Hardy–Littlewoodの極大関数

$Mf(x)>\lambda$ なら、ある $r>0$ で $\int_{x-r}^{x+r}|f|>2r\lambda$ である。$\delta>0$ を $\int_{x-r}^{x+r}|f|>2(r+\delta)\lambda$ となるように小さくとる。$|x'-x|< \delta$ なら $(x-r,x+r)\subset(x'-r-\delta,x'+r+\delta)$ なので
$$ Mf(x')\ge\frac1{2(r+\delta)}\int_{x'-r-\delta}^{x'+r+\delta}|f|\ge\frac1{2(r+\delta)}\int_{x-r}^{x+r}|f|>\lambda.\qquad\square $$

中心 $x$ の区間は $x$ を含むので $Mf\le\widetilde Mf$ である。$x\in I$、$|I|=\ell$ なら $I\subset[x-\ell,x+\ell]$ なので $|I|^{-1}\int_I|f|\le\ell^{-1}\int_{x-\ell}^{x+\ell}|f|\le2Mf(x)$ である。$\square$

長さが最大の区間を $J_1$ とし、$J_1,\dots,J_k$ を選んだら、それらのどれとも交わらない区間のうち長さが最大のものを $J_{k+1}$ とする。区間は有限個なので、選べなくなった時点で止まる。選ばれなかった $I_i$ は、ある $J_k$ と交わる。そのような $k$ のうち最小のものをとると、$J_k$ を選んだ時点で $I_i$ は $J_1,\dots,J_{k-1}$ と交わらない候補だったので $|I_i|\le|J_k|$ である。$J_k$ と交わり長さが $|J_k|$ 以下の開区間は $3J_k$ に含まれる。$\square$

$G:=\{Mf>\lambda\}$ は開集合である（prop-hl-open）。まず $G$ に含まれるコンパクト集合 $K$ について $|K|\le3\|f\|_1/\lambda$ を示す。各 $x\in K$ に $\int_{I_x}|f|>\lambda|I_x|$ となる中心 $x$ の開区間 $I_x$ がある。$K$ はコンパクトなので有限個の $I_{x_1},\dots,I_{x_N}$ で覆われる。lem-hl-covering の $J_1,\dots,J_m$ をとると
$$ |K|\le\sum_{k=1}^m|3J_k|=3\sum_{k=1}^m|J_k|<\frac3\lambda\sum_{k=1}^m\int_{J_k}|f|\le\frac3\lambda\|f\|_1 $$
である（$J_k$ は互いに交わらない）。次に $K_n:=\{x\in G\mid|x|\le n,\ \operatorname{dist}(x,\mathbb R\setminus G)\ge1/n\}$（$G=\mathbb R$ なら $K_n:=[-n,n]$）とおくと、$K_n$ はコンパクトで増加し、$G$ が開集合なので $\bigcup_nK_n=G$ である。測度の下からの連続性（Lebesgue測度 の命題「測度の単調性と連続性」）により $|G|=\lim_n|K_n|\le3\|f\|_1/\lambda$ である。$\square$

$p=\infty$ は定義から明らかである。$1< p<\infty$ とし、$\lambda>0$ ごとに $f=f_\lambda+g_\lambda$、$f_\lambda:=f1_{\{|f|>\lambda/2\}}$ と分ける。$|g_\lambda|\le\lambda/2$ だから $Mg_\lambda\le\lambda/2$ で、劣線形性から $\{Mf>\lambda\}\subset\{Mf_\lambda>\lambda/2\}$ である。$\int|f_\lambda|\le(\lambda/2)^{1-p}\int|f|^p<\infty$ なので $f_\lambda\in L^1$ であり、thm-hl-weak から
$$ |\{Mf>\lambda\}|\le\frac6\lambda\int_{\{|f|>\lambda/2\}}|f(x)|\,dx $$
である。分布関数による $L^p$ ノルムの表示（層ケーキ表示 の記事の定理「重み付きの層ケーキ表示」で重みを $p\lambda^{p-1}$ とした場合。Marcinkiewiczの補間定理 の記事の補題「分布関数によるLpノルム」と同じ等式）と、$\mathbb R\times(0,\infty)$ 上の非負関数についての Tonelliの定理 により
$$ \|Mf\|_p^p=p\int_0^\infty\lambda^{p-1}|\{Mf>\lambda\}|\,d\lambda \le6p\int_{\mathbb R}|f(x)|\int_0^{2|f(x)|}\lambda^{p-2}\,d\lambda\,dx =\frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\|f\|_p^p $$
であり、$6p\,2^{p-1}/(p-1)=2^p\cdot3p/(p-1)$ だから主張を得る。$p=1$ の後半は thm-hl-weak による。$\square$

測度有限の集合の指示関数を近似できればよい（Lp空間 の命題「単関数の稠密性」）。$|A|<\infty$、$\varepsilon>0$ とする。Lebesgue測度 の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」により開集合 $U\supset A$ で $|U\setminus A|\le\varepsilon$ となるものがある。$U$ は互いに交わらない高々可算個の開区間の和であり（各連結成分は開区間で、有理数を含むので可算個）、$|U|<\infty$ なのでそのうち有限個の和 $V$ で $|U\setminus V|\le\varepsilon$ となるものがある。$\|1_A-1_V\|_1=|A\triangle V|\le|U\setminus A|+|U\setminus V|\le2\varepsilon$ である。$\square$

$n\ge1$ を固定すると、$|x|< n$、$0< r< n$ での平均は $f1_{(-2n,2n)}$ だけで決まる。可算個の $n$ について示せばよいので、$f\in L^1(\mathbb R)$ としてよい。$h\in L^1$ に対し
$$ \Omega h(x):=\limsup_{r\to+0}\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}|h(y)-h(x)|\,dy $$
とおく。$|f(y)-f(x)|\le|(f-g)(y)-(f-g)(x)|+|g(y)-g(x)|$ から $\Omega f\le\Omega(f-g)+\Omega g$ であり、$\Omega h(x)\le Mh(x)+|h(x)|$ である。$g$ が階段関数なら、区間の端点以外のすべての点で $g$ は局所的に定数なので $\Omega g(x)=0$ である。したがって、$\varepsilon>0$ と階段関数 $g$ について、有限集合を除いて
$$ \{\Omega f>\varepsilon\}\subset\{M(f-g)>\varepsilon/2\}\cup\{|f-g|>\varepsilon/2\} $$
であり、thm-hl-weak と Chebyshevの不等式 から右辺の測度は $(6/\varepsilon+2/\varepsilon)\|f-g\|_1$ 以下である。lem-hl-step-dense により $\|f-g\|_1$ はいくらでも小さくできるので、$\{\Omega f>\varepsilon\}$ の外測度は $0$ である。$\varepsilon=1/k$（$k=1,2,\dots$）の和をとれば、$\Omega f=0$ がほとんど至るところ成り立つ。後半は $\bigl|\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f-f(x)\bigr|\le\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}|f-f(x)|$ による。$\square$