クラス(集合論)

$\mathbf C=\{x\mid\varphi(x,\vec p)\}$ とする。
1．分出図式を論理式 $\varphi$ に適用すると、集合 $b=\{x\in a\mid\varphi(x,\vec p)\}$ があり、$x\in b\leftrightarrow(x\in a\land x\in\mathbf C)$ が成り立つ。これは $\mathbf C\cap a$ が集合 $b$ であることを意味する。$\mathbf C\subseteq a$ なら $\mathbf C=\mathbf C\cap a$ なので $\mathbf C$ も集合である。
2．$\mathbf F$ を定める論理式を使って、$\theta(x,y)$ を「$x\in\operatorname{dom}\mathbf F$ かつ $y=\mathbf F(x)$、または $x\notin\operatorname{dom}\mathbf F$ かつ $y=\emptyset$」とする。各 $x\in a$ に対し $\theta(x,y)$ を満たす $y$ はちょうど一つなので、置換図式（Kun80 Ch. I, §6, Axiom 6, p. 12）により、各 $x\in a$ についてその $y$ を元にもつ集合 $Y$ がある。$\mathbf F[a]\subseteq Y$ なので、1 により $\mathbf F[a]=\mathbf F[a]\cap Y$ は集合である。
3．前半：$\mathbf D$ が集合 $d$ なら、$\mathbf C\subseteq d$ と 1 から $\mathbf C$ は集合になり、仮定に反する。後半：$\mathbf C$ が集合 $c$ なら 2 により $\mathbf F[c]$ は集合で、前半によりそれに含まれるクラスはすべて集合になり、仮定に反する。
4．$\mathbf C$ が集合 $c$ なら、正則性公理 の定理「正則性と累積階層」により $c\in V_\gamma$ となる $\gamma$ があり、$V_\gamma$ は推移的なので $c\subseteq V_\gamma$ である。逆に $\mathbf C\subseteq V_\alpha$ なら 1 により集合である。階数については、正則性公理 の定義「階数」により $\operatorname{rank}(x)$ は $x\subseteq V_\beta$ となる最小の $\beta$ である。すべての $x\in\mathbf C$ で $\operatorname{rank}(x)<\alpha$ なら $x\in\mathcal P(V_{\operatorname{rank}(x)})=V_{\operatorname{rank}(x)+1}\subseteq V_\alpha$ なので $\mathbf C\subseteq V_\alpha$ である。逆に $\mathbf C\subseteq V_\alpha$ なら、同じ記事の補題「段階の中の元」により各 $x\in\mathbf C$ について $x\subseteq V_\gamma$ となる $\gamma<\alpha$ があり、$\operatorname{rank}(x)<\alpha$ である。$\square$

1．$\mathbf R$ が集合 $r$ なら、$r\in r\leftrightarrow r\notin r$ となり矛盾する。$\mathbf R\subseteq\mathbf V$ なので、thm-class-set-criteria の 3 により $\mathbf V$ も真のクラスである。$\mathbf{On}$ については 順序数 の命題「Burali-Forti の逆理」による。
2．クラス関数 $\mathbf U$（ex-class-examples の 8）は $\mathbf U(\{y\})=y$ を満たすので $\mathbf U[\mathbf S]=\mathbf V$ であり、1 により $\mathbf V$ は真のクラスなので、thm-class-set-criteria の 3 により $\mathbf S$ は真のクラスである。
3．集合 $y$ ごとに $\{y\}\times A$ を考える。$a\mapsto\langle y,a\rangle$ は $A$ から $\{y\}\times A$ への全単射なので $\{y\}\times A\in[A]$ である。$A$ は空でないので、$\{y\}\times A$ の元の第 1 成分全体は $\{y\}$ であり、$\mathbf P(\{y\}\times A)=\{y\}$ となる（$\mathbf P$ は ex-class-examples の 8）。よって $\mathbf P\bigl[\,[A]\,\bigr]\supseteq\mathbf S$ で、2 と thm-class-set-criteria の 3 により $[A]$ は真のクラスである。
4．集合 $y$ ごとに、$\iota_y(g)=\langle y,g\rangle$ による全単射 $\iota_y\colon G\to\{y\}\times G$ で演算を移す：$m_y(\langle y,g\rangle,\langle y,h\rangle):=\langle y,m(g,h)\rangle$。すると $\iota_y$ は $\langle G,m\rangle$ から $\langle\{y\}\times G,m_y\rangle$ への同型である。クラス関数 $\langle H,n\rangle\mapsto\mathbf P(H)$ はこの群を $\{y\}$ に送るので、同型な群の全体の像は $\mathbf S$ を含み、3 と同じく真のクラスである。位相空間 $\langle X,\tau\rangle$ では $\tau_y:=\{\iota_y[U]\mid U\in\tau\}$ とおけば $\iota_y$ は同相写像になり、同じ議論が通る。最後の主張は thm-class-set-criteria の 3 の前半による。$\square$

1．$\{\operatorname{rank}(x)\mid x\in\mathbf C\}$ は空でない順序数のクラスなので、順序数 の命題「順序数の集まりの整列性と上限」の 5 により最小元 $\alpha$ をもつ。$\mathbf C_*=\{x\in\mathbf C\mid\operatorname{rank}(x)=\alpha\}$ であり、$\alpha$ を階数にもつ元があるので空でない。その元 $x$ は $x\subseteq V_\alpha$、すなわち $x\in V_{\alpha+1}$ を満たすので $\mathbf C_*\subseteq V_{\alpha+1}$ であり、thm-class-set-criteria の 1 により集合である。
2．$x\,\mathbf E\,y$ なら、対称律と推移律から $[x]_{\mathbf E}=[y]_{\mathbf E}$ であり、両辺の ${}_*$ も等しい。$x\,\mathbf E\,y$ でないなら、$z\in[x]_{\mathbf E}\cap[y]_{\mathbf E}$ があると $x\,\mathbf E\,z\,\mathbf E\,y$ となるので、$[x]_{\mathbf E}$ と $[y]_{\mathbf E}$ は交わらない。反射律から両者は空でなく、1 によりその ${}_*$ は空でない部分集合なので、互いに異なる。$\square$