可算コンパクト空間

前半は、可算な開被覆も開被覆なので定義から従う。後半：$F\subset X$ を閉集合、$\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $F$ の（部分空間位相での）可算開被覆とし、$V_n=U_n\cap F$（$U_n$ は $X$ の開集合）と書く。$\{U_n\}_n\cup\{X\setminus F\}$ は $X$ の可算開被覆なので有限部分被覆を持ち、そこから $X\setminus F$ を除いた有限個の $U_n$ が $F$ を覆う。対応する $V_n$ が $F$ の有限部分被覆である。$\square$

(1)⇒(2)：$\bigcap_nF_n=\emptyset$ と仮定すると $\{X\setminus F_n\}_n$ は可算開被覆であり、有限部分被覆 $X\setminus F_{n_1},\dots,X\setminus F_{n_k}$ を持つ。$N=\max n_i$ とすると $F_N\subset F_{n_i}$ なので $X\setminus F_N\supset X\setminus F_{n_i}$、よって $X\setminus F_N=X$、すなわち $F_N=\emptyset$ となり矛盾する。
(2)⇒(3)：点列 $(x_n)$ に対し $F_n:=\overline{\{x_k\mid k\ge n\}}$ とおくと、空でない閉集合の減少列である。(2) により $p\in\bigcap_nF_n$ がとれる。$p$ の任意の近傍 $W$ と任意の $n$ について、$p\in\overline{\{x_k\mid k\ge n\}}$ より $W$ は $k\ge n$ なるある $x_k$ を含む。$n$ は任意なので $W$ は無限個の $k$ について $x_k$ を含み、$p$ は集積点である。
(3)⇒(1)：$\{U_n\}_{n\ge1}$ を可算開被覆とし（有限個の開集合からなる被覆は同じ集合を繰り返して添字づける）、有限部分被覆がないと仮定する。各 $n\ge1$ について $U_1\cup\cdots\cup U_n\neq X$ なので $x_n\notin U_1\cup\cdots\cup U_n$ がとれる。(3) により $(x_n)$ は集積点 $p$ を持つ。$p\in U_m$ となる $m$ をとると、$U_m$ は $p$ の近傍なので無限個の $n$ について $x_n\in U_m$、特に $n\ge m$ なる $n$ がある。しかし $n\ge m$ なら $x_n\notin U_1\cup\cdots\cup U_n\supset U_m$ であり矛盾する。$\square$

thm-countably-compact-space-equivalence の (3) を示す。点列 $(x_n)$ の収束部分列 $(x_{n_k})$ の極限を $p$ とすると、$p$ の任意の近傍は十分大きいすべての $k$ について $x_{n_k}$ を含むので、無限個の $n$ について $x_n$ を含む。$\square$

任意の開被覆は Lindelöf 性により高々可算な部分被覆を持ち、それは可算コンパクト性により有限な部分被覆を持つ。$\square$

順序数について次を用いる：$\omega_1$ の任意の可算部分集合は上界を持つ（可算個の可算順序数の上限は可算順序数である）、順序数の任意の空でない集合は最小元を持つ、各 $\gamma\in\omega_1$ について $\{\alpha\mid\alpha<\gamma\}$ は可算である。
可算コンパクト性：thm-countably-compact-space-equivalence の (3) を示す。点列 $(x_n)$ をとり、$\beta$ を $\{x_n\}$ の上界とする。集合 $\{n\mid x_n\le\beta\}$ は無限（すべての $n$）なので、$\{n\mid x_n\le\alpha\}$ が無限になるような $\alpha\in\omega_1$ の全体は空でなく、その最小元を $\gamma$ とする。$\gamma$ が集積点であることを示す。$\gamma=0$ のとき、$\{n\mid x_n\le0\}=\{n\mid x_n=0\}$ が無限なので $\gamma$ は集積点である。$\gamma>0$ のとき、$\gamma$ の任意の近傍は $\gamma$ を含む開基の元を含み、それは $(\alpha,\beta)$（$\alpha<\gamma<\beta$）、$[0,\beta)$（$\gamma<\beta$）、$(\alpha,\omega_1)$（$\alpha<\gamma$）のいずれかである。$\gamma>0$ なので、どの場合もある $\delta<\gamma$ について $(\delta,\gamma]$ を含む（第 1・第 3 の場合は $\delta=\alpha$、第 2 の場合は任意の $\delta<\gamma$）。$\gamma$ の最小性から $\{n\mid x_n\le\delta\}$ は有限であり、$\{n\mid x_n\le\gamma\}$ は無限なので、$\delta< x_n\le\gamma$ となる $n$ は無限個ある。よって $\gamma$ は集積点である。
コンパクトでないこと：$\{[0,\alpha)\mid\alpha\in\omega_1\}$ は開被覆である（各 $\gamma$ について、$\gamma+1$ は可算順序数なので $\omega_1$ に属し、$\gamma\in[0,\gamma+1)$）。有限個 $[0,\alpha_1),\dots,[0,\alpha_k)$ の合併は $[0,\max\alpha_i)$ であり、$\max\alpha_i\in\omega_1$ を含まないので、有限な部分被覆はない。$\square$