三角形の半角公式

$a=BC=7$、$b=CA=5$、$c=AB=8$ の三角形 $ABC$ で、角 $A$ の半分の三角比を求める。
(1) 余弦定理により
$$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8}=\frac{40}{80}=\frac12 $$
である。
(2) 半角の公式により
$$ \sin^2\frac A2=\frac{1-\frac12}2=\frac14,\qquad \cos^2\frac A2=\frac{1+\frac12}2=\frac34 $$
である。$0^\circ< A<180^\circ$ なので $0^\circ<\dfrac A2<90^\circ$ で、正弦も余弦も正である。よって $\sin\dfrac A2=\dfrac12$、$\cos\dfrac A2=\dfrac{\sqrt3}2$ で、$A=60^\circ$、$\dfrac A2=30^\circ$ と合っている。
(3) 3 辺の和の半分を $s=\dfrac{7+5+8}2=10$ とおくと、$s-a=3$、$s-b=5$、$s-c=2$ である。この数で
$$ \frac{(s-b)(s-c)}{bc}=\frac{5\cdot2}{5\cdot8}=\frac14,\qquad \frac{s(s-a)}{bc}=\frac{10\cdot3}{5\cdot8}=\frac34 $$
を計算すると、(2) で求めた $\sin^2\dfrac A2$、$\cos^2\dfrac A2$ がそのまま現れる。

$a=3$、$b=5$、$c=7$ の三角形で、いちばん長い辺 $c$ の向かいの角 $C$ を調べる。
(1) 余弦定理により
$$ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=\frac{-15}{30}=-\frac12 $$
で、$C=120^\circ$ の鈍角である。
(2) 半角の公式により $\sin^2\dfrac C2=\dfrac{1+\frac12}2=\dfrac34$、$\cos^2\dfrac C2=\dfrac{1-\frac12}2=\dfrac14$ で、$0^\circ<\dfrac C2<90^\circ$ から $\sin\dfrac C2=\dfrac{\sqrt3}2$、$\cos\dfrac C2=\dfrac12$ である。$\dfrac C2=60^\circ$ と合っている。
(3) $s=\dfrac{3+5+7}2=\dfrac{15}2$ で、$s-a=\dfrac92$、$s-b=\dfrac52$、$s-c=\dfrac12$ である。角 $C$ をはさむ 2 辺は $a$ と $b$ なので、ex-hat-start の (3) で $b,c$ の役を $a,b$ に替えて
$$ \frac{(s-a)(s-b)}{ab}=\frac{\frac92\cdot\frac52}{15}=\frac{45}{60}=\frac34,\qquad \frac{s(s-c)}{ab}=\frac{\frac{15}2\cdot\frac12}{15}=\frac{15}{60}=\frac14 $$
となり、やはり $\sin^2\dfrac C2$、$\cos^2\dfrac C2$ が現れる。角が鈍角でも同じである。

どの行でも $(s-a)+(s-b)+(s-c)=3s-2s=s$ になっている。たとえば 1 行目は $3+5+2=10$ である。

$a=5$、$b=5$、$c=8$ とする。ex-hat-s の表から $s=9$、$s-a=4$、$s-b=4$、$s-c=1$ である。
(1) 鈍角の $C$。$C$ をはさむ辺は $a$、$b$ なので
$$ \sin\frac C2=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}=\sqrt{\frac{4\cdot4}{25}}=\frac45,\qquad \cos\frac C2=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}=\sqrt{\frac{9\cdot1}{25}}=\frac35,\qquad \tan\frac C2=\frac43 $$
である。2 倍角の公式で元の角にもどすと
$$ \cos C=1-2\sin^2\frac C2=1-\frac{32}{25}=-\frac7{25},\qquad \sin C=2\sin\frac C2\cos\frac C2=\frac{24}{25} $$
で、余弦定理 $\cos C=\dfrac{25+25-64}{50}=-\dfrac{14}{50}=-\dfrac7{25}$ と一致する。
(2) 角 $A$。$A$ をはさむ辺は $b$、$c$ なので
$$ \sin\frac A2=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}=\sqrt{\frac{4\cdot1}{40}}=\frac1{\sqrt{10}},\qquad \cos\frac A2=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}=\sqrt{\frac{9\cdot4}{40}}=\frac3{\sqrt{10}},\qquad \tan\frac A2=\frac13 $$
である。$a=b$ なので $B=A$ で、$\tan\dfrac B2=\dfrac13$ でもある。

