Frattiniの論法
概要
Frattiniの論法（Frattini argument）とは、群 $G$ の有限な正規部分群 $H$ と、$H$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ について $G=H\,N_G(P)$ が成り立つという主張である。$G$ の元で $P$ を共役に移した先は $H$ の Sylow 部分群で、Sylow の定理により $H$ の元でも同じ所へ移せることから従い、$H$ が推移的に作用するなら $G=H\,G_x$ という群作用の事実の特別な場合である。Sylow 部分群の正規化群を含む部分群が自分自身の正規化群であることや、$G/N$ が冪零で $N$ が Frattini 部分群に含まれるなら $G$ も冪零であることの証明に使われる。$H$ が正規でない場合や $P$ が Sylow 部分群でない場合には成り立たない。
Frattiniの論法（Frattini argument）とは、群 $G$ の有限な正規部分群 $H$ と、$H$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ について
$$
G=H\,N_G(P)
$$
が成り立つという主張である。$P$ を $G$ の元で共役に移すと $H$ の別の Sylow $p$ 部分群になるが、Sylow の定理によりそれは $H$ の元でも同じ位置に移せる。この「$G$ の元の作用を $H$ の元と、$P$ を動かさない元とに分ける」という考え方は、有限群論で正規化群を調べるときの基本的な道具である。名は G. Frattini にちなむ。
この記事では、群の作用についての一般的な形（推移的な部分群による分解）を先に示し、そこから Frattini の論法を導く。続いて、Sylow 部分群の正規化群を含む部分群が自分自身の正規化群であること、位数が $p$ と素な正規部分群による剰余群で正規化群が保たれること、Frattini 部分群を法として冪零なら冪零であることを証明する。最後に、仮定を一つずつ外すと結論が崩れる例を挙げる。
| 結果 | 内容 | 使う仮定 |
|---|---|---|
| prop-frattini-transitive | $H$ が推移的なら $G=H\,G_x$ | 作用だけ |
| thm-frattini-main | $G=H\,N_G(P)$ | $H$ は正規で有限、$P$ は $H$ の Sylow 部分群 |
| prop-frattini-self-normalizing | $N_G(P)\subset M$ なら $N_G(M)=M$ | $P$ は $G$ の Sylow 部分群 |
| prop-frattini-quotient | $N_{G/N}(PN/N)=N_G(P)N/N$ | $\lvert N\rvert$ は $p$ と素 |
| thm-frattini-nilpotent | $G/N$ が冪零で $N\subset\Phi(G)$ なら $G$ は冪零 | $G$ は有限 |
記号と定理の主張
群 $G$ の部分集合 $S$ と $g\in G$ について $gSg^{-1}:=\{gsg^{-1}\mid s\in S\}$ と書き、部分群 $K$ の正規化群を $N_G(K):=\{g\in G\mid gKg^{-1}=K\}$ とする（共役(群論)）。$N_G(K)$ は $K$ を含む部分群で、$K$ は $N_G(K)$ の正規部分群である。部分群 $A,B$ について $AB:=\{ab\mid a\in A,\ b\in B\}$ と書く。$B$ が正規なら $AB$ は部分群で $AB=BA$ である（正規部分群 の命題「正規部分群との積」）。
素数 $p$ について、有限群 $H$ の Sylow $p$ 部分群とは、位数が $\lvert H\rvert$ を割る $p$ の最大の冪に等しい部分群である（Sylowの定理 の定義「Sylow $p$部分群の定義」）。その全体を $\mathrm{Syl}_p(H)$ と書く。
$G$ を群、$H$ を $G$ の有限な正規部分群、$p$ を素数、$P$ を $H$ の Sylow $p$ 部分群とする。このとき
- $G=H\,N_G(P)=N_G(P)\,H$ である。
- $[G:N_G(P)]=[H:N_H(P)]$ であり、これは $H$ の Sylow $p$ 部分群の個数に等しい。
