Banach–Tarskiの逆理

要点：1・2・3 は小片を細かくすればよく、4 は Cantor–Bernsteinの定理 の証明を区分的な写像で行う。

一つ目は既約語の左端の文字による分類である。二つ目を示す。$u\in F$ の既約語が $a$ で始まらないとき、$a^{-1}u$ の既約語は $u$ の既約語の左に $a^{-1}$ を付けたもの（簡約が起こらない）なので $a^{-1}u\in W(a^{-1})$ であり、$u=a(a^{-1}u)\in aW(a^{-1})$ となる。逆に $w\in W(a^{-1})$ を $w=a^{-1}u$（$u$ の既約語は $a$ で始まらない）と書くと $aw=u\notin W(a)$ である。よって $aW(a^{-1})=F\setminus W(a)$ であり、$e$ もこちらに入る。三つ目も同じである。
$P=W(a)\sqcup W(a^{-1})$、$Q=W(b)\sqcup W(b^{-1})$ は互いに交わらず、二つ目の式により $P$ の小片 $W(a)$ を $e$ で、$W(a^{-1})$ を $a$ で動かすと $F$ になるので $P\sim F$ である。同様に $Q\sim F$ である。$\square$

選択公理により、各軌道 $Fy$ とちょうど一点で交わる集合 $M\subset Y$ がとれる。$S\subset F$ に対し $SM=\{gm\mid g\in S,\ m\in M\}$ とおく。$gm=hm'$（$m,m'\in M$）なら $m,m'$ は同じ軌道にあるので $m=m'$、自由性から $g=h$ である。よって $Y=\bigsqcup_{g\in F}gM$ であり、$S\mapsto SM$ は互いに交わらない和集合を互いに交わらない和集合に移し、$(gS)M=g(SM)$ を満たす。prop-bt-free-group の式をこれで写すと、$Y=W(a)M\sqcup aW(a^{-1})M=W(b)M\sqcup bW(b^{-1})M$ となり、$P=W(a)M\sqcup W(a^{-1})M$ と $Q=W(b)M\sqcup W(b^{-1})M$ は互いに交わらず、$P\sim Y\sim Q$ である。$\square$

整数 $\alpha,\beta,\gamma$ と $k\ge0$ によるベクトル $3^{-k}(\alpha,\beta\sqrt2,\gamma)$ に $A^{\pm1}$、$B^{\pm1}$ を施すと、行列の積を計算して
$$ A^{\pm1}:\ (\alpha,\beta,\gamma)\mapsto(\alpha\mp4\beta,\ \beta\pm2\alpha,\ 3\gamma),\qquad B^{\pm1}:\ (\alpha,\beta,\gamma)\mapsto(3\alpha,\ \beta\mp2\gamma,\ \gamma\pm4\beta) $$
となり、$k$ は $1$ 増える（複号同順）。
右端が $A^{\pm1}$ の既約語。 既約語 $w=\sigma_1\cdots\sigma_k$（$\sigma_k$ が $A^{\pm1}$）を $(1,0,0)$ に右から順に施し、$j$ 文字施した後の整数の組を $(\alpha_j,\beta_j,\gamma_j)$ とする（$(\alpha_0,\beta_0,\gamma_0)=(1,0,0)$）。$\beta_j$ が $3$ で割り切れないことを $j$ についての帰納法で示す。$j=1$ では $\beta_1=\pm2$ である。$j\ge2$ では、$j$ 番目と $j-1$ 番目に施す文字によって四つの場合がある（異なる文字の場合、二つの複号は独立である）。

• $B^{\pm1}$ の後に $A^{\pm1}$：$\alpha_{j-1}$ は $3$ の倍数なので $\beta_j=\beta_{j-1}\pm2\alpha_{j-1}\equiv\beta_{j-1}$。
• $A^{\pm1}$ の後に $B^{\pm1}$：$\gamma_{j-1}$ は $3$ の倍数なので $\beta_j=\beta_{j-1}\mp2\gamma_{j-1}\equiv\beta_{j-1}$。
• $A^{\pm1}$ の後に同じ $A^{\pm1}$（既約なので符号は同じ）：$\beta_j=\beta_{j-1}\pm2\alpha_{j-1}=\beta_{j-1}\pm2\alpha_{j-2}-8\beta_{j-2}$ と $\pm2\alpha_{j-2}=\beta_{j-1}-\beta_{j-2}$ から $\beta_j=2\beta_{j-1}-9\beta_{j-2}\equiv2\beta_{j-1}$。
• $B^{\pm1}$ の後に同じ $B^{\pm1}$：同様に $\beta_j=2\beta_{j-1}-9\beta_{j-2}\equiv2\beta_{j-1}$。
  合同式は $3$ を法とする。いずれの場合も $\beta_j\not\equiv0$ が保たれる。よって $w(1,0,0)$ の第 $2$ 成分 $3^{-k}\beta_k\sqrt2$ は $0$ でなく、$w\ne I$ である。

