Krull次元

体 $k$ のイデアルは $0$ と $k$ だけなので、素イデアルは $(0)$ だけであり、$\dim k=0$ である。
より一般に、$A\ne0$ が有限環であるか、体 $k$ 上有限次元の $k$ 代数であるとき、$\dim A=0$ である。実際、素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A/\mathfrak{p}$ は整域であり（素イデアル の記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」）、しかも有限集合であるか有限次元の $k$ ベクトル空間である。$0\ne a\in A/\mathfrak{p}$ に対し、$a$ 倍写像 $A/\mathfrak{p}\to A/\mathfrak{p}$ は整域なので単射であり、有限集合または有限次元ベクトル空間の単射な（$k$ 線形）写像なので全射でもある。よって $ab=1$ となる $b$ があり、$A/\mathfrak{p}$ は体、すなわち $\mathfrak{p}$ は極大イデアルである（極大イデアル の記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。すべての素イデアルが極大なので $\dim A=0$ である。たとえば $n\ge2$ に対する $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$k[x]/(x^m)$（$m\ge1$）、体の有限個の直積環は $0$ 次元である。零でないArtin環はすべて $0$ 次元である（Artin環 の記事）。

$A$ を体でない単項イデアル整域とする。$A$ は整域なので $(0)$ は素イデアルであり、体でないので $0$ でも $A$ でもない元 $a$ で単元でないものがあり、$(a)$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}\ne0$ がある。よって $(0)\subsetneq\mathfrak{m}$ は長さ $1$ の鎖で、$\dim A\ge1$ である。一方、単項イデアル整域の $0$ でない素イデアルはすべて極大である（単項イデアル整域 の記事の命題「零でない素イデアルは極大」）から、長さ $2$ の鎖 $\mathfrak{p}_0\subsetneq\mathfrak{p}_1\subsetneq\mathfrak{p}_2$ があれば $\mathfrak{p}_1\ne0$ が極大となって $\mathfrak{p}_1\subsetneq\mathfrak{p}_2$ に反する。よって $\dim A=1$ である。
$\mathbb{Z}$、体上の一変数多項式環 $k[x]$、素数 $p$ での局所化 $\mathbb{Z}_{(p)}$、形式的冪級数の環 $k[\![t]\!]$ はいずれも $1$ 次元である（後の 2 つは離散付値環）。Dedekind整域は整閉な Noether 整域で Krull次元が $1$ 以下のものである（Dedekind整域 の記事）。同じ $1$ 次元でも、$\mathbb{Z}$ は無限個の極大イデアルをもち、$\mathbb{Z}_{(p)}$ は素イデアルが $(0)\subsetneq p\mathbb{Z}_{(p)}$ の 2 つだけである。

$k$ を体、$A=k[x_1,\dots,x_n]$ とする。$i=0,1,\dots,n$ に対し $\mathfrak{p}_i:=(x_1,\dots,x_i)$（$\mathfrak{p}_0=(0)$）とおくと、
$$ A/\mathfrak{p}_i\cong k[x_{i+1},\dots,x_n] $$
（$x_1,\dots,x_i$ に $0$ を代入する写像の核が $\mathfrak{p}_i$）は整域なので $\mathfrak{p}_i$ は素イデアルである。$x_{i+1}\notin\mathfrak{p}_i$（右辺で $x_{i+1}\ne0$）なので $\mathfrak{p}_i\subsetneq\mathfrak{p}_{i+1}$ であり、長さ $n$ の鎖
$$ (0)\subsetneq(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\dots,x_n) $$
が得られる。よって $\dim k[x_1,\dots,x_n]\ge n$ である。実際には等号が成り立つ（thm-krull-dimension-finitely-generated）が、逆向きの不等式は鎖を 1 本示すだけでは得られず、超越次数などの道具が要る。

$k$ を体、$A=k[x_1,x_2,\dots]$ を可算無限個の変数の多項式環とする。ex-krull-dimension-polynomial と同じ理由で、すべての $n$ について長さ $n$ の鎖 $(0)\subsetneq(x_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\dots,x_n)$ があるので $\dim A=\infty$ である。$A$ はNoether環でない（Noether環 の記事の例「反例：無限変数の多項式環」）。この例は「次元が有限である」を満たさない環が自然に現れることを示す。Noether 環に限っても次元は無限になりうる（thm-krull-dimension-nagata）。

