コホモロジー次元

予備。$A$ が $p$ 準素なら $H^q(G, A)$ も $p$ 準素である。実際 $A = \bigcup_m A[p^m]$ であり、コホモロジーは離散加群の帰納極限と交換し、$H^q(G, A[p^m])$ は $p^m$ で消える。捩れ加群 $A$ は $A = \bigoplus_\ell A(\ell)$ と分解し、$H^q(G, A(\ell))$ は $\ell$ 準素だから、$H^q(G, A)(p) = H^q(G, A(p))$ である。これで 1 と 2 は同値である。2 から 3 は明らか。
3 から 2。(a) $p$ 準素な有限離散加群 $A$ を考える。$A$ は組成列をもち、その単純な商 $S$ は有限な $p$ 準素群なので $pS \ne S$、したがって $pS = 0$ である。3 と長完全列から、$H^{n+1}(G, A) = 0$ を得る。(b) $p$ 準素な捩れ離散加群は、有限な部分加群の和である（元 $a$ の固定部分群は開なので $G$ 軌道は有限であり、軌道で生成される部分群は有限生成な捩れアーベル群、すなわち有限群になる）。コホモロジーは帰納極限と交換するので、$H^{n+1}(G, A) = 0$ である。(c) $q > n + 1$ の場合は $q$ についての帰納法による。$A$ を余誘導加群 $M_G(A)$（$G$ から $A$ への連続写像の加群）に埋め込むと、$M_G(A)$ は $p$ 準素で、正の次数のコホモロジーが消える（Shapiro の補題）。商 $B = M_G(A)/A$ も $p$ 準素であり、長完全列から $H^q(G, A) \cong H^{q-1}(G, B) = 0$ となる。

1. 単純加群 $S$ は $0$ でない元で生成されるので有限であり、$\mathbb{F}_p$ 上の有限次元ベクトル空間である。$G$ は有限な $p$ 群 $P$ を通して作用する。$P$ の軌道の大きさは $p$ の冪なので、$S$ の固定点の個数は $|S| \equiv 0 \pmod p$ と合同であり、$0$ が固定点だから、$0$ でない固定点 $v$ がある。$\mathbb{F}_p v$ は部分加群なので、単純性から $S = \mathbb{F}_p v \cong \mathbb{Z}/p$（自明な作用）である。
2. $G$ の有限な商 $P$ と $\ell$ 準素な $P$ 加群 $A$ について、$H^q(P, A)$（$q \ge 1$）は $|P|$ で消えかつ $\ell$ 準素なので $0$ である。$H^q(G, A)$ はこれらの帰納極限だから $0$ である。
3. 1 とprop-cohomological-dimension-criterion による。

$p$ 準素な離散 $H$ 加群 $A$ に対し、$M_G^H(A)$ を $G$ から $A$ への連続写像 $\varphi$ で $\varphi(hg) = h\varphi(g)$（$h \in H$）を満たすもの全体とし、$G$ を右移動で作用させる。これは離散 $G$ 加群で、各元は有限個の値しかとらないので $p$ 準素である。閉部分群についての Shapiro の補題により $H^q(H, A) \cong H^q(G, M_G^H(A))$ である（Ser97 第 I 章 §2）。よって $q > \operatorname{cd}_p(G)$ なら $H^q(H, A) = 0$ であり、prop-cohomological-dimension-criterion から不等式が従う。

位数 $p$ の元が生成する部分群 $C \cong \mathbb{Z}/p$ は有限なので閉である。巡回群 $C$ と自明な加群 $\mathbb{Z}/p$ について、$k \ge 1$ で $H^{2k}(C, \mathbb{Z}/p) \cong (\mathbb{Z}/p)^C/N(\mathbb{Z}/p)$ であり（巡回群のコホモロジーの周期性。群コホモロジー）、ノルム $N$ は $p$ 倍すなわち $0$ だから、これは $\mathbb{Z}/p \ne 0$ である。よって $\operatorname{cd}_p(C) = \infty$ であり、prop-cohomological-dimension-subgroup により $\operatorname{cd}_p(G) = \infty$ である。