- $G$ が有限なら、$[G:H]=[N_G(P):N_H(P)]$ であり、とくに $[G:H]$ は $\lvert N_G(P)\rvert$ を割り切る。
証明は節「定理の証明」にあり、次の節の prop-frattini-transitive を使う。$G$ 自身は有限でなくてよい。有限なのは $H$ だけで、Sylow の定理を当てるのも $H$ の中だけである。$H$ を正規と仮定しないと結論は成り立たない（節「反例：仮定を外すと崩れること」）。
推移的な部分群による分解
Frattini の論法は、群の作用についての次の一般的な事実の特別な場合である。作用の軌道・安定化群・推移性の言葉は 群作用 の定義「軌道と安定化群」「推移的な作用と忠実な作用」による。
群 $G$ が空でない集合 $X$ に作用しているとし、$H$ を $G$ の部分群、$x\in X$ とする。
- $H$ が $X$ に推移的に作用するなら、$G=H\,G_x$ である。
- 逆に、$G$ が $X$ に推移的に作用し、$G=H\,G_x$ なら、$H$ も $X$ に推移的に作用する。
1：$g\in G$ とする。$g\cdot x\in X$ で、$H$ は推移的なので、$g\cdot x=h\cdot x$ となる $h\in H$ がある。すると $(h^{-1}g)\cdot x=x$、すなわち $h^{-1}g\in G_x$ であり、$g=h\,(h^{-1}g)\in H\,G_x$ である。逆の包含は明らかである。
2：$y\in X$ とする。$G$ は推移的なので $y=g\cdot x$ となる $g\in G$ があり、$g=hs$（$h\in H$、$s\in G_x$）と書ける。すると $y=h\cdot(s\cdot x)=h\cdot x$ である。$y$ は任意なので、$H$ の軌道 $H\cdot x$ が $X$ 全体であり、$H$ は推移的である。$\square$
たとえば $n\ge3$ のとき、$n$ 次交代群 $A_n$ は $\{1,\dots,n\}$ に推移的に作用する（$(i\,j\,k)$ の形の巡回置換で任意の点を任意の点に移せる）ので、$S_n=A_n\,S_{n-1}$ である（$S_{n-1}$ は $n$ を固定する置換の全体）。
定理の証明
1：$g\in G$、$Q\in\mathrm{Syl}_p(H)$ とする。$H$ は正規なので $gQg^{-1}\subset gHg^{-1}=H$ であり、$gQg^{-1}$ は $Q$ と同じ位数の $H$ の部分群だから、$H$ の Sylow $p$ 部分群である。よって $G$ は共役 $g\cdot Q:=gQg^{-1}$ で集合 $X:=\mathrm{Syl}_p(H)$ に作用する。$X$ は $P$ を含むので空でない。Sylowの定理 の定理「Sylowの定理の主張」の 3（共役性）を有限群 $H$ に当てると、$H$ の Sylow $p$ 部分群は互いに $H$ の元で共役なので、部分群 $H$ は $X$ に推移的に作用する。$P$ の安定化群は $G_P=N_G(P)$ なので、prop-frattini-transitive の 1 により $G=H\,N_G(P)$ である。$H$ は正規なので $H\,N_G(P)=N_G(P)\,H$ でもある。
2：写像 $\varphi\colon H\to G/N_G(P)$、$h\mapsto hN_G(P)$ を考える。1 により $g\in G$ は $g=hs$（$h\in H$、$s\in N_G(P)$）と書けるので $gN_G(P)=hN_G(P)$ であり、$\varphi$ は全射である。$\varphi(h)=\varphi(h')$ は $h^{-1}h'\in N_G(P)\cap H=N_H(P)$ と同値なので、$\varphi$ は全単射 $H/N_H(P)\to G/N_G(P)$ を導く。よって $[G:N_G(P)]=[H:N_H(P)]$ である。後者は Sylowの定理 の定理「Sylowの定理の主張」の 4 により $H$ の Sylow $p$ 部分群の個数である。
3：1 と 準同型定理 の定理「第2同型定理」（$N_G(P)$ を部分群、$H$ を正規部分群として当てる）により
$$
G/H=N_G(P)H/H\cong N_G(P)/(N_G(P)\cap H)=N_G(P)/N_H(P)
$$
