交換子部分群

prop-commutator-subgroup-basic の 1 により、群 $G$ について $[G,G]=\{e\}$ であることと、$G$ がアーベル群であることは同値である。たとえば $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、Kleinの四元群 の交換子部分群は自明である。

$S_3$ では、互換は自分自身の逆元なので $[(1\,2),(1\,3)]=\bigl((1\,2)(1\,3)\bigr)^2=(1\,3\,2)^2=(1\,2\,3)$ である。よって $[S_3,S_3]$ は $(1\,2\,3)$ が生成する位数 $3$ の交代群 $A_3$ を含む。逆の包含 $[S_3,S_3]\subset A_3$ は、下の prop-commutator-subgroup-symmetric で一般の $n$ について示す（剰余群 の記事の例「アーベル化」にも同じ計算がある）。したがって $[S_3,S_3]=A_3$ であり、$S_3/[S_3,S_3]$ は位数 $2$ の巡回群である。

$n\ge1$ とし、位数 $2n$ の二面体群 $\operatorname{Dih}_n=\langle r,s\mid r^n=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle$ を考える（$r$ は回転、$s$ は鏡映にあたる）。このとき
$$ [\operatorname{Dih}_n,\operatorname{Dih}_n]=\langle r^2\rangle $$
である。実際、$s=s^{-1}$ と $sr^{-1}s=r$ から $[r,s]=rsr^{-1}s^{-1}=r\cdot(sr^{-1}s)=r^2$ なので $\langle r^2\rangle\subset[\operatorname{Dih}_n,\operatorname{Dih}_n]$ である。逆に、$srs^{-1}=r^{-1}$ から $sr^2s^{-1}=r^{-2}$ であり、$r$ は $r^2$ と可換なので、$\langle r^2\rangle$ は生成元 $r,s$ による共役で閉じ、正規部分群である。剰余群 $\operatorname{Dih}_n/\langle r^2\rangle$ は $\bar r,\bar s$ で生成され、$\bar r^2=\bar e$ から $\bar r^{-1}=\bar r$ なので $\bar s\bar r\bar s^{-1}=\bar r^{-1}=\bar r$、すなわち $\bar r$ と $\bar s$ は可換である。生成元どうしが可換な群はアーベル群なので、prop-commutator-subgroup-abelian-quotient により $[\operatorname{Dih}_n,\operatorname{Dih}_n]\subset\langle r^2\rangle$ である。
$\langle r^2\rangle$ の位数は、$n$ が奇数なら $n$（$r^2$ が $r$ を生成する）、$n$ が偶数なら $n/2$ である。たとえば正方形の対称性の群 $\operatorname{Dih}_4$（位数 $8$）では $[\operatorname{Dih}_4,\operatorname{Dih}_4]=\{e,r^2\}$ である。$n=1,2$ では $r^2=e$ であり、$\operatorname{Dih}_1,\operatorname{Dih}_2$ はアーベル群である。

四元数群 $Q_8$ では $[i,j]=iji^{-1}j^{-1}=ij(-i)(-j)=(ij)^2=k^2=-1$ であり、$[Q_8,Q_8]=\{1,-1\}$ である（四元数群 の記事の命題「中心・交換子部分群・剰余群」）。$Q_8$ は可換でないが、その交換子部分群は位数 $2$ で、群の中心と一致する。

$H:=\mathbb{Z}^3$ に積 $(a,b,c)(a',b',c'):=(a+a',\,b+b',\,c+c'+ab')$ を入れた群を考える（可解群 の記事の例「Heisenberg群」。単位元は $(0,0,0)$、$(a,b,c)$ の逆元は $(-a,-b,-c+ab)$）。定義どおり計算すると
$$ [(a,b,c),(a',b',c')]=(0,\,0,\,ab'-a'b) $$
である。$ab'-a'b$ は $a=b'=1$、$a'=b=0$ で $1$ になり、交換子の積は第 3 成分の和になるので、$[H,H]=\{(0,0,c)\mid c\in\mathbb{Z}\}$ である。これは $H$ の中心でもあり、$H/[H,H]\cong\mathbb{Z}^2$ である。

