L'Huilierの定理
概要
L'Huilierの定理（L'Huilier's theorem）とは、単位球面の上の球面三角形の球過量 $E=A+B+C-\pi$（面積に等しい）を、3 辺 $a,b,c$ と半周長 $s=\frac{a+b+c}{2}$ で表す式 $\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}{2}\tan\frac{s-b}{2}\tan\frac{s-c}{2}}$ である。角を求めずに 3 辺から面積が直接求まり、半径 $R$ の球面では面積は $R^2E$ になる。Delambre の類似式で角の和を辺に替え、和積の公式と球面の半角公式で整理して導かれる。平面の Heron の公式の球面版で、辺が半径に比べて小さい三角形では Heron の公式に近づく。
前提知識: Napierの類似式, 球面三角形の半角公式, 球面三角形の面積, 三角形の面積の公式
高校での出発点：3 辺から球面三角形の面積を求める
平面の三角形の面積は、3 辺の長さだけから Heron の公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（$s$ は 3 辺の和の半分）で求まる（三角形の面積の公式）。球面三角形でも、3 辺から面積を直接求める式があるだろうか。
以下、単位球面の上の球面三角形 $ABC$ の辺を $a,b,c$（中心角、$0< a,b,c<\pi$）、角を $A,B,C$ とし、半周長を $s=\dfrac{a+b+c}2$ とする。球面三角形の面積は、球面三角形の面積 の主定理（Girard の定理）により、内角の和から $\pi$ を引いたもの
$$
A+B+C-\pi
$$
に等しい（単位球面のとき）。そこで、まず 3 辺から角を出し、この式に入れてみる。
$A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$ を頂点とする三角形は、3 辺がどれも $\dfrac\pi2$ で、3 つの角もどれも $\dfrac\pi2$ である（球面三角法 の最初の例、図 1）。面積は
$$
A+B+C-\pi=\frac{3\pi}2-\pi=\frac\pi2
$$
で、単位球面の表面積 $4\pi$ の $\dfrac18$ になっている。3 つの座標平面で球面が 8 つの合同な部分に分かれることとも合う。
単位球面を 3 つの座標平面で 8 等分した 1 つの球面三角形。3 辺も 3 つの角も 90 度で、面積は球面の 8 分の 1
球面三角形の半角公式 で調べた三角形である。3 辺から角を出すには、余弦定理を 3 回使う（2 つは同じ値）。
(1) $\cos A=\dfrac{\cos90^\circ-\cos60^\circ\cos60^\circ}{\sin60^\circ\sin60^\circ}=\dfrac{-\frac14}{\frac34}=-\dfrac13$ で、$A=109.471\ldots^\circ$ である。
(2) $\cos B=\dfrac{\cos60^\circ-\cos60^\circ\cos90^\circ}{\sin60^\circ\sin90^\circ}=\dfrac{\frac12}{\frac{\sqrt3}2}=\dfrac1{\sqrt3}$ で、$B=54.735\ldots^\circ$ である。$b=c$ なので $C=B$ である。
(3) 面積は
$$
A+B+C-\pi=109.471\ldots^\circ+2\times54.735\ldots^\circ-180^\circ=38.942\ldots^\circ
$$
をラジアンに直した $0.67967\ldots$ である。
この方法では、面積を出す前に角を 3 つ求めなければならない。この記事で答える問いは次の 3 つである。
- 3 辺から球面三角形の面積を直接求める式はあるか。→ thm-lhu-main
- その式は、平面の Heron の公式とどう関係するか。→ rem-lhu-small
- 地球の上の大きな三角形の面積は、どう求めるか。→ ex-lhu-earth