である。よって $[G:H]=[N_G(P):N_H(P)]$ であり、Lagrangeの定理 により $\lvert N_G(P)\rvert=[N_G(P):N_H(P)]\,\lvert N_H(P)\rvert$ なので、$[G:H]$ は $\lvert N_G(P)\rvert$ を割り切る。$\square$
$G$ が有限の場合の 1 と 3 は DF04 §6.1 の Proposition 6（p. 193）にあり、証明も同じ筋である。2 は、$P$ の $G$ での共役と $H$ での共役が同じ個数しかないこと、すなわち $G$ の元で共役に移しても $H$ の元で共役に移した以上の Sylow 部分群は現れないことを言っている。
例
$G=S_4$、$H=A_4$、$p=3$ とする。$\lvert A_4\rvert=12=2^2\cdot3$ なので、$P:=\langle(1\,2\,3)\rangle$ は $A_4$ の Sylow $3$ 部分群である。
$S_4$ の元 $g$ について $g(1\,2\,3)g^{-1}=(g(1)\,g(2)\,g(3))$ なので、$g$ が $P$ を正規化することは、$g$ が集合 $\{1,2,3\}$ を保つこと、すなわち $g(4)=4$ と同値である。よって $N_{S_4}(P)$ は $4$ を固定する置換の全体で、$S_3$ と同型な位数 $6$ の群である。そのうち偶置換は $P$ だけなので $N_{A_4}(P)=P$ である。
thm-frattini-main の各項を確かめる。$A_4\cap N_{S_4}(P)=P$ なので $\lvert A_4N_{S_4}(P)\rvert=12\cdot6/3=24$ となり、$S_4=A_4\,N_{S_4}(P)$ である。$[S_4:N_{S_4}(P)]=4=[A_4:N_{A_4}(P)]$ は $A_4$ の Sylow $3$ 部分群の個数（$\langle(1\,2\,3)\rangle$、$\langle(1\,2\,4)\rangle$、$\langle(1\,3\,4)\rangle$、$\langle(2\,3\,4)\rangle$）に等しい。$[S_4:A_4]=2$ は $\lvert N_{S_4}(P)\rvert=6$ を割る。
$\mathbb{F}_3$ 成分の $2$ 次の 一般線形群 $G=\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$（位数 $(9-1)(9-3)=48$）と、その正規部分群 $H=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$（行列式 $\det\colon G\to\mathbb{F}_3^\times$ の核、位数 $24$）を考える。$p=3$ として
$$
P:=\left\{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\ \middle|\ t\in\mathbb{F}_3\right\}
$$
は位数 $3$ なので $H$ の Sylow $3$ 部分群である。
$N_G(P)$ は上三角行列の群 $B$（位数 $2\cdot2\cdot3=12$）である。実際、$u:=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ が固定するベクトルは $e_1$ の倍だけなので、$P$ の元すべてが固定するベクトルの全体は直線 $\mathbb{F}_3e_1$ である。$g\in N_G(P)$ なら、$P=gPg^{-1}$ の元はすべて $ge_1$ を固定するので $ge_1\in\mathbb{F}_3e_1$、すなわち $g$ は上三角である。逆に
$$
\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&ad^{-1}t\\0&1\end{pmatrix}
$$
なので上三角行列は $P$ を正規化する。$N_H(P)=B\cap H$ は $d=a^{-1}$ の上三角行列で位数 $6$ である。
すると $\lvert HB\rvert=24\cdot12/6=48$ となって $G=H\,N_G(P)$ が確かめられ、$[G:H]=2$ は $\lvert N_G(P)\rvert=12$ を割り、$H$ の Sylow $3$ 部分群の個数は $[H:N_H(P)]=4$ である。行列の言葉では、任意の可逆行列は行列式が $1$ の行列と上三角行列の積に書ける、ということである。