$k$ を体とし、$n\ge1$ とする。一般線形群 $\mathrm{GL}_n(k)$ の交換子 $[X,Y]$ の行列式は $\det X\det Y(\det X)^{-1}(\det Y)^{-1}=1$ なので、$[\mathrm{GL}_n(k),\mathrm{GL}_n(k)]$ は特殊線形群 $\mathrm{SL}_n(k)$ に含まれる。$n=2$ かつ $k=\mathbb{F}_2$ の場合を除いて等号 $[\mathrm{GL}_n(k),\mathrm{GL}_n(k)]=\mathrm{SL}_n(k)$ が成り立つ。
$n\ge2$ の場合の根拠は次のとおりである。$n\ge3$、または $n=2$ かつ $k$ の元の個数が $4$ 以上なら、$\mathrm{SL}_n(k)$ は自分自身の交換子部分群に等しい：$[\mathrm{SL}_n(k),\mathrm{SL}_n(k)]=\mathrm{SL}_n(k)$（Lan02 Chapter XIII §8–§9。ここでは言明だけを引く）。$\mathrm{SL}_n(k)\subset\mathrm{GL}_n(k)$ なので $\mathrm{SL}_n(k)=[\mathrm{SL}_n(k),\mathrm{SL}_n(k)]\subset[\mathrm{GL}_n(k),\mathrm{GL}_n(k)]$ となり、上の包含と合わせて等号を得る。
残る $n=2$、$k=\mathbb{F}_3$ はこの引用に含まれない（$[\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3),\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)]$ は位数 $8$ で、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ より小さい）ので、直接示す。一般に体 $k$ 上で $\mathrm{SL}_2(k)$ は $U(x):=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}$ と $L(x):=\begin{pmatrix}1&0\\x&1\end{pmatrix}$（$x\in k$）で生成される。実際、$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(k)$ で $c\neq0$ なら、掛け算して $ad-bc=1$ を使うと $A=U\bigl((a-1)/c\bigr)\,L(c)\,U\bigl((d-1)/c\bigr)$ と確かめられる。$c=0$ なら $a\neq0$ なので $L(1)A$ の左下の成分 $a$ は $0$ でなく、前の場合により $L(1)A$ は $U(\cdot)$ と $L(\cdot)$ の積であり、$A=L(-1)\bigl(L(1)A\bigr)$ もそうである。$\mathbb{F}_3$ では $U(x)=U(1)^x$、$L(x)=L(1)^x$ なので、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ は $U(1)$ と $L(1)$ で生成される。$D:=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$、$D':=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ とおくと、$DU(1)D^{-1}=U(-1)$、$D'L(1)D'^{-1}=L(-1)$ なので
$$ [D,U(1)]=U(-1)U(1)^{-1}=U(-2)=U(1),\qquad [D',L(1)]=L(-2)=L(1) $$
である（$\mathbb{F}_3$ では $-2=1$）。よって $U(1),L(1)\in[\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3),\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)]$ であり、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)\subset[\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3),\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)]$ となって等号が成り立つ。
除かれる場合は実際に等号が成り立たない。$\mathbb{F}_2$ 上では行列式は常に $1$ なので $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)=\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ であり、この群は $\mathbb{F}_2^2$ の $3$ 個の $0$ でないベクトルを置換することで $S_3$ と同型になる。よって ex-commutator-subgroup-s3 により交換子部分群は位数 $3$ であり、位数 $6$ の $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)$ に一致しない。$n=1$ では $\mathrm{GL}_1(k)=k^\times$ は可換で、両辺とも $\{1\}$ である。

部分群 $K\subset G$ について、$K$ の交換子は $G$ の交換子なので $[K,K]\subset K\cap[G,G]$ が常に成り立つ（prop-commutator-subgroup-image の 3）。しかし等号は一般に成り立たない。$G=S_4$、$K=A_4$ とすると、$[S_4,S_4]=A_4$（prop-commutator-subgroup-symmetric）なので $K\cap[G,G]=A_4$ であるが、$[A_4,A_4]$ は位数 $4$ の Klein の四元群 $V=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ である（prop-commutator-subgroup-alternating の 2）。この例は「$K$ は $G$ の部分群である」を満たすが「$[K,K]=K\cap[G,G]$」を満たさず、交換子部分群をとる操作が部分群への制限と交換しないことを示す。$K$ の中の交換子 $[a,b]$ は $a,b\in K$ に限られ、$G$ の元を使った交換子のほうが多いからである。

$G/[G,G]$ は常にアーベル群である（prop-commutator-subgroup-abelian-quotient）が、$[G,G]$ 自身がアーベル群であるとは限らない。$S_5$ では $[S_5,S_5]=A_5$ であり（prop-commutator-subgroup-symmetric）、$A_5$ は可換でない（$(1\,2\,3)(1\,4\,5)=(1\,4\,5\,2\,3)$、$(1\,4\,5)(1\,2\,3)=(1\,2\,3\,4\,5)$）。この例は「$G/[G,G]$ はアーベル群である」を満たすが「$[G,G]$ はアーベル群である」を満たさず、含意「剰余群 $G/[G,G]$ がアーベル群なら交換子部分群 $[G,G]$ もアーベル群である」を破る。さらに $[A_5,A_5]=A_5$ である（prop-commutator-subgroup-alternating の 3）。この例は「$G\neq\{e\}$」を満たすが「$[G,G]\subsetneq G$」を満たさず、含意「自明でない群の交換子部分群は真部分群である」を破る。交換子部分群が群全体に一致する群を完全群といい、完全群ではアーベル化 $G/[G,G]$ が自明群になって、$G$ についての情報がすべて失われる。