Nakayamaの補題

各 $i$ について $\varphi(u_i)\in IM$ なので、$\varphi(u_i)=\sum_kb_km_k$（$b_k\in I$、$m_k\in M$）と書ける。各 $m_k$ を $u_1,\dots,u_n$ の $A$ 係数の一次結合で書いて整理すると
$$ \varphi(u_i)=\sum_{j=1}^{n}c_{ij}u_j\qquad(c_{ij}\in I,\ i=1,\dots,n) $$
となる。多項式環 $A[t]$ を考え、$f(t)\in A[t]$ に対して $f(t)\cdot m:=f(\varphi)(m)$ と定めると、$M$ は $A[t]$-加群になる（$\varphi$ が $A$ 線形なので、$\varphi$ の冪と $A$ の元の掛け算は可換であり、加群の公理が確かめられる）。この作用で $t\cdot u_i=\varphi(u_i)$ なので、上の式は
$$ \sum_{j=1}^{n}b_{ij}u_j=0\quad(i=1,\dots,n),\qquad b_{ij}:=t\,\delta_{ij}-c_{ij}\in A[t] $$
と書ける（$\delta_{ij}$ は Kronecker のデルタ）。$B:=(b_{ij})$ を $A[t]$ に成分をもつ $n$ 次行列とし、その余因子行列を $\operatorname{adj}(B)$ とする。等式 $\operatorname{adj}(B)\,B=\det(B)\,I_n$（$I_n$ は単位行列）は成分についての整数係数の多項式の恒等式なので、任意の可換環に成分をもつ行列について成り立つ（行列式）。$A[t]$ は可換環なので、各 $l$ について
$$ 0=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{adj}(B)_{li}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}u_j=\sum_{j=1}^{n}\bigl(\operatorname{adj}(B)\,B\bigr)_{lj}u_j=\det(B)\,u_l $$
である。$u_1,\dots,u_n$ は $M$ を生成するので、$\det(B)\cdot m=0$ がすべての $m\in M$ について成り立つ。
$\det(B)$ を展開する。
$$ \det(B)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}\bigl(t\,\delta_{i\sigma(i)}-c_{i\sigma(i)}\bigr) $$
の各積を展開し、$n$ 個の因子のうち $j$ 個で $-c$ の項を、残りで $t\delta$ の項を選ぶと、$t^{n-j}$ に $I$ の元 $j$ 個の積の $\pm1$ 倍が掛かった項が得られる。したがって $\det(B)=t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n$ と書け、各 $a_j$ は $I$ の元 $j$ 個の積の和なので $a_j\in I^j$ である（$t^n$ の係数は $\sigma$ が恒等置換で全因子に $t\delta$ を選ぶ項だけから来て $1$ である）。$\det(B)\cdot m=0$ は $\varphi^n(m)+a_1\varphi^{n-1}(m)+\cdots+a_nm=0$ を意味する。$\square$

$M=0$ なら 1 は $a=1$ で成り立ち、2 は明らかである。$M\neq0$ とし、$M$ を $n\ge1$ 個の元で生成されるとする。
1：$\varphi$ を $M$ の恒等写像とすると、$\varphi(M)=M=IM$ である。lem-nakayama-determinant-trick により $(1+a_1+\cdots+a_n)m=0$ がすべての $m\in M$ で成り立つ。$a:=1+a_1+\cdots+a_n$ とおくと $aM=0$ であり、$a_j\in I^j\subset I$ なので $a-1\in I$ である。
2：$I\subset\operatorname{Jac}(A)$ なら $a\in1+I\subset A^\times$ である。$m\in M$ に対し $m=a^{-1}(am)=a^{-1}\cdot0=0$ なので $M=0$ である。
局所環 $(A,\mathfrak{m})$ の場合は、$\operatorname{Jac}(A)=\mathfrak{m}$ なので 2 を $I=\mathfrak{m}$ に適用すればよい。$\square$

1 $\Rightarrow$ 2 は thm-nakayama の 2 である。2 を仮定し、$I\not\subset\operatorname{Jac}(A)$ と仮定して矛盾を導く。$I\not\subset\mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ がある。$M:=A/\mathfrak{m}$ は $1$ の類で生成される有限生成 $A$-加群であり、$\mathfrak{m}\neq A$ なので $M\neq0$ である。$IM$ は $I$ の像 $(I+\mathfrak{m})/\mathfrak{m}$ に等しい。$I+\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}$ を真に含むイデアルなので、極大性から $I+\mathfrak{m}=A$ であり、$IM=M$ となる。これは 2 に反する。$\square$

