Sobolevの不等式

連鎖律から
$$ \nabla u_\lambda(x)=\lambda^{n/p}\nabla\varphi(\lambda x) $$
である。変数変換 $y=\lambda x$ を使えば
$$ \|\nabla u_\lambda\|_p^p =\int_{\mathbb R^n}\lambda^n|\nabla\varphi(\lambda x)|^p\,dx =\int_{\mathbb R^n}|\nabla\varphi(y)|^p\,dy. $$
同様に
$$ \|u_\lambda\|_q^q =\lambda^{q(n/p-1)-n}\|\varphi\|_q^q $$
である。右辺の冪が $0$ となる条件は $n/p-1-n/q=0$、すなわち $q=np/(n-p)=p^*$ である。

$1/q=\theta/p+(1-\theta)/p^*$ となる $0\leq\theta\leq1$ を取る。Hölderの不等式により
$$ \|u\|_{L^q} \leq\|u\|_{L^p}^{\theta} \|u\|_{L^{p^*}}^{1-\theta}. $$
Gagliardo--Nirenberg--Sobolev不等式を用いれば
$$ \|u\|_{L^q} \leq C^{1-\theta}\|u\|_{L^p}^{\theta} \|\nabla u\|_{L^p}^{1-\theta} \leq C'\|u\|_{W^{1,p}} $$
を得る。最初は滑らかな関数について示し、$W^{1,p}$ の密度により一般の場合へ移せばよい。

$\varepsilon<|x|<1$ では
$$ |\nabla u_\varepsilon(x)|=\frac{L^{-1/n}}{|x|}, $$
それ以外では勾配はほとんど至るところ $0$ である。極座標により、$\omega_{n-1}$ を単位球面の面積として
$$ \|\nabla u_\varepsilon\|_{L^n(B)}^n =\omega_{n-1}L^{-1}\int_\varepsilon^1\frac{dr}{r} =\omega_{n-1}. $$
また内球上の $L^n$ 積分は
$$ |B_1|\varepsilon^nL^{n-1} $$
で一様有界であり、環状部分では変数変換 $s=\log(1/r)$ により
$$ \omega_{n-1}L^{-1}\int_0^L s^n e^{-ns}\,ds \leq\omega_{n-1}\int_0^\infty s^n e^{-ns}\,ds $$
と評価できる。ゆえに $W^{1,n}$ ノルムは一様有界である一方、一様ノルムは発散する。

スケーリング公式により $\|\nabla u_j\|_p$ と $\|u_j\|_{p^*}$ は $j$ に依存せず、
$$ \|u_j\|_p=j^{-1}\|\varphi\|_p\longrightarrow0 $$
なので $(u_j)$ は $W^{1,p}$ で有界である。また $x\neq0$ を固定すると、十分大きい $j$ で $jx\notin\operatorname{supp}\varphi$ となるため $u_j(x)=0$ である。従って $u_j\to0$ はほとんど至るところ成り立つ。もしある部分列が $L^{p^*}$ で強収束すれば、さらに部分列を取ってほとんど至るところ収束できるので、その極限は $0$ でなければならない。しかし各 $u_j$ の $L^{p^*}$ ノルムは同じ正の値であり、$0$ へ強収束できない。矛盾である。

$\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ とする。台は $\Omega$ のコンパクト部分集合なので、有限個の球とのみ交わる。各座標 $i$ について
$$ \int_\Omega u_j\partial_i\psi\,dx =|B_j|^{-1/p}\int_{B_j}\partial_i\psi\,dx. $$
$\psi$ の $B_j$ への制限は境界近くで $0$ であるから、Fubiniの定理または部分積分により右辺は $0$ である。従って $\partial_i u_j=0$ が弱微分の意味で成り立つ。$L^p$ ノルムと $L^q$ ノルムは指示関数の積分から表示どおり計算でき、$1/q-1/p<0$ と $|B_j|\to0$ から発散が従う。