右端が $B^{\pm1}$ の既約語。 $w$ の左端の文字が $A^{-\epsilon}$ でないように $\epsilon\in\{1,-1\}$ を選び、$w'=A^{\epsilon}wA^{-\epsilon}$ とおく。両端で簡約が起こらないので $w'$ は右端が $A^{-\epsilon}$ の空でない既約語であり、前半により $w'\ne I$、したがって $w\ne I$ である。$\square$

要点：どちらも、$D$（または中心）を無限に続く軌道の始点にとり、軌道を一歩ずらすと始点が消えることを使う。

段 1：球面から可算集合を除いた部分。 prop-bt-rotations の群 $H\cong F$ は可算である。$SO(3)$ の単位行列でない元は $S^2$ の点をちょうど二つ固定する（下の注）ので、$H$ の単位元でない元に固定される点全体 $D\subset S^2$ は可算である。$Y=S^2\setminus D$ は $H$ で保たれる：$x\in Y$、$h\in H$ で $hx$ が $g\ne e$ に固定されるなら、$h^{-1}gh\ne e$ が $x$ を固定して $x\in D$ となり矛盾する。$H$ は $Y$ に自由に作用するので、lem-bt-free-action により $Y$ は $H$-逆理的、したがって $SO(3)$-逆理的である。
段 2：球面全体。 lem-bt-absorb の 1 により $S^2\sim_{SO(3)}Y$ なので、lem-bt-basic の 5 により $S^2$ は $SO(3)$-逆理的である。
段 3：中心を除いた球。 $T\subset S^2$ に対し $T^*=\{rx\mid0< r\le1,\ x\in T\}$ とおく。$R\in SO(3)$ について $R(T^*)=(RT)^*$ であり、$T\mapsto T^*$ は互いに交わらない和集合を保つ。よって $S^2$ の部分集合の間の $SO(3)$ による分割合同は、小片に $*$ を施せば $(\cdot)^*$ の間の分割合同になる。段 2 の $P,Q\subset S^2$ から $P^*,Q^*\subset(S^2)^*=\mathbb B\setminus\{0\}$ が得られ、$\mathbb B\setminus\{0\}$ は $SO(3)$-逆理的である。
段 4：球全体（主張 1）。 lem-bt-absorb の 2 により $\mathbb B\sim_{G_3}\mathbb B\setminus\{0\}$ なので、lem-bt-basic の 5 により $\mathbb B$ は $G_3$-逆理的である。
主張 2。 主張 1 の $P,Q\subset\mathbb B$ をとり、$C=P$、$C'=\mathbb B\setminus P$ とおく。$C\sim\mathbb B$ である。$C'\subset\mathbb B$ より $C'\preceq\mathbb B$ であり、$\mathbb B\sim Q\subset C'$ より $\mathbb B\preceq C'$ である。lem-bt-basic の 4 により $C'\sim\mathbb B$ である。
主張 3。 $|t|=3> 2$ なので $\mathbb B$ と $\mathbb B+t$ は交わらない。$C\sim\mathbb B$、$C'\sim\mathbb B\sim\mathbb B+t$（平行移動 $x\mapsto x+t$ は $G_3$ の元）なので、lem-bt-basic の 3 により $\mathbb B=C\sqcup C'\sim\mathbb B\sqcup(\mathbb B+t)$ である。$\square$

$X\sim Y$ を小片 $X_i$ と $g_i$ が与えるとき、$\mu(X)=\sum_i\mu(X_i)=\sum_i\mu(g_iX_i)=\mu(Y)$ である。よって $\mu(\mathbb B)=\mu(C)+\mu(C')=2\mu(\mathbb B)$ であり、$\mu(\mathbb B)\in\{0,\infty\}$ となる。
$\mathbb R^3$ の Lebesgue 測度 $\lambda$ は、可測集合の上で有限加法的であり、可測集合を向きを保つ等長変換で写した像も可測で測度が等しい（平行移動と線形変換による変数変換。Tao11 Exercise 1.2.20・1.2.21, p. 41。この記事では証明しない）。$C\sim\mathbb B$ と $C'\sim\mathbb B$ の小片がすべて可測なら、それらを動かした像も可測なので、上と同じ計算で $\lambda(\mathbb B)=2\lambda(\mathbb B)$ となる。しかし $0< \lambda(\mathbb B)< \infty$ なので矛盾する。$\square$