$G_p$ を $G_k$ の $p$ Sylow 部分群、$K$ をその固定体とする。$\operatorname{cd}_p(k) = \operatorname{cd}(G_K)$ であり（前節の引用した事実）、$G_K = G_p$ は副 $p$ 群だから、prop-cohomological-dimension-pro-p により $H^2(K, \mathbb{Z}/p) = 0$ を示せばよい。$k_s = K_s$ 上で、写像 $\wp(x) = x^p - x$ は加法群の準同型で、核は $\mathbb{F}_p$ である。$a \in k_s$ について多項式 $X^p - X - a$ は分離的（微分が $-1$）なので、根は $k_s$ にあり、$\wp$ は全射である。よって $G_K$ 加群の完全列
$$ 0 \to \mathbb{Z}/p \to k_s \xrightarrow{\ \wp\ } k_s \to 0 $$
を得る（Artin–Schreier理論）。正規底定理により、加法群 $k_s$ は $G_K$ 加群として $H^q(G_K, k_s) = 0$（$q \ge 1$）を満たす（Ser79 第 X 章 §1）。長完全列から $H^2(K, \mathbb{Z}/p) = 0$ である。

体 $L$ の標数が $p$ と異なるとき、Kummer 列 $1 \to \mu_p \to L_s^{\times} \xrightarrow{p} L_s^{\times} \to 1$ は $G_L$ 加群の完全列であり、Hilbertの定理90 $H^1(L, L_s^{\times}) = 0$ から
$$ H^2(L, \mu_p) \cong \operatorname{Br}(L)[p] $$
を得る（Kummer完全列）。
1 から 2。$k'$ について $G_{k'}$ は $G_k$ の開部分群なので、prop-cohomological-dimension-subgroup により $\operatorname{cd}_p(k') \le 1$ である。$\mu_p$ は $p$ 準素だから $H^2(k', \mu_p) = 0$、よって $\operatorname{Br}(k')[p] = 0$ である。$p$ 準素群 $\operatorname{Br}(k')(p)$ は $p$ 倍で消える元を $0$ しかもたないので $0$ である。
2 から 1。$K$ を $G_k$ の $p$ Sylow 部分群の固定体とする。$[K(\mu_p) : K]$ は $p - 1$ の約数であり、$G_K$ は副 $p$ 群なので $p$ の冪でもある。よって $\mu_p \subset K$ で、$G_K$ 加群として $\mu_p \cong \mathbb{Z}/p$ である。$K$ は $k$ の有限次分離部分拡大 $k'$ の和であり、コホモロジーはこの極限と交換するので（Ser97 第 I 章 §2）、
$$ H^2(K, \mathbb{Z}/p) \cong \operatorname{Br}(K)[p] = \varinjlim_{k'} \operatorname{Br}(k')[p] = 0 $$
である。prop-cohomological-dimension-pro-p により $\operatorname{cd}(G_K) \le 1$ であり、Sylow 部分群についての事実から $\operatorname{cd}_p(k) \le 1$ である。

$X$ のエタール位相で、$\mathbb{G}_a$（$U \mapsto \Gamma(U, \mathcal{O}_U)$）について $0 \to \mathbb{Z}/p \to \mathbb{G}_a \xrightarrow{\wp} \mathbb{G}_a \to 0$（$\wp(x) = x^p - x$）は完全である。全射性は、$U$ 上の $a$ について $U' = \operatorname{Spec}_U \mathcal{O}_U[T]/(T^p - T - a)$ が $U$ のエタール被覆（微分が $-1$ で可逆な有限自由射）であり、その上で $a = \wp(T)$ となることによる。準連接層のエタールコホモロジーは Zariski コホモロジーと一致するので（Mil80 第 III 章 §3）、アフィンな $X$ では $H^q(X_{\mathrm{\acute{e}t}}, \mathbb{G}_a) = H^q(X, \mathcal{O}_X) = 0$（$q \ge 1$）である。長完全列から主張が従う。