}f)$ の $q^l$ の係数は $c_{p^r}(lp)+[p\mid l]\,p^{k-1}c_{p^r}(l/p)$ で、$$c_{p^r}(lp)=\sum_{i=0}^{\min(v+1,r)}X_i,\qquad[p\mid l]\,p^{k-1}c_{p^r}(l/p)=[v\ge1]\sum_{j=1}^{\min(v,r+1)}X_j$$ である（後者は $i+1=j$ と置き換えた）。右辺 $T_{p^{r+1}}f+p^{k-1}T_{p^{r-1}}f$ の係数は $$\sum_{i=0}^{\min(v,r+1)}X_i+\sum_{j=1}^{\min(v+1,r)}X_j$$ である（後の和は $p^{k-1}c_{p^{r-1}}(l)=\sum_{i=0}^{\min(v,r-1)}p^{(i+1)(k-1)}c(lp^{r-1-2i})$ で $j=i+1$ とし、$\min(v,r-1)+1=\min(v+1,r)$ を使った）。$v=0$ なら両辺とも $X_0+X_1$ である。$v\ge1$ なら両辺とも $X_0+\sum_{j=1}^{A}X_j+\sum_{j=1}^{B}X_j$（$\{A,B\}=\{\min(v+1,r),\ \min(v,r+1)\}$）である。

3．2 と $r$ についての帰納法により、$T_{p^r}$ は $T_p$ の整数係数の多項式である。1 により $T_n=\prod_pT_{p^{r_p}}$（$n=\prod p^{r_p}$）で、相異なる素数 $p,q$ について $T_pT_q=T_{pq}=T_qT_p$ である。よってすべての $T_n$ は互いに可換な $T_p$ たちの多項式であり、互いに可換である。

4．素数 $p$ を固定し、$t_r:=T_{p^r}$、$c:=p^{k-1}$ とおく。$t_0=1$ と 2 から、可換な代数の中で $t_rt=t_{r+1}+ct_{r-1}$（$t=t_1$、$r\ge1$）である。$s\le r$ について $$t_rt_s=\sum_{i=0}^{s}c^i\,t_{r+s-2i}\qquad(\ast)$$ を $s$ についての帰納法で示す。$s=0,1$ は明らかである。$s+1\le r$ のとき、$t_{s+1}=tt_s-ct_{s-1}$ と帰納法の仮定から $t_rt_{s+1}=\sum_{i=0}^sc^i\,t\,t_{r+s-2i}-c\sum_{i=0}^{s-1}c^it_{r+s-1-2i}$ で、$r+s-2i\ge r-s\ge1$ なので $t\,t_{r+s-2i}=t_{r+s+1-2i}+ct_{r+s-1-2i}$ である。代入すると $c^{i+1}t_{r+s-1-2i}$（$i\le s-1$）が打ち消しあい、$\sum_{i=0}^{s}c^it_{r+s+1-2i}+c^{s+1}t_{r-s-1}=\sum_{i=0}^{s+1}c^it_{r+(s+1)-2i}$ が残る。$(\ast)$ の右辺は $\sum_{d\mid\gcd(p^r,p^s)}d^{k-1}T_{p^{r+s}/d^2}$ にほかならない。一般の $m=\prod p^{r_p}$、$n=\prod p^{s_p}$ では、1 と 3 により $T_mT_n=\prod_pT_{p^{r_p}}T_{p^{s_p}}$ で、各因子に $(\ast)$ を入れて展開し、$d=\prod p^{i_p}$ ごとにまとめて 1 を使うと主張の式になる。$\square$

$\Gamma:=\Gamma(1)$ と書く。$\alpha\in\mathcal{M}_n$ について $\alpha':=n\alpha^{-1}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n$ である。$X\mapsto X':=(\det X)X^{-1}$ は $(XY)'=Y'X'$ を満たし、$\gamma\in\Gamma$ なら $\gamma'=\gamma^{-1}$ である。

段 1（両側剰余類）．$\Gamma\backslash\mathcal{M}_n$ は有限集合なので（lem-ho-representatives）、$\mathcal{M}_n$ は有限個の両側剰余類 $\Gamma\alpha\Gamma$ の非交和である。$\Gamma_\alpha:=\Gamma\cap\alpha^{-1}\Gamma\alpha$ は $-I$ を含む $\Gamma$ の部分群で、$\beta\mapsto\Gamma\alpha\beta$ は全単射 $\Gamma_\alpha\backslash\Gamma\to\Gamma\backslash\Gamma\alpha\Gamma$ を与える（$\Gamma\alpha\beta=\Gamma\alpha\beta'$ は $\alpha\beta'\beta^{-1}\alpha^{-1}\in\Gamma$、すなわち $\beta'\beta^{-1}\in\Gamma_\alpha$ と同値）。とくに $\Gamma_\alpha$ の指数は有限である。$\alpha\Gamma_\alpha\alpha^{-1}=\Gamma\cap\alpha\Gamma\alpha^{-1}=\Gamma_{\alpha'}$ である（$\alpha'^{-1}\Gamma\alpha'=\alpha\Gamma\alpha^{-1}$）。

