Brunn–Minkowskiの不等式

$k\in K$ なら $(s+t)k=sk+tk\in sK+tK$ である。逆に $k_1,k_2\in K$ とする。$s+t=0$ なら $sk_1+tk_2=0=0\cdot k_1$ である。$s+t>0$ なら、$K$ が凸なので
$$ sk_1+tk_2=(s+t)\Bigl(\frac{s}{s+t}k_1+\frac{t}{s+t}k_2\Bigr)\in(s+t)K $$
である。$\square$

平行移動しても両辺は変わらないので、$\max X=0=\min Y$ としてよい（コンパクト集合は最大値・最小値をもつ）。このとき $0\in X\cap Y$ なので $X=X+0\subset X+Y$、$Y=0+Y\subset X+Y$ であり、$X\subset(-\infty,0]$、$Y\subset[0,\infty)$ より $X\cap Y=\{0\}$ である。よって $\lvert X+Y\rvert\ge\lvert X\cup Y\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$ である。$\square$

$X=\prod_k[a_k,a_k+x_k]$、$Y=\prod_k[b_k,b_k+y_k]$ とすると、区間の和 $[a,a+x]+[b,b+y]=[a+b,a+b+x+y]$ を座標ごとに使って $X+Y=\prod_k[a_k+b_k,\,a_k+b_k+x_k+y_k]$ である。$u_k:=\frac{x_k}{x_k+y_k}$、$v_k:=\frac{y_k}{x_k+y_k}=1-u_k$ とおく。平均の大小関係 の定理「重み付きの相加相乗平均の不等式」を重み $\frac1n$ で $u_1,\dots,u_n$ と $v_1,\dots,v_n$ にそれぞれ使うと
$$ \Bigl(\prod_ku_k\Bigr)^{1/n}+\Bigl(\prod_kv_k\Bigr)^{1/n}\le\frac1n\sum_ku_k+\frac1n\sum_kv_k=\frac1n\sum_k(u_k+v_k)=1 $$
である。左辺は $\bigl(\lvert X\rvert^{1/n}+\lvert Y\rvert^{1/n}\bigr)/\lvert X+Y\rvert^{1/n}$ に等しいので、不等式を得る。等号は 2 つの相加相乗平均の不等式がともに等号のとき、すなわち $u_1=\cdots=u_n$（このとき $v_k=1-u_k$ もすべて等しい）のときに限る。$u_k$ がすべて等しいことは $y_k/x_k=1/u_k-1$ が $k$ によらないことと同値である。$\square$