応用
Sylow 部分群の正規化群を含む部分群
$G$ を有限群、$P$ を $G$ の Sylow $p$ 部分群とし、$M$ を $N_G(P)\subset M$ を満たす $G$ の部分群とする。このとき $N_G(M)=M$ である。とくに $N_G(N_G(P))=N_G(P)$ である。
$K:=N_G(M)$ とおくと、$M$ は $K$ の正規部分群である。$P\subset N_G(P)\subset M$ なので、Sylowの定理 の系「部分群と剰余群のSylow部分群」の 1 により $P$ は $M$ の Sylow $p$ 部分群である。thm-frattini-main を群 $K$ と正規部分群 $M$ に当てると
$$
K=M\,N_K(P)\subset M\,N_G(P)=M
$$
である。$M\subset K$ はつねに成り立つので $K=M$ である。後半は $M=N_G(P)$ の場合である。$\square$
たとえば $S_4$ では、ex-frattini-s4 の $N_{S_4}(\langle(1\,2\,3)\rangle)\cong S_3$ は自分自身の正規化群である。正規化群をとる操作は、Sylow 部分群から始めると 1 回で止まる。
位数が $p$ と素な正規部分群による剰余群
$G$ を有限群、$N$ を位数が $p$ と素な $G$ の正規部分群、$P$ を $G$ の $p$ 部分群（位数が $p$ の冪の部分群）とし、$\pi\colon G\to G/N$ を標準射影とする。このとき
$$
N_{G/N}(\pi(P))=\pi(N_G(P))
$$
である。
$\pi(N_G(P))\subset N_{G/N}(\pi(P))$ は、$g\in N_G(P)$ について $\pi(g)\pi(P)\pi(g)^{-1}=\pi(gPg^{-1})=\pi(P)$ となることからわかる。
逆を示す。$\pi(g)$ が $\pi(P)$ を正規化するとする。$PN$ と $gPNg^{-1}=(gPg^{-1})N$ はともに $N$ を含む部分群で、$\pi$ による像はどちらも $\pi(P)$ なので、準同型定理 の定理「対応定理」の 1 により $gPNg^{-1}=PN$ である。よって $g\in K:=N_G(PN)$ であり、$PN$ は $K$ の正規部分群である。
$P\cap N$ の位数は $\lvert P\rvert$（$p$ の冪）と $\lvert N\rvert$（$p$ と素）をともに割るので $P\cap N=\{e\}$ であり、$\lvert PN\rvert=\lvert P\rvert\,\lvert N\rvert$ である（準同型定理 の定理「第2同型定理」と Lagrangeの定理）。$\lvert N\rvert$ は $p$ と素なので、$P$ は $PN$ の Sylow $p$ 部分群である。thm-frattini-main を群 $K$ と正規部分群 $PN$ に当てると
$$
K=PN\,N_K(P)=N\,P\,N_K(P)=N\,N_K(P)
$$
である（$PN=NP$、$P\subset N_K(P)$）。よって $g=nh$（$n\in N$、$h\in N_K(P)\subset N_G(P)$）と書け、$\pi(g)=\pi(h)\in\pi(N_G(P))$ である。$\square$
これは DF04 §6.1 の Exercise 20 (a)（p. 198）の主張で、上の証明は Frattini の論法を使えというその指示の筋による。$\lvert N\rvert$ が $p$ と素であることは外せない（節「反例：仮定を外すと崩れること」の 4 行目）。
Frattini 部分群を法とする冪零性
群 $G$ の Frattini部分群 $\Phi(G)$ は極大部分群すべての共通部分である（Frattini部分群 の定義「Frattini部分群」）。有限群が 冪零群 であることは、すべての Sylow 部分群が正規であることと同値である（冪零群 の定理「有限冪零群の特徴づけ」の 1 ⇔ 4）。
$G$ を有限群、$N$ を $G$ の正規部分群で $N\subset\Phi(G)$ を満たすものとする。$G/N$ が冪零群なら、$G$ も冪零群である。