$k$ を体とし、$A=k[x_1,x_2,\dots]/(x_1^2,x_2^2,\dots)$、$\bar x_i$ を $x_i$ の類とする。各 $\bar x_i$ は冪零（$\bar x_i^{\,2}=0$）なので、すべての素イデアルに含まれる。$\mathfrak{m}:=(\bar x_1,\bar x_2,\dots)$ について $A/\mathfrak{m}\cong k$ は体なので $\mathfrak{m}$ は極大イデアルであり、素イデアルはすべて $\mathfrak{m}$ を含むから $\mathfrak{m}$ に等しい。よって $A$ の素イデアルは $\mathfrak{m}$ ただ 1 つで、$\dim A=0$ である。
一方 $A$ は Noether 環でない。イデアルの昇鎖 $(\bar x_1)\subset(\bar x_1,\bar x_2)\subset\cdots$ は真に増大する。実際 $A/(\bar x_1,\dots,\bar x_n)\cong k[x_{n+1},x_{n+2},\dots]/(x_{n+1}^2,x_{n+2}^2,\dots)$ で $\bar x_{n+1}$ の像は $0$ でない（この環は単項式 $x_{j_1}\cdots x_{j_r}$（$j_1<\cdots< j_r$）を基底とする $k$ ベクトル空間である）から、$\bar x_{n+1}\notin(\bar x_1,\dots,\bar x_n)$ である。
この環は「$0$ 次元」を満たすが「Noether 環」を満たさず、Noether 環の上で成り立つ含意「$0$ 次元の環はArtin環である」（Artin環 の記事）が Noether 性の仮定なしには成り立たないことを示す。実際、$A/(\bar x_{n+1},\bar x_{n+2},\dots)\cong k[x_1,\dots,x_n]/(x_1^2,\dots,x_n^2)$ で $\bar x_n\ne0$ なので、降鎖 $(\bar x_1,\bar x_2,\dots)\supsetneq(\bar x_2,\bar x_3,\dots)\supsetneq\cdots$ は止まらず、$A$ は Artin環でない。

$p$ を素数、$R=\mathbb{Z}_{(p)}$、$B=R[t]$ とする。$B$ は整域で、次の 2 本の素イデアルの鎖はどちらも、間に素イデアルを挟むことも両端を延ばすこともできない（極大な鎖である）が、長さが異なる。
$$ (0)\subsetneq(t)\subsetneq(p,t),\qquad (0)\subsetneq(pt-1). $$
1 本目：$B/(t)\cong R$ は整域、$B/(p,t)\cong R/pR\cong\mathbb{F}_p$ は体なので、$(t)$ は素イデアル、$(p,t)$ は極大イデアルである。$(t)$ に含まれる定数は $0$ だけなので $p\notin(t)$ であり、包含は真である。よって $\dim B\ge2$ である。後で述べるように $\dim B=2$ なので、長さ $2$ のこの鎖は極大である。
2 本目：局所化 の記事の注意「1 つの元による局所化の多項式表示」により $B/(pt-1)=R[t]/(pt-1)\cong R[1/p]$ であり、$\mathbb{Q}$ の $0$ でない元はすべて $p^mu$（$m\in\mathbb{Z}$、$u\in R$ は単元）と書けるので $R[1/p]=\mathbb{Q}$ は体である。よって $(pt-1)$ は極大イデアルである。$\operatorname{ht}(pt-1)=1$ を示す。$(0)\subsetneq\mathfrak{q}\subsetneq(pt-1)$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ があったとする。$c\in R$ が $c=(pt-1)g$（$g\in B$）と書けたとすると、$g\ne0$ なら右辺の $t$ についての次数は $1+\deg g\ge1$ なので $g=0$、$c=0$ である。よって $(pt-1)\cap R=0$、とくに $\mathfrak{q}$ は積閉集合 $S=R\setminus\{0\}$ と交わらない。$S^{-1}B=\mathbb{Q}[t]$ であり（$\mathbb{Q}[t]$ の元は係数の分母を払えば $g/s$（$g\in B$、$s\in S$）と書ける）、局所化 の記事の定理「素イデアルの対応」により $S^{-1}\mathfrak{q}\subsetneq S^{-1}(pt-1)$ は $\mathbb{Q}[t]$ の素イデアルの真の包含で、$\mathfrak{q}\ne0$ と $B$ が整域であることから $S^{-1}\mathfrak{q}\ne0$ である。ところが単項イデアル整域 $\mathbb{Q}[t]$ の $0$ でない素イデアルは極大なので $S^{-1}\mathfrak{q}=S^{-1}(pt-1)$ となり、矛盾する。よって $(0)\subsetneq(pt-1)$ の間に素イデアルはなく、$\operatorname{ht}(pt-1)=1$ である。
実際には $\dim B=2$ である（thm-krull-dimension-noetherian の 2 により $\dim R[t]=\dim R+1$）。この環は「整域」「Noether 環」「有限次元」を満たすが、「極大な鎖はすべて長さ $\dim B$ をもつ」「すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\operatorname{ht}\mathfrak{m}=\dim B$」「$\operatorname{ht}\mathfrak{m}+\dim B/\mathfrak{m}=\dim B$」をいずれも満たさない（$\operatorname{ht}(pt-1)+\dim B/(pt-1)=1+0<2$）。体上有限生成な整域ではこれらがすべて成り立つ（thm-krull-dimension-finitely-generated）ので、この違いは底が体でなく $1$ 次元の局所環であることから来ている。局所環 $B_{(pt-1)}$ と $B_{(p,t)}$ の次元はそれぞれ $1$ と $2$ である（prop-krull-dimension-localization）。

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の点は $(0)$ と素数 $p$ に対する $(p)$ であり、既約閉集合は各点の閉包 $V((p))=\{(p)\}$ と $V((0))=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ である（Zariski位相 の記事の例「整数環のスペクトル」と命題「既約閉集合と素イデアルの対応」）。既約閉集合の真の列は $\{(p)\}\subsetneq\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が最長で、$\dim\operatorname{Spec}\mathbb{Z}=1=\dim\mathbb{Z}$ である。同じ集合に離散位相を入れると既約閉集合は一点集合だけになり、位相的な次元は $0$ になる。位相的な次元は位相で決まり、点の集合だけでは決まらない。