体の拡大

1：代入写像 $\operatorname{ev}_\alpha\colon K[x]\to L$、$f\mapsto f(\alpha)$ は環準同型であり、$I_\alpha$ はその核なので $K[x]$ のイデアルである。$\alpha$ は代数的なので $I_\alpha\neq0$ である。$I_\alpha$ の $0$ でない元のうち次数が最小のものを一つとり、最高次係数で割ったものを $m$ とすると、$m\in I_\alpha$ はモニックである。任意の $f\in I_\alpha$ を $f=qm+r$、$\deg r<\deg m$ と割ると、$r(\alpha)=f(\alpha)-q(\alpha)m(\alpha)=0$ より $r\in I_\alpha$ であり、次数の最小性から $r=0$ である。よって $I_\alpha=(m)$ である。モニックな $m'$ も $(m')=I_\alpha$ を満たすなら、$m\mid m'$ かつ $m'\mid m$ なので $\deg m=\deg m'$ であり、$m'=cm$（$c\in K$）と書ける。最高次係数を比べて $c=1$、すなわち $m'=m$ である。
2：$0$ でない定数は $\alpha$ で $0$ にならないので $m_\alpha$ は定数でない。$m_\alpha=gh$（$g,h\in K[x]$）と分解したとする。$L$ は体なので $g(\alpha)h(\alpha)=0$ から $g(\alpha)=0$ または $h(\alpha)=0$ であり、たとえば $g(\alpha)=0$ とすると 1 により $m_\alpha\mid g$、よって $\deg g\ge\deg m_\alpha$ となり $\deg h=0$、すなわち $h$ は $0$ でない定数（$K[x]$ の単元）である。したがって $m_\alpha$ は既約である。
3：$f\in I_\alpha$ なので 1 により $f=m_\alpha u$（$u\in K[x]$）と書ける。$f$ は既約で $m_\alpha$ は定数でないから $u$ は $0$ でない定数であり、$f$ と $m_\alpha$ がともにモニックであることから $u=1$ である。$\square$

生成すること：$a\in L$ をとる。$(v_j)$ は $L$ の $M$ 上の基底なので、有限個を除いて $0$ である $b_j\in M$ により $a=\sum_jb_jv_j$ と書ける。各 $b_j$ は $M$ の元なので、有限個を除いて $0$ である $c_{ij}\in K$ により $b_j=\sum_ic_{ij}u_i$ と書ける。よって $a=\sum_{i,j}c_{ij}u_iv_j$ は $u_iv_j$ の $K$ 係数の有限一次結合である。
線形独立であること：有限個を除いて $0$ である $c_{ij}\in K$ について $\sum_{i,j}c_{ij}u_iv_j=0$ とする。$\sum_j\bigl(\sum_ic_{ij}u_i\bigr)v_j=0$ であり、各係数 $\sum_ic_{ij}u_i$ は $M$ の元なので、$(v_j)$ の $M$ 上の線形独立性から、すべての $j$ について $\sum_ic_{ij}u_i=0$ である。さらに $(u_i)$ の $K$ 上の線形独立性から、すべての $i,j$ について $c_{ij}=0$ である。特に $(i,j)\neq(i',j')$ なら $u_iv_j\neq u_{i'}v_{j'}$ であり（等しければ差が非自明な一次関係になる）、この族は $I\times J$ と同じ個数の相異なる元からなる。
したがって $(u_iv_j)$ は $L$ の $K$ 上の基底であり、$[L:K]$ は $I\times J$ の元の個数に等しい。$I\times J$ が有限であることは $I$ と $J$ がともに有限であること（$I,J$ は空でない。$1$ を含む空間の基底だから）と同値であり、そのとき元の個数は $|I|\,|J|=[M:K]\,[L:M]$ である。$\square$