1. ex-hat-start の 3 辺 $7,5,8$ の三角形。$A=60^\circ$ なので面積は $S=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12\cdot5\cdot8\cdot\dfrac{\sqrt3}2=10\sqrt3$ である。内接円の半径は $S=rs$（三角形の面積の公式）から $r=\dfrac{10\sqrt3}{10}=\sqrt3$ である。prop-hat-incircle により
   $$ \tan\frac A2=\frac{\sqrt3}3,\qquad \tan\frac B2=\frac{\sqrt3}5,\qquad \tan\frac C2=\frac{\sqrt3}2 $$
   である。$\tan\dfrac A2=\dfrac{\sqrt3}3=\tan30^\circ$ は $A=60^\circ$ と合う。$\tan\dfrac B2$ は thm-hat-main の式でも $\sqrt{\dfrac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot3}{10\cdot5}}=\sqrt{\dfrac3{25}}=\dfrac{\sqrt3}5$ となり、一致する。
2. ex-hat-obtuse の 3 辺 $3,5,7$ の三角形。$C=120^\circ$ なので $S=\dfrac12ab\sin C=\dfrac12\cdot3\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{15\sqrt3}4$、$r=\dfrac Ss=\dfrac{15\sqrt3}4\cdot\dfrac2{15}=\dfrac{\sqrt3}2$ である。よって
   $$ \tan\frac C2=\frac r{s-c}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3 $$
   で、$\dfrac C2=60^\circ$ と合う。図 2 の直角三角形 $CDI$ は、$CD=\dfrac12$、$DI=\dfrac{\sqrt3}2$ の、角が $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ の三角形である。

1. 3 辺 $3,5,7$。$s(s-a)(s-b)(s-c)=\dfrac{15}2\cdot\dfrac92\cdot\dfrac52\cdot\dfrac12=\dfrac{675}{16}$ なので
   $$ S=\sqrt{\frac{675}{16}}=\frac{15\sqrt3}4 $$
   で、ex-hat-incircle (2) の面積と一致する。$r^2=\dfrac{\frac92\cdot\frac52\cdot\frac12}{\frac{15}2}=\dfrac{45/8}{15/2}=\dfrac34$ から $r=\dfrac{\sqrt3}2$ で、これも一致する。
2. 3 辺 $7,5,8$。ex-hat-incircle (1) の 3 つの正接の積は
   $$ \frac{\sqrt3}3\cdot\frac{\sqrt3}5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}{30}=\frac{\sqrt3}{10} $$
   で、$\dfrac rs=\dfrac{\sqrt3}{10}$ と一致する。
   (3) 3 辺 9、10、17 の三角形での計算を開く

   $a=9$、$b=10$、$c=17$ とする。$s=18$、$s-a=9$、$s-b=8$、$s-c=1$ で、$r^2=\dfrac{9\cdot8\cdot1}{18}=4$、$r=2$ である。正接は $\dfrac29$、$\dfrac28=\dfrac14$、$\dfrac21=2$ で、積は $\dfrac29\cdot\dfrac14\cdot2=\dfrac19=\dfrac rs$ である。

3 辺 $3,5,7$ で $\cos^2\dfrac C2=\dfrac{s(s-c)}{ab}=\dfrac14$ である（ex-hat-obtuse）。ここで負の平方根 $\cos\dfrac C2=-\dfrac12$ をとり、$\sin\dfrac C2=\dfrac{\sqrt3}2$ と組み合わせると、$\dfrac C2=120^\circ$、つまり $C=240^\circ$ となる。これは $180^\circ$ を超え、三角形の角ではない。
一般の角の半角の公式では、平方根の符号は角の半分がどの象限にあるかで決まる（加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く の反例「半角の公式で符号を決めずに平方根をとる」）。三角形の角では $\dfrac C2$ がいつも $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあるので、正の平方根だけが正しい。

3 辺 $7,5,8$ で $r=\sqrt3$、$s=10$ である（ex-hat-incircle）。$\tan\dfrac A2$ を $\dfrac rs$ と取り違えると $\dfrac{\sqrt3}{10}\approx0.173$ となり、正しい値 $\dfrac r{s-a}=\dfrac{\sqrt3}3\approx0.577$ と合わない。$\dfrac rs$ から角を出すと $\dfrac A2\approx9.83^\circ$、$A\approx19.65^\circ$ となり、$A=60^\circ$ とかけ離れる。
$\dfrac rs$ は 3 つの半角の正接の積である（cor-hat-product）。分母に $s$ が来る正しい式は、傍接円の半径を使う $\dfrac{r_a}s$ の方である（rem-hat-excircle）。

$a=1$、$b=2$、$c=4$ とすると $s=\dfrac72$、$s-a=\dfrac52$、$s-b=\dfrac32$、$s-c=-\dfrac12$ で、$s-c$ が負になる。式に代入すると
$$ \frac{(s-b)(s-c)}{bc}=\frac{\frac32\cdot\left(-\frac12\right)}{8}=-\frac3{32}<0 $$
で、根号の中が負になり、$\sin\dfrac A2$ が実数として定まらない。余弦定理の式に代入しても $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{19}{16}>1$ で、余弦がこの値になる角はない。$1+2<4$ で三角不等式が成り立たず、この 3 つの長さの三角形はない。def-hat-s の後で見たとおり、$s-a$、$s-b$、$s-c$ がすべて正であることは、三角不等式が 3 つとも成り立つことと同じである。