平面の三角形 球面三角形（単位球面） 面積 $S$ 球過量 $E=A+B+C-\pi$（＝面積） Heron の公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ L'Huilier の定理 $\tan\dfrac E4=\sqrt{\tan\dfrac s2\tan\dfrac{s-a}2\tan\dfrac{s-b}2\tan\dfrac{s-c}2}$ 証明に使う式：半角公式（三角形の半角公式） 証明に使う式：Delambre の類似式（Napierの類似式）と半角公式 小さい三角形 L'Huilier の定理が Heron の公式に近づく
言葉の準備：球過量
球面三角形 $ABC$ の内角の和から $\pi$ を引いた数
$$
E=A+B+C-\pi
$$
を、球面三角形の 球過量 という。
球面三角形の面積 の主定理により、半径 $R$ の球面の上の球面三角形の面積は $R^2E$ である。単位球面では面積そのものが $E$ になる。また、同じ記事の系「球面三角形の内角の和の範囲」により $\pi< A+B+C<3\pi$ なので
$$
0< E<2\pi,\qquad 0<\frac E4<\frac\pi2
$$
である。ex-lhu-octant では $E=\dfrac\pi2$、ex-lhu-start では $E=38.942\ldots^\circ$ である。
主定理：L'Huilier の定理
単位球面の上の球面三角形 $ABC$ の半周長を $s$、球過量を $E$ とすると
$$
\tan\frac E4=\sqrt{\tan\frac s2\,\tan\frac{s-a}2\,\tan\frac{s-b}2\,\tan\frac{s-c}2}
$$
が成り立つ。根号の中は正である。
$\dfrac s2$、$\dfrac{s-a}2$、$\dfrac{s-b}2$、$\dfrac{s-c}2$ は、球面三角形の半角公式 の系「球面三角形の辺の不等式」（$0< s-a$、$0< s-b$、$0< s-c$、$s<\pi$）により、どれも $0$ と $\dfrac\pi2$ の間にある。したがって 4 つの正接はどれも正で、根号の中は正である。定理の式は Wei26a と Wei26b に同じ形で載っている。
方針：$\dfrac E4$ を、$X=\dfrac{A+B}2$ と $Y=\dfrac\pi2-\dfrac C2$ の差の半分と見る。$\tan\dfrac{X-Y}2$ を $\sin X-\sin Y$ と $\cos X+\cos Y$ の比で書き、Napierの類似式 の主定理「Delambre の類似式」で $\sin X$、$\cos X$ を辺で書く。最後に和積の公式と半角公式で整理する。
段 1（$\dfrac E4$ を差の半分と見る）。$X=\dfrac{A+B}2$、$Y=\dfrac\pi2-\dfrac C2$ とおくと
$$
X-Y=\frac{A+B}2-\frac\pi2+\frac C2=\frac{A+B+C-\pi}2=\frac E2
$$
なので、$\dfrac E4=\dfrac{X-Y}2$ である。また $\sin Y=\cos\dfrac C2$、$\cos Y=\sin\dfrac C2$ である。
段 2（Delambre の類似式を使う）。Delambre の類似式の (D1)、(D3)
$$
\sin\frac{A+B}2=\frac{\cos\frac{a-b}2}{\cos\frac c2}\cos\frac C2,\qquad \cos\frac{A+B}2=\frac{\cos\frac{a+b}2}{\cos\frac c2}\sin\frac C2
$$
から
$$
\sin X-\sin Y=\frac{\cos\frac C2}{\cos\frac c2}\left(\cos\frac{a-b}2-\cos\frac c2\right),\qquad
\cos X+\cos Y=\frac{\sin\frac C2}{\cos\frac c2}\left(\cos\frac{a+b}2+\cos\frac c2\right)
$$
である。
段 3（和積の公式）。和積の公式 $\cos P-\cos Q=-2\sin\dfrac{P+Q}2\sin\dfrac{P-Q}2$、$\cos P+\cos Q=2\cos\dfrac{P+Q}2\cos\dfrac{P-Q}2$（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）を使う。$P=\dfrac{a-b}2$、$Q=\dfrac c2$ のとき $\dfrac{P+Q}2=\dfrac{a-b+c}4=\dfrac{s-b}2$、$\dfrac{P-Q}2=\dfrac{a-b-c}4=-\dfrac{s-a}2$ なので