段 2（$\alpha'\in\Gamma\alpha\Gamma$）．Smith標準形 の記事の定理「Smith標準形の存在」により、$U,V\in\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$ と正の整数 $e_1\mid e_2$ で $\alpha=U\operatorname{diag}(e_1,e_2)V$ となるものがある（不変因子の符号は $U$ に吸収できる）。$\det U\det V\,e_1e_2=n>0$ なので $\det U=\det V$ で、$-1$ なら $U$ を $U\operatorname{diag}(1,-1)$、$V$ を $\operatorname{diag}(1,-1)V$ に替えてよい。よって $U,V\in\Gamma$ としてよく、$\alpha'=V^{-1}\operatorname{diag}(e_2,e_1)U^{-1}$ と $\operatorname{diag}(e_2,e_1)=S\operatorname{diag}(e_1,e_2)S^{-1}$ から $\alpha'\in\Gamma\alpha\Gamma$ である。したがって $\Gamma\alpha'\Gamma=\Gamma\alpha\Gamma$ である。

段 3（1 つの両側剰余類の寄与）．$I(\alpha):=\sum_{\Gamma\delta\subset\Gamma\alpha\Gamma}\int_{\mathcal{F}}(f|\delta)\,\bar g\,y^kd\mu$、$J(\alpha):=\sum_{\Gamma\delta\subset\Gamma\alpha\Gamma}\int_{\mathcal{F}}f\,\overline{(g|\delta)}\,y^kd\mu$ とおく（$f|\delta$ は剰余類 $\Gamma\delta$ だけで決まる）。$I(\alpha)=J(\alpha')$ を示す。$\psi(z):=(f|\alpha)(z)\overline{g(z)}y^k$ とおく。$\beta\in\Gamma$ について、$\operatorname{Im}(\beta z)=y\lvert j(\beta,z)\rvert^{-2}$ と $(f|\alpha)(\beta z)=j(\beta,z)^k(f|\alpha\beta)(z)$ から $\psi(\beta z)=(f|\alpha\beta)(z)\overline{g(z)}y^k$ である。$\beta\in\Gamma_\alpha$ なら $\alpha\beta=(\alpha\beta\alpha^{-1})\alpha$ で $\alpha\beta\alpha^{-1}\in\Gamma$ なので $f|\alpha\beta=f|\alpha$、したがって $\psi$ は $\Gamma_\alpha$ で不変である。$R_\alpha$ を $\Gamma_\alpha\backslash\Gamma$ の代表とすると、段 1 と $\mu$ の不変性から $$I(\alpha)=\sum_{\beta\in R_\alpha}\int_{\mathcal{F}}\psi(\beta z)\,d\mu=\int_{D_\alpha}\psi\,d\mu,\qquad D_\alpha:=\bigcup_{\beta\in R_\alpha}\beta\mathcal{F}$$ で、$D_\alpha$ は $\Gamma_\alpha$ の基本集合である（尖点形式 の記事の補題「基本集合の取り替え」の 1）。$\lvert\psi\rvert$ は有界である。実際 $y^{k/2}\lvert(f|\alpha)(z)\rvert=n^{-k/2}\operatorname{Im}(\alpha z)^{k/2}\lvert f(\alpha z)\rvert$ と $y^{k/2}\lvert g\rvert$ は有界で（同記事の命題「尖点形式の言い換え」）、$\mu(D_\alpha)<\infty$ なので積分は絶対収束する。

$w=\alpha z$ と置換する（$\mu$ は不変）。$j(\alpha',w)=n\,j(\alpha^{-1},\alpha z)=n/j(\alpha,z)$ と $\operatorname{Im}w=n\,y/\lvert j(\alpha,z)\rvert^2$ から $$\psi(z)=j(\alpha,z)^{-k}f(w)\,\overline{g(z)}\,\frac{\lvert j(\alpha,z)\rvert^{2k}}{n^k}(\operatorname{Im}w)^k=f(w)\,\overline{(g|\alpha')(w)}\,(\operatorname{Im}w)^k=:\psi'(w)$$ である。$\gamma=\alpha\beta\alpha^{-1}\in\Gamma_{\alpha'}$（$\beta\in\Gamma_\alpha$）について $\psi'(\gamma w)=\psi(\beta\alpha^{-1}w)=\psi(\alpha^{-1}w)=\psi'(w)$ なので $\psi'$ は $\Gamma_{\alpha'}$ で不変で、$\alpha D_\alpha$ は $\alpha\Gamma_\alpha\alpha^{-1}=\Gamma_{\alpha'}$ の基本集合である。同補題の 2 により $D_{\alpha'}$ に取り替えて $$I(\alpha)=\int_{\alpha D_\alpha}\psi'\,d\mu=\int_{D_{\alpha'}}\psi'\,d\mu=\sum_{\beta'\in R_{\alpha'}}\int_{\mathcal{F}}\psi'(\beta'z)\,d\mu=\sum_{\beta'\in R_{\alpha'}}\int_{\mathcal{F}}f\,\overline{(g|\alpha'\beta')}\,y^k\,d\mu=J(\alpha')$$ を得る。4 つ目の等号は $\psi$ のときと同じ計算と $f|\beta'=f$ による。