$P$ を $G$ の Sylow $p$ 部分群とし、$P$ が $G$ の正規部分群であることを示す。
Sylowの定理 の系「部分群と剰余群のSylow部分群」の 2 により $PN/N$ は $G/N$ の Sylow $p$ 部分群であり、$G/N$ は冪零なので $PN/N$ は $G/N$ の正規部分群である。準同型定理 の定理「対応定理」の 4 により $PN$ は $G$ の正規部分群である。$P$ は $G$ の Sylow 部分群で $P\subset PN$ なので $PN$ の Sylow $p$ 部分群でもあり、thm-frattini-main を正規部分群 $PN$ に当てると
$$
G=PN\,N_G(P)=N\,P\,N_G(P)=N\,N_G(P)
$$
である。$N_G(P)\ne G$ と仮定すると、極大部分群 の命題「有限群での存在」により $N_G(P)\subset M$ となる極大部分群 $M$ がある。$N\subset\Phi(G)\subset M$ なので $G=N\,N_G(P)\subset M$ となり、$M\ne G$ に反する。よって $N_G(P)=G$、すなわち $P$ は正規である。$p$ は任意なので $G$ のすべての Sylow 部分群は正規であり、$G$ は冪零である。$\square$
有限群 $G$ について、$G/\Phi(G)$ が冪零なら $G$ は冪零である。とくに $G/\Phi(G)$ が可換なら $G$ は冪零である。
$\Phi(G)$ は $G$ の正規部分群である（Frattini部分群 の命題「Frattini 部分群は特性部分群」）。thm-frattini-nilpotent を $N=\Phi(G)$ に当てればよい。可換群は冪零である。$\square$
$N\subset\Phi(G)$ は外せない。$S_3$ では $A_3$ による剰余群は位数 $2$ で可換だが、$S_3$ は冪零でない（節「反例：仮定を外すと崩れること」の 5 行目）。Frattini部分群 の記事の定理「Frattini 部分群の冪零性」も、正規部分群 $\Phi(G)$ に Frattini の論法を当てて、$\Phi(G)$ 自身が冪零であることを導いている。
反例：仮定を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $H$ が正規（thm-frattini-main） | $G=S_3$、$H=P=\langle(1\,2)\rangle$、$p=2$ | $N_G(P)=P$ で $H\,N_G(P)=P\ne G$ |
| $P$ が $H$ の Sylow 部分群（同） | $G=S_4$、$H=V_4$、$P=\langle(1\,2)(3\,4)\rangle$、$p=2$ | $H\,N_G(P)$ は位数 $8$ で $G$ でない |
| $H$ が有限（同） | $G$：$\mathbb{Z}$ の変換 $x\mapsto\pm x+k$ の群、$H$：$k$ が偶数のもの、$P=\{x\mapsto x,\ x\mapsto-x\}$ | $P$ は $H$ の極大な $2$ 部分群だが $H\,N_G(P)=H\ne G$ |
| $\lvert N\rvert$ が $p$ と素（prop-frattini-quotient） | $G=\operatorname{Dih}_4$（位数 $8$）、$N=\{e,r^2\}$、$P=\langle s\rangle$、$p=2$ | $N_{G/N}(\pi(P))$ は位数 $4$、$\pi(N_G(P))$ は位数 $2$ |
| $N\subset\Phi(G)$（thm-frattini-nilpotent） | $G=S_3$、$N=A_3$ | $G/N$ は冪零だが $G$ は冪零でない |
1 行目：$(1\,3)(1\,2)(1\,3)=(2\,3)$ なので $H$ は正規でない。位数 $2$ の部分群の正規化群は、その生成元と可換な元の全体である。$S_3$ で $(1\,2)$ と可換な元は $e$ と $(1\,2)$ だけなので $N_G(P)=P$ である。