$$
\cos\frac{a-b}2-\cos\frac c2=-2\sin\frac{s-b}2\sin\left(-\frac{s-a}2\right)=2\sin\frac{s-a}2\sin\frac{s-b}2
$$
である。$P=\dfrac{a+b}2$、$Q=\dfrac c2$ のとき $\dfrac{P+Q}2=\dfrac s2$、$\dfrac{P-Q}2=\dfrac{s-c}2$ なので
$$
\cos\frac{a+b}2+\cos\frac c2=2\cos\frac s2\cos\frac{s-c}2
$$
である。$\dfrac C2$、$\dfrac c2$、$\dfrac s2$、$\dfrac{s-a}2$ などはどれも $0$ と $\dfrac\pi2$ の間にあるので、段 2 の 2 つの式の右辺はどちらも正である。特に $\cos X+\cos Y>0$ である。
段 4（正接を比で書く）。和積の公式から
$$
\sin X-\sin Y=2\cos\frac{X+Y}2\sin\frac{X-Y}2,\qquad \cos X+\cos Y=2\cos\frac{X+Y}2\cos\frac{X-Y}2
$$
である。段 3 より $\cos X+\cos Y\ne0$ なので、$\cos\dfrac{X+Y}2\ne0$ かつ $\cos\dfrac{X-Y}2\ne0$ で、2 式を割ると $\cos\dfrac{X+Y}2$ が約分されて
$$
\tan\frac{X-Y}2=\frac{\sin X-\sin Y}{\cos X+\cos Y}
$$
である。段 1〜3 を代入すると、$\cos\dfrac c2$ と $2$ が約分されて
$$
\tan\frac E4=\frac{\cos\frac C2}{\sin\frac C2}\cdot\frac{\sin\frac{s-a}2\sin\frac{s-b}2}{\cos\frac s2\cos\frac{s-c}2}=\cot\frac C2\cdot\frac{\sin\frac{s-a}2\sin\frac{s-b}2}{\cos\frac s2\cos\frac{s-c}2}
$$
となる。右辺は正である。
段 5（$\cot\dfrac C2$ を辺で書く）。球面三角形の半角公式 の主定理から $\tan\dfrac C2=\sqrt{\dfrac{\sin(s-a)\sin(s-b)}{\sin s\,\sin(s-c)}}$ なので
$$
\cot^2\frac C2=\frac{\sin s\,\sin(s-c)}{\sin(s-a)\sin(s-b)}
$$
である。2 倍角の公式 $\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2$ で 4 つの正弦を書き直すと、分子と分母の $2\cdot2$ が約分されて
$$
\cot^2\frac C2=\frac{\sin\frac s2\cos\frac s2\,\sin\frac{s-c}2\cos\frac{s-c}2}{\sin\frac{s-a}2\cos\frac{s-a}2\,\sin\frac{s-b}2\cos\frac{s-b}2}
$$
である。
段 6（2 乗して整理する）。段 4 の式を 2 乗して段 5 を代入すると
$$
\tan^2\frac E4=\frac{\sin\frac s2\cos\frac s2\,\sin\frac{s-c}2\cos\frac{s-c}2}{\sin\frac{s-a}2\cos\frac{s-a}2\,\sin\frac{s-b}2\cos\frac{s-b}2}\cdot\frac{\sin^2\frac{s-a}2\,\sin^2\frac{s-b}2}{\cos^2\frac s2\,\cos^2\frac{s-c}2}
$$
である。$\cos\dfrac s2$、$\cos\dfrac{s-c}2$ は分子に 1 つ、分母に 2 つあるので 1 つずつ約分でき、$\sin\dfrac{s-a}2$、$\sin\dfrac{s-b}2$ は分子に 2 つ、分母に 1 つあるので 1 つずつ約分できる。約分すると
$$