1 は thm-field-extension-tower の等式 $[L:K]=[L:M][M:K]$ から従う。$[L:K]=p$ が素数なら $[M:K]\in\{1,p\}$ であり、$[M:K]=1$ なら $M=K$、$[M:K]=p$ なら $[L:M]=1$ より $M=L$ である。2 は、後の thm-field-extension-simple により $\alpha$ が代数的であることと $[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha$ が分かるので（$K(\alpha)$ は $L$ の部分空間だから $[K(\alpha):K]\le[L:K]<\infty$）、1 を中間体 $M=K(\alpha)$ に適用すればよい。$\square$

1：代入写像 $\operatorname{ev}_\alpha\colon K[x]\to L$ は環準同型で、像は $K[\alpha]$、核は prop-field-extension-minimal-polynomial により $(m_\alpha)$ である。環の第 1 同型定理（環準同型 の記事の定理「環の第1同型定理」）により $K[x]/(m_\alpha)\cong K[\alpha]$ である。
$K[x]/(m_\alpha)$ が体であることを示す。$m_\alpha$ は定数でないので $1\notin(m_\alpha)$ であり、剰余環は $0$ でない。$h\in K[x]$ が $(m_\alpha)$ に属さないとする。$K[x]$ は単項イデアル整域なので、イデアル $(m_\alpha,h)$ はある $e$ により $(e)$ と書ける。$e\mid m_\alpha$ で $m_\alpha$ は既約だから、$e$ は $0$ でない定数か $m_\alpha$ の定数倍である。後者なら $e\mid h$ から $m_\alpha\mid h$ となって仮定に反する。よって $e$ は $0$ でない定数で $(m_\alpha,h)=K[x]$ であり、$um_\alpha+vh=1$ となる $u,v\in K[x]$ がある。これは剰余環で $h$ の類が $v$ の類を逆元にもつことを意味する。ゆえに $K[x]/(m_\alpha)$ は体であり、これと同型な $K[\alpha]$ も体である。
$K[\alpha]$ は $K$ と $\alpha$ を含む部分体なので $K(\alpha)\subset K[\alpha]$ であり、逆の包含は明らかだから $K[\alpha]=K(\alpha)$ である。
基底について：任意の $f\in K[x]$ を $f=qm_\alpha+r$、$\deg r< d$ と割ると $f(\alpha)=r(\alpha)$ なので、$K(\alpha)=K[\alpha]$ は $1,\alpha,\dots,\alpha^{d-1}$ で張られる。$\sum_{i< d}c_i\alpha^i=0$（$c_i\in K$）なら、多項式 $\sum_{i< d}c_ix^i$ は $I_\alpha=(m_\alpha)$ に属し次数が $d$ 未満なので $0$、すなわちすべての $c_i=0$ である。よってこれらは基底であり $[K(\alpha):K]=d$ である。
2：$\alpha$ が超越的なら $\operatorname{ev}_\alpha$ の核は $0$ なので、$K[x]\to K[\alpha]$ は同型である。$g\neq0$ なら $g(\alpha)\neq0$ なので、$\varphi(f/g):=f(\alpha)g(\alpha)^{-1}$ が意味をもつ。$f/g=f'/g'$、すなわち $fg'=f'g$ なら $f(\alpha)g'(\alpha)=f'(\alpha)g(\alpha)$ であり、$\varphi$ は代表のとり方によらない。$\varphi$ が和と積を保ち $1$ を $1$ に送ることは $\operatorname{ev}_\alpha$ が環準同型であることから直ちに従い、体の間の環準同型なので単射である。像は $K$ と $\alpha$ を含む部分体であり、定義の直後に述べた $K(\alpha)$ の具体形に一致する。よって $K(x)\cong K(\alpha)$ である。$1,\alpha,\alpha^2,\dots$ は、非自明な一次関係が $\alpha$ を根にもつ $0$ でない多項式を与えることになるので $K$ 上線形独立であり、$[K(\alpha):K]=\infty$ である。
最後の主張は 1 と 2 から従う。$\square$