段 1：箱の和集合。$X,Y$ が箱の和集合のとき、$N:=m(X)+m(Y)$ についての帰納法で示す。$N=2$ は lem-bmi-box である。$N\ge3$ とし、箱の総数が $N$ より少ない場合は正しいとする。主張は $X,Y$ について対称なので $m(X)\ge2$ としてよい。
(a) $X$ の 2 つの箱 $P_1,P_2$ をとる。すべての座標 $i$ で $P_1$、$P_2$ の第 $i$ 辺の内部（開区間）が交わるなら、その共通部分の直積は $P_1$ と $P_2$ の内部の共通部分に含まれて空でなく、仮定に反する。よって、ある $i$ で第 $i$ 辺の内部が交わらず、ある $c$ で $P_1\subset\{x_i\le c\}$、$P_2\subset\{x_i\ge c\}$ となる（必要なら $P_1,P_2$ を入れ替える）。$X$ を平行移動して $c=0$ としてよい。$\lvert X\rvert$ も $\lvert X+Y\rvert$ も変わらないからである。
(b) $H^+:=\{x_i\ge0\}$、$H^-:=\{x_i\le0\}$ とおく。$X$ の箱 $P$ のうち $P\cap\{x_i>0\}\ne\emptyset$ となるものについて、$P\cap H^+$ は箱である（第 $i$ 辺 $[p,q]$ は $q>0$ をみたし、$[\max(p,0),q]$ に替わる）。これらの和集合を $X^+$ とし、同様に $X^-$ を作る。$X^\pm$ は箱の和集合で、$P_1$ は $X^+$ に、$P_2$ は $X^-$ に寄与しないので $m(X^\pm)\le m(X)-1$ である。$X$ のうち $X^+\cup X^-$ に入らない点は超平面 $\{x_i=0\}$ にあり、$X^+\cap X^-$ もそこに含まれるので、$\lvert X\rvert=\lvert X^+\rvert+\lvert X^-\rvert$ である。$X^+\supset P_2$、$X^-\supset P_1$ なので
$$ \lambda:=\frac{\lvert X^+\rvert}{\lvert X\rvert} $$
は $0< \lambda< 1$ をみたし、$\lvert X^-\rvert=(1-\lambda)\lvert X\rvert$ である。
(c) $Y$ の箱 $Q=\prod_k[a_k,b_k]$ について、$\lvert(Q+te_i)\cap H^+\rvert=\prod_{k\ne i}(b_k-a_k)\cdot\ell\bigl([a_i+t,b_i+t]\cap[0,\infty)\bigr)$（$\ell$ は区間の長さ、$e_i$ は第 $i$ 基本ベクトル）は $t$ の連続関数である。箱どうしの重なりは測度 $0$ なので、$g(t):=\lvert(Y+te_i)\cap H^+\rvert$ はこれらの和で、$t$ について連続である。$t$ が十分小さければ $g(t)=0$、十分大きければ $g(t)=\lvert Y\rvert$ なので、中間値の定理 により $g(t)=\lambda\lvert Y\rvert$ となる $t$ がある。$Y$ をこの $Y+te_i$ に取り替える（$\lvert Y\rvert$ も $\lvert X+Y\rvert$ も変わらない）。$Y^\pm$ を $X^\pm$ と同じく作ると、(b) と同じ理由で $\lvert Y^+\rvert=\lambda\lvert Y\rvert>0$、$\lvert Y^-\rvert=(1-\lambda)\lvert Y\rvert>0$ であり、$Y^\pm$ は空でなく $m(Y^\pm)\le m(Y)$ である。
(d) $X^++Y^+\subset H^+$、$X^-+Y^-\subset H^-$ はどちらも $X+Y$ に含まれ、共通部分は超平面 $\{x_i=0\}$ に入る。$m(X^\pm)+m(Y^\pm)\le N-1$ なので帰納法の仮定が使え、$a:=\lvert X\rvert^{1/n}$、$b:=\lvert Y\rvert^{1/n}$ とおくと
$$ \begin{aligned} \lvert X+Y\rvert&\ge\lvert X^++Y^+\rvert+\lvert X^-+Y^-\rvert\\ &\ge\bigl(\lvert X^+\rvert^{1/n}+\lvert Y^+\rvert^{1/n}\bigr)^n+\bigl(\lvert X^-\rvert^{1/n}+\lvert Y^-\rvert^{1/n}\bigr)^n\\ &=\lambda(a+b)^n+(1-\lambda)(a+b)^n=(a+b)^n \end{aligned} $$
である。$n$ 乗根をとれば主張になる。
段 2：コンパクト集合。$j\ge1$ について、$2^{-j}\mathbb{Z}^n$ の点を頂点とする 1 辺 $2^{-j}$ の閉立方体のうち $X$ と交わるものの和集合を $X_j$ とする。$X$ は有界なのでこれは有限個で、$X_j$ は空でない箱の和集合である。$Y_j$ も同様に作る。どの点もある格子の立方体に入るので $X\subset X_j$ である。$X_j$ の点 $z$ は $X$ と交わる立方体に入るので、立方体の対角線の長さ $\delta_j:=\sqrt n\,2^{-j}$ 以内に $X$ の点があり、$X_j\subset X+\delta_jB$ である。$Y_j$ も同じである。lem-bmi-convex-sum により $\delta_jB+\delta_jB=2\delta_jB$ なので
$$ X_j+Y_j\subset C_j:=(X+Y)+2\delta_jB $$
である。段 1 と $\lvert X_j\rvert\ge\lvert X\rvert$、$\lvert Y_j\rvert\ge\lvert Y\rvert$ から
$$ \lvert C_j\rvert^{1/n}\ge\lvert X_j+Y_j\rvert^{1/n}\ge\lvert X_j\rvert^{1/n}+\lvert Y_j\rvert^{1/n}\ge\lvert X\rvert^{1/n}+\lvert Y\rvert^{1/n} $$
が成り立つ。$C_j$ は $j$ について減少する有界集合の列で、$z$ がすべての $C_j$ に入れば $X+Y$ の点との距離が $2\delta_j\to0$ 以下なので、$X+Y$ が閉集合であることから $z\in X+Y$ である。よって $\bigcap_jC_j=X+Y$ であり、測度 の定理「測度の連続性」の 2 により $\lvert C_j\rvert\to\lvert X+Y\rvert$ である。$\square$

要点：1 ⇒ 2 は拡大による正規化、2 ⇒ 3 は重み付きの相加相乗平均の不等式、3 ⇒ 4 は明らかで、4 ⇒ 1 は測度を $1$ にそろえて $\lambda$ を選ぶ。

$s,t\in[0,1]$、$0< \mu< 1$ とし、$r:=(1-\mu)s+\mu t$ とおく。Minkowski 和の可換性・結合性と lem-bmi-convex-sum を $K$ と $L$ に使うと
$$ \begin{aligned} &(1-\mu)\bigl((1-s)K+sL\bigr)+\mu\bigl((1-t)K+tL\bigr)\\ &\quad=\bigl((1-\mu)(1-s)+\mu(1-t)\bigr)K+\bigl((1-\mu)s+\mu t\bigr)L=(1-r)K+rL \end{aligned} $$
である。$(1-s)K+sL$ と $(1-t)K+tL$ は空でないコンパクト集合なので、thm-bmi-forms の 2 を $\lambda=\mu$ で使うと $f(r)\ge(1-\mu)f(s)+\mu f(t)$ である。$\square$

要点：$K$ の凸性から $(1-\lambda)K_s+\lambda K_t\subset K_{(1-\lambda)s+\lambda t}$ であり、$\mathbb{R}^{n-1}$ で thm-bmi-forms の 2 を使う。

$\lvert\varepsilon B\rvert^{1/n}=\varepsilon\,\omega_n^{1/n}$ なので、1 つめの不等号は thm-bmi-main を $X=K$、$Y=\varepsilon B$ に使ったものである。2 つめは、$(\alpha+\beta)^n$（$\alpha,\beta\ge0$）を 2 項展開して、$\alpha^n+n\alpha^{n-1}\beta$ 以外の項が $0$ 以上であることによる。$K=rB$（$r>0$）なら、lem-bmi-convex-sum により $K+\varepsilon B=(r+\varepsilon)B$ で、$\lvert K+\varepsilon B\rvert=\omega_n(r+\varepsilon)^n=\bigl(\lvert K\rvert^{1/n}+\varepsilon\,\omega_n^{1/n}\bigr)^n$ である。$\square$