\tan^2\frac E4=\frac{\sin\frac s2\,\sin\frac{s-a}2\,\sin\frac{s-b}2\,\sin\frac{s-c}2}{\cos\frac s2\,\cos\frac{s-a}2\,\cos\frac{s-b}2\,\cos\frac{s-c}2}=\tan\frac s2\,\tan\frac{s-a}2\,\tan\frac{s-b}2\,\tan\frac{s-c}2
$$
である。
段 7（符号）。$0<\dfrac E4<\dfrac\pi2$ なので $\tan\dfrac E4>0$ である（段 4 の右辺が正であることからも分かる）。正の平方根をとって定理の式を得る。$\square$
平面の Heron の公式は、三角形の半角公式 の系「内接円の半径と Heron の公式」で、半角公式と「$S=rs$」から導いた。球面では、面積（球過量）が角の和で決まるので、角の和の半分 $\dfrac{A+B}2$ を Delambre の類似式で辺に替えるところが鍵になる。
- ex-lhu-octant の三角形。$s=\dfrac{3\pi}4$、$s-a=s-b=s-c=\dfrac\pi4$ なので
$$ \tan^2\frac E4=\tan\frac{3\pi}8\tan^3\frac\pi8 $$
である。$\tan\dfrac{3\pi}8=\tan\left(\dfrac\pi2-\dfrac\pi8\right)=\dfrac1{\tan\frac\pi8}$ なので、右辺は $\tan^2\dfrac\pi8$ で、$\tan\dfrac E4=\tan\dfrac\pi8$、つまり $E=\dfrac\pi2$ である。ex-lhu-octant と一致する。 - ex-lhu-start の三角形。$s=105^\circ$ で、$\dfrac s2=52.5^\circ$、$\dfrac{s-a}2=7.5^\circ$、$\dfrac{s-b}2=\dfrac{s-c}2=22.5^\circ$ である。積和の公式から
$$ \tan52.5^\circ\tan7.5^\circ=\frac{\cos45^\circ-\cos60^\circ}{\cos45^\circ+\cos60^\circ}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=(\sqrt2-1)^2 $$
である（$\tan x\tan y=\dfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}$ の分子と分母を積和の公式で書き、$x-y=45^\circ$、$x+y=60^\circ$ を使った。最後は分母と分子に $\sqrt2-1$ を掛けた）。また半角の公式から $\tan22.5^\circ=\sqrt2-1$ である。よって
$$ \tan^2\frac E4=(\sqrt2-1)^2(\sqrt2-1)^2,\qquad \tan\frac E4=(\sqrt2-1)^2=\boxed{3-2\sqrt2}=0.17157\ldots $$
で、$\dfrac E4=9.7356\ldots^\circ$、$E=38.942\ldots^\circ$ である。ex-lhu-start で角を 3 つ求めて出した値と一致する。(3) 3 辺がどれも $60^\circ$ の三角形での計算を開く
$s=90^\circ$、$s-a=s-b=s-c=30^\circ$ なので、$\tan^2\dfrac E4=\tan45^\circ\tan^315^\circ=(2-\sqrt3)^3$ で、$\tan\dfrac E4=(2-\sqrt3)^{\frac32}=0.13870\ldots$、$E=0.55128\ldots$ である。球面三角法 の例「3 辺がどれも $60^\circ$ の三角形」で角から求めた $3\arccos\dfrac13-\pi=0.5512\ldots$ と一致する。
地球の上の三角形の面積
半径 $R$ の球面の上の三角形では、辺の長さ（弧の長さ）を $R$ で割った中心角を $a,b,c$ として thm-lhu-main で $E$ を求め、面積を $R^2E$ とする（$E$ はラジアン）。
地球を半径 $R=6371\ \mathrm{km}$ の球とみなし、東京（北緯 $35.68^\circ$・東経 $139.69^\circ$）、シンガポール（北緯 $1.35^\circ$・東経 $103.82^\circ$）、シドニー（南緯 $33.87^\circ$・東経 $151.21^\circ$）を頂点とする球面三角形の面積を求める（図 2）。