2 行目：$V_4:=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ は $S_4$ の正規部分群である（共役は置換の型を保ち、型が $(2,2)$ の置換はこの 3 個だけ）。$P$ は $V_4$ の真部分群なので Sylow $2$ 部分群でない。$(1\,2)(3\,4)$ の共役類は 3 元からなるので、$N_G(P)$（$(1\,2)(3\,4)$ と可換な元の全体）の位数は $24/3=8$ である。$V_4$ は可換なので $V_4\subset N_G(P)$ であり、$H\,N_G(P)=N_G(P)$ は位数 $8$ である。
3 行目：$t_k(x):=x+k$、$s_k(x):=-x+k$ と書くと、$G=\{t_k,s_k\mid k\in\mathbb{Z}\}$、$H=\{t_{2k},s_{2k}\mid k\in\mathbb{Z}\}$ であり、$H$ は指数 $2$ なので正規である（正規部分群 の命題「指数 2 の部分群の正規性」）。$P=\{t_0,s_0\}$ とする。$s_as_b=t_{a-b}$ であり、$k\ne0$ なら $t_k$ の位数は無限なので、すべての元の位数が $2$ の冪である $H$ の部分群は $\{t_0\}$ か $\{t_0,s_{2k}\}$ の形に限る。よって $P$ は $H$ の極大な $2$ 部分群である。$t_ms_0t_m^{-1}=s_{2m}$、$s_ks_0s_k^{-1}=s_{2k}$ なので、$s_0$ と可換な元は $t_0$ と $s_0$ だけであり、$N_G(P)=P\subset H$ である。よって $H\,N_G(P)=H\ne G$ である。$H$ の中の共役 $t_{2m}s_0t_{2m}^{-1}=s_{4m}$、$s_{2k}s_0s_{2k}^{-1}=s_{4k}$ は $s_2$ にならないので、$H$ の極大な $2$ 部分群 $P$ と $\{t_0,s_2\}$ は $H$ の中で共役でない。有限群で Sylow の定理の共役性が保証していたことが、ここで崩れている。
4 行目：$\operatorname{Dih}_4=\langle r,s\mid r^4=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle$（二面体群 の定義「表示で定まる二面体群」）では $rsr^{-1}=sr^{2}$ なので $r$ は $s$ と可換でなく、$s$ と可換な元は $e,r^2,s,sr^2$ である。よって $N_G(P)=\{e,r^2,s,sr^2\}$ で、$\pi(N_G(P))$ は位数 $2$ である。一方 $N=\{e,r^2\}$ は中心で、$G/N$ は位数 $4$ の群なので可換であり、$N_{G/N}(\pi(P))=G/N$ は位数 $4$ である。
5 行目：$A_3$ は $S_3$ の正規部分群で $S_3/A_3$ は位数 $2$ の可換群なので冪零である。$S_3$ の Sylow $2$ 部分群 $\langle(1\,2)\rangle$ は 1 行目のとおり正規でないので、$S_3$ は冪零でない。$S_3$ の極大部分群は $A_3$ と位数 $2$ の部分群 3 個で、その共通部分は $\{e\}$ なので $\Phi(S_3)=\{e\}$ であり、$A_3\not\subset\Phi(S_3)$ である。
補足
同じ名をもつ Frattini 部分群との関係． thm-frattini-nilpotent と Frattini部分群 の記事の定理「Frattini 部分群の冪零性」は、どちらも「$G=X\,N_G(P)$ の形の分解と、$X$ がどの極大部分群にも含まれること」から $N_G(P)=G$ を導く。Frattini 部分群が「生成に寄与しない元の全体」であること（同じ記事の定理「非生成元による特徴づけ」）が、ここで効いている。
有限群論での位置． Frattini の論法は、正規部分群 $H$ の情報（その Sylow 部分群）と、$G$ 全体の情報（Sylow 部分群の正規化群）を結びつける。冪零群 の記事の定理「有限冪零群の特徴づけ」の (3)⇒(4)（極大部分群がすべて正規なら Sylow 部分群がすべて正規）も同じ論法による。
関連項目
- 前提: Sylowの定理, 正規部分群, 群作用, 共役(群論)
- 用いる記事: 準同型定理, Lagrangeの定理, 極大部分群
- 例: 対称群, 交代群, 一般線形群, 二面体群
- 発展: Frattini部分群, 冪零群, p群, Schur–Zassenhausの定理
参考文献
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