1：商加群 $M/N$ は $M$ の生成元の像で生成されるので有限生成であり、$I(M/N)=(IM+N)/N=M/N$ である。thm-nakayama の 2 により $M/N=0$、すなわち $N=M$ である。
2：$x_1,\dots,x_r$ が $M$ を生成すれば、その像が $M/IM$ を生成することは明らかである。逆に像が $M/IM$ を生成するとし、$N:=Ax_1+\cdots+Ax_r$ とおく。任意の $y\in M$ に対し $\bar y=\sum_i(c_i+I)\bar x_i$（$c_i\in A$）と書けるので $y-\sum_ic_ix_i\in IM$、すなわち $y\in N+IM$ である。よって $M=N+IM$ であり、1 により $N=M$ である。$\square$

1：像 $\bar x_1,\dots,\bar x_r$ が基底であるとする。像は $M/\mathfrak{m}M$ を張るので、cor-nakayama-generators の 2 により $x_1,\dots,x_r$ は $M$ を生成する。真部分族の像は $d$ 個より少なく、$d$ 次元の空間を張らないので、真部分族は $M$ を生成しない（生成すれば像が張るはずである）。よって極小生成系である。
逆に $x_1,\dots,x_r$ を極小生成系とする。像は $M/\mathfrak{m}M$ を張る。像が一次従属なら、ある $\bar x_i$ が他の像の一次結合で書け、$\bar x_i$ を除いた残りの像も $M/\mathfrak{m}M$ を張る。すると cor-nakayama-generators の 2 により $x_i$ を除いた真部分族が $M$ を生成し、極小性に反する。よって像は一次独立であり、基底である。
2：生成系の像は $M/\mathfrak{m}M$ を張るので、生成系は $d$ 個以上の元をもつ。任意の生成系 $(x_\lambda)_\lambda$ をとると、その像は有限次元空間 $M/\mathfrak{m}M$ を張るので、その中から基底 $\bar x_{\lambda_1},\dots,\bar x_{\lambda_d}$ を選べる（基底と次元）。1 により $x_{\lambda_1},\dots,x_{\lambda_d}$ は極小生成系である。$\square$

lem-nakayama-determinant-trick の証明と同じく、$f(t)\cdot m:=f(\varphi)(m)$ により $M$ を多項式環 $A[t]$ 上の加群とみる。$M$ は $A$ 上の生成元で $A[t]$ 上でも生成されるので、有限生成 $A[t]$-加群である。$A[t]$ のイデアル $J:=tA[t]$ について、$JM\supset t\cdot M=\varphi(M)=M$ なので $JM=M$ である。thm-nakayama の 1 を環 $A[t]$、イデアル $J$ に適用すると、$a(t)-1\in J$ かつ $a(t)M=0$ となる $a(t)\in A[t]$ がある。$a(t)=1+t\,g(t)$（$g(t)\in A[t]$）と書けるので、すべての $m\in M$ について
$$ m+\varphi\bigl(g(\varphi)(m)\bigr)=0 $$
である。$\varphi(m)=0$ とすると、$\varphi$ と $g(\varphi)$ は可換なので $\varphi(g(\varphi)(m))=g(\varphi)(\varphi(m))=0$ であり、$m=0$ となる。よって $\varphi$ は単射である。$\square$

$P/\mathfrak{m}P$ の基底の代表 $x_1,\dots,x_d\in P$ をとり、$u\colon A^d\to P$ を標準基底 $e_i$ を $x_i$ に送る $A$ 線形写像とする。cor-nakayama-generators の 2 により $x_1,\dots,x_d$ は $P$ を生成するので、$u$ は全射である。$P$ は射影的なので $u\circ s=\mathrm{id}_P$ となる $s$ がある。$K:=\ker u$ とおくと、$v\in A^d$ は $v=s(u(v))+\bigl(v-s(u(v))\bigr)$ と $s(P)$ の元と $K$ の元の和に書け、$s(P)\cap K=0$（$v=s(w)\in K$ なら $w=u(s(w))=0$）なので、$A^d=s(P)\oplus K$ である。$K$ は写像 $v\mapsto v-s(u(v))$ による $A^d$ の像なので有限生成である。
直和分解は $\mathfrak{m}(s(P)\oplus K)=\mathfrak{m}s(P)\oplus\mathfrak{m}K$ を満たすので、$\mathfrak{m}$ で割ると $k$-ベクトル空間の同型 $k^d\cong A^d/\mathfrak{m}A^d\cong s(P)/\mathfrak{m}s(P)\oplus K/\mathfrak{m}K$ を得る。$s$ は単射なので $s(P)\cong P$ であり、$s(P)/\mathfrak{m}s(P)$ の次元は $d$ である。次元を比べると $K/\mathfrak{m}K=0$、すなわち $\mathfrak{m}K=K$ であり、$K$ は有限生成なので thm-nakayama により $K=0$ である。よって $u$ は同型である。$\square$