段 4．段 2 より $J(\alpha')=J(\alpha)$ である。$\mathcal{M}_n$ の両側剰余類について足すと $\langle T_nf,g\rangle=n^{k-1}\sum I(\alpha)=n^{k-1}\sum J(\alpha)=\langle f,T_ng\rangle$ である（$n^{k-1}$ は実数）。$\square$

同時対角化．$V:=S_k$ は有限次元の内積空間で（尖点形式 の記事の定理「Petersson 内積の基本性質」）、$T_n$ は $V$ を保ち（prop-ho-fourier）、互いに可換で（thm-ho-relations）、自己随伴である（thm-ho-self-adjoint）。$\dim V$ についての帰納法で、互いに可換な自己随伴作用素の族 $\mathcal{T}$ について $V$ が同時固有空間の直交直和になることを示す。すべての $T\in\mathcal{T}$ がスカラーなら明らかである。そうでなければ、ある $T$ が 2 つ以上の固有値をもち、スペクトル定理 の記事の定理「有限次元の自己共役スペクトル定理」と命題「異なる固有値の固有空間は直交する」により $V$ は $T$ の固有空間 $V_\lambda$（いずれも $V$ より小さい）の直交直和である。$T'\in\mathcal{T}$ は $T$ と可換なので $V_\lambda$ を保ち、制限は自己随伴で互いに可換である。帰納法の仮定を各 $V_\lambda$ に当てればよい。

1 次元性と一意性．数列 $\lambda=(\lambda_n)$ について $W_\lambda:=\{f\in V\mid T_nf=\lambda_nf\ (n\ge1)\}$ を同時固有空間という。前段の直和の各成分はどれかの $W_\lambda$ に含まれ、$\lambda\neq\lambda'$ なら $W_\lambda\perp W_{\lambda'}$ なので、$V$ は $0$ でない $W_\lambda$ たちの直交直和である。$W=W_\lambda$ の元 $f$ は、固有値を $\lambda_n$ とすると thm-ho-eigen-coeff の 1 の計算により $c(n)=\lambda_nc(1)$ を満たし、尖点形式なので $c(0)=0$ である。よって $c(1)=0$ なら $f=0$ で、$f\mapsto c(1)$ は $W$ の上で単射であり、$\dim W=1$ であり、$W$ にはただ 1 つの正規化された元がある。それらを並べたものが求める基底で、異なる $W$ の元は直交する。正規化された同時固有形式はどれかの $W$ に入るので、基底はこれらで尽くされ、一意である。固有値 $c(n)$ は自己随伴作用素の固有値なので実数である。$\square$

$\sigma:=\operatorname{Re}s>k/2+1$ とする。尖点形式 の記事の定理「Hecke の評価」により $\lvert c(n)\rvert\le Cn^{k/2}$ なので $\sum\lvert c(n)n^{-s}\rvert\le C\sum n^{k/2-\sigma}<\infty$ である。thm-ho-eigen-coeff の 2 により $n\mapsto c(n)n^{-s}$ は乗法的関数なので、乗法的関数 の記事の定理「乗法的関数の Euler 積」により $L(f,s)=\lim_{x\to\infty}\prod_{p\le x}P_p$、$P_p:=\sum_{r\ge0}c(p^r)p^{-rs}$（絶対収束）である。$X:=p^{-s}$ とおき、$c(p^{-1}):=0$ とすると、$$(1-c(p)X+p^{k-1}X^2)P_p=\sum_{r\ge0}\bigl(c(p^r)-c(p)c(p^{r-1})+p^{k-1}c(p^{r-2})\bigr)X^r$$ である（絶対収束する級数の積）。$r=0$ の係数は $1$、$r=1$ では $c(p)-c(p)=0$、$r\ge2$ では漸化式により $0$ である。よって積は $1$ で、$1-c(p)X+p^{k-1}X^2\neq0$、$P_p=(1-c(p)p^{-s}+p^{k-1-2s})^{-1}$ である。$\square$