$f$ を割り切る定数でない多項式（$f$ 自身がその一つである）のうち次数最小のものを $g$ とする。$g=g_1g_2$ で $g_1,g_2$ がともに定数でなければ、$g_1$ は $g$ より次数の小さい $f$ の約元になり最小性に反するので、$g$ は既約である。thm-field-extension-simple の証明の第 2 段落は既約多項式 $m_\alpha$ についてだけ既約性を使っているので、同じ議論で $L:=K[x]/(g)$ は体である。$K\to L$（定数の類をとる写像）は体の間の環準同型なので単射であり、これにより $L/K$ を体の拡大とみなす。$\xi$ を $x$ の類とすると $g(\xi)$ は $g$ の類、すなわち $0$ なので、$g\mid f$ から $f(\xi)=0$ である。除法の原理により $L$ の元は次数 $\deg g$ 未満の多項式の類で一意に表されるので、$1,\xi,\dots,\xi^{\deg g-1}$ は $L$ の $K$ 上の基底であり、$[L:K]=\deg g\le\deg f$ である。$f$ が既約なら $g$ は $f$ の定数倍としてとれ、$L=K[x]/(f)$、$[L:K]=\deg f$ である。$L$ は $K$ と $\xi$ で生成されるので $L=K(\xi)$ である。$\square$

1：$n=[L:K]$ とし、$\alpha\in L$ をとる。$n+1$ 個の元 $1,\alpha,\dots,\alpha^n$ は $n$ 次元の $K$ ベクトル空間 $L$ の元なので線形従属であり、すべては $0$ でない $c_0,\dots,c_n\in K$ により $c_0+c_1\alpha+\dots+c_n\alpha^n=0$ となる。よって $0$ でない多項式 $\sum_ic_ix^i$ が $\alpha$ を根にもち、$\alpha$ は代数的で $\deg m_\alpha\le n$ である。
2：$K_0:=K$、$K_i:=K(\alpha_1,\dots,\alpha_i)$ とおくと $K_i=K_{i-1}(\alpha_i)$ である。$\alpha_i$ は $m_{\alpha_i,K}\in K[x]\subset K_{i-1}[x]$ の根なので $K_{i-1}$ 上代数的であり、prop-field-extension-minimal-polynomial の 1 により $K_{i-1}$ 上の最小多項式は $m_{\alpha_i,K}$ を割り切る。thm-field-extension-simple により $[K_i:K_{i-1}]=\deg m_{\alpha_i,K_{i-1}}\le\deg m_{\alpha_i,K}$ であり、thm-field-extension-tower を $n$ 回用いて $[L:K]=\prod_i[K_i:K_{i-1}]\le\prod_i\deg m_{\alpha_i,K}$ を得る。
最後の同値について：有限次拡大 $L/K$ は 1 により代数拡大であり、$K$ 上の基底 $u_1,\dots,u_n$ をとれば $L=K(u_1,\dots,u_n)$ である。逆は 2 である。$\square$

1：$K$ の元 $c$ は $x-c$ の根なので代数的である。$\alpha,\beta\in L_{\mathrm{alg}}$ とすると、prop-field-extension-finite-algebraic の 2 により $K(\alpha,\beta)/K$ は有限次拡大であり、同じ命題の 1 によりその元 $\alpha-\beta$、$\alpha\beta$、および $\beta\neq0$ のときの $\alpha\beta^{-1}$ はすべて $K$ 上代数的である。よって $L_{\mathrm{alg}}$ は部分体である。
2：$\alpha\in L$ をとる。$\alpha$ は $M$ 上代数的なので、その $M$ 上の最小多項式を $x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0$（$b_i\in M$）とする。$K':=K(b_0,\dots,b_{n-1})$ とおくと、各 $b_i$ は $K$ 上代数的なので prop-field-extension-finite-algebraic の 2 により $K'/K$ は有限次拡大である。$\alpha$ は $K'$ 係数の多項式の根なので $K'$ 上代数的であり、thm-field-extension-simple により $K'(\alpha)/K'$ は有限次拡大である。thm-field-extension-tower により $K'(\alpha)/K$ は有限次拡大であり、prop-field-extension-finite-algebraic の 1 により $\alpha$ は $K$ 上代数的である。$\square$