(1) 3 辺。球面三角法 の系「大円距離の公式」で中心角を求めると、シンガポールとシドニーの間が $a=56.712\ldots^\circ$（$6306\ \mathrm{km}$）、シドニーと東京の間が $b=70.378\ldots^\circ$（$7826\ \mathrm{km}$）、東京とシンガポールの間が $c=47.794\ldots^\circ$（$5314\ \mathrm{km}$）である。
(2) 半周長と 4 つの半分。$s=87.442\ldots^\circ$ で
$$
\frac s2=43.721\ldots^\circ,\qquad \frac{s-a}2=15.364\ldots^\circ,\qquad \frac{s-b}2=8.532\ldots^\circ,\qquad \frac{s-c}2=19.824\ldots^\circ
$$
である。
(3) L'Huilier の定理。
$$
\tan\frac E4=\sqrt{0.95633\ldots\times0.27478\ldots\times0.15002\ldots\times0.36050\ldots}=\sqrt{0.014212\ldots}=0.11921\ldots
$$
で、$\dfrac E4=6.7985\ldots^\circ$、$E=27.194\ldots^\circ=0.47463\ldots$（ラジアン）である。
(4) 面積は
$$
R^2E=6371^2\times0.47463\ldots=1.9265\ldots\times10^7\ \mathrm{km}^2
$$
である。余弦定理で 3 つの角（東京 $62.401^\circ$、シンガポール $93.046^\circ$、シドニー $51.748^\circ$）を出して Girard の定理を使っても、$E=207.194^\circ-180^\circ=27.194^\circ$ で同じ値になる。
東京、シンガポール、シドニーを頂点とする地球の上の球面三角形。面積は約 1.93 × 10 の 7 乗 平方キロメートル
3 辺から面積を求める方法を比べておく。
| 方法 | 使う式 | 正確さ | 手間 |
|---|---|---|---|
| 角を出して Girard の定理 | 余弦定理を 3 回、$E=A+B+C-\pi$ | 正確 | 余弦定理 3 回と逆余弦 3 回 |
| L'Huilier の定理 | $\tan\dfrac E4=\sqrt{\tan\frac s2\tan\frac{s-a}2\tan\frac{s-b}2\tan\frac{s-c}2}$ | 正確 | 正接 4 つと逆正接 1 回 |
| 弧の長さで平面の Heron の公式 | $S\approx\sqrt{\sigma(\sigma-\alpha)(\sigma-\beta)(\sigma-\gamma)}$ | 小さい三角形でだけ近い | 平面と同じ |
表の 3 行目の $\alpha,\beta,\gamma$ は弧の長さ、$\sigma$ はその和の半分である。ex-lhu-earth の三角形に平面の Heron の公式をそのまま使うと $1.667\times10^7\ \mathrm{km}^2$ となり、正しい値より $13.5\%$ 小さい。どれだけ小さければ平面の式で間に合うかを、次の節で調べる。
小さい三角形では Heron の公式に戻る
半径 $R$ の球面の上で、辺の長さが $\alpha,\beta,\gamma$、その和の半分が $\sigma$ の三角形を考える。中心角は $\dfrac\alpha R$ などで、半周長は $\dfrac\sigma R$ である。辺が $R$ に比べて小さいとき、$x$ が $0$ に近いときの近似 $\tan x\approx x$（関数の近似とTaylor展開）を 4 つの正接に使うと
$$
\tan\frac E4\approx\sqrt{\frac\sigma{2R}\cdot\frac{\sigma-\alpha}{2R}\cdot\frac{\sigma-\beta}{2R}\cdot\frac{\sigma-\gamma}{2R}}=\frac{\sqrt{\sigma(\sigma-\alpha)(\sigma-\beta)(\sigma-\gamma)}}{4R^2}
$$
である。$E$ も小さいので左辺は $\tan\dfrac E4\approx\dfrac E4$ で、両辺に $4R^2$ を掛けると
$$
\underbrace{R^2E}_{\text{球面三角形の面積}}\approx\underbrace{\sqrt{\sigma(\sigma-\alpha)(\sigma-\beta)(\sigma-\gamma)}}_{\text{平面の Heron の公式}}
$$
となる。L'Huilier の定理は、小さい三角形では Heron の公式に近づく。ここでは近似の形を示しただけで、誤差の大きさは評価しない。
地球（$R=6371\ \mathrm{km}$）の上で、3 辺の長さが $3h$、$4h$、$5h$（km）の三角形の面積を、L'Huilier の定理と平面の Heron の公式（直角三角形なので $6h^2$）で比べる。差の割合は、2 つの面積の差を L'Huilier の定理による面積で割ったものである。
| 3 辺（km） | L'Huilier の定理による面積（$\mathrm{km}^2$） | Heron の公式（$\mathrm{km}^2$） | 差の割合 |
|---|---|---|---|
| $3,4,5$ | $6.0000003$ | $6$ | $0.000005\%$ |
| $30,40,50$ | $600.0031$ | $600$ | $0.0005\%$ |
| $300,400,500$ | $60030.8$ | $60000$ | $0.051\%$ |
| $3000,4000,5000$ | $6326622$ | $6000000$ | $5.2\%$ |
辺を $10$ 倍にすると、差の割合はおよそ $100$ 倍になる（図 3）。数百 km までの三角形なら平面の式との差は $0.1\%$ に満たないが、大陸の大きさでは数 % の差になる。小さい球面三角形の角と面積を平面の三角形と比べる話は、Legendreの球面三角形の定理 で扱う。
地球の上の 3 辺 3h、4h、5h の三角形について、L'Huilier の定理による面積と平面の Heron の公式の差の割合を両対数で描いたグラフ。辺が 10 倍になると差の割合はおよそ 100 倍になる
例と反例
| 外す条件・誤り | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 左辺は $\tan\dfrac E4$（$\tan\dfrac E2$ ではない） | 球面を 8 等分した三角形 | 面積が正しく求まる |
| 球過量はラジアンで測って $R^2$ を掛ける | 東京・シンガポール・シドニーの三角形 | 面積が正しく求まる |
| 平面の Heron の公式は小さい三角形でだけ使う | 球面を 8 等分した三角形 | 面積が正しく求まる |
ex-lhu-main (1) では、右辺の根号の値が $\tan\dfrac\pi8$ だった。これを $\tan\dfrac E2$ と取り違えると $\dfrac E2=\dfrac\pi8$、$E=\dfrac\pi4$ となり、正しい値 $\dfrac\pi2$（球面の $\dfrac18$）の半分になってしまう。
$\dfrac E4$ になる理由は、prf-lhu-main の段 1 にある。$E$ は角の和から出るので、$\dfrac{A+B}2$ と $\dfrac C2$ から作った $X-Y$ が $\dfrac E2$ になり、その半分の正接を段 4 で求めている。
ex-lhu-earth で、$E=27.194^\circ$ を度の数のまま $R^2$ に掛けると $27.194\times6371^2=1.10\times10^9\ \mathrm{km}^2$ となる。これは地球全体の表面積 $4\pi R^2=5.10\times10^8\ \mathrm{km}^2$ より大きく、あり得ない。Girard の定理の $E$ はラジアンで測った値である（$27.194^\circ=0.4746\ldots$）。$R^2$ を掛け忘れて $0.4746$ を面積とするのも誤りで、これは半径 $1$ の球面での面積である。
球面を 8 等分した三角形の 3 辺（弧の長さ $\dfrac\pi2$）に平面の Heron の公式を使うと、$s=\dfrac{3\pi}4$、$s-a=s-b=s-c=\dfrac\pi4$ で
$$
\sqrt{\frac{3\pi}4\left(\frac\pi4\right)^3}=\frac{\sqrt3\,\pi^2}{16}=1.0684\ldots
$$
となる。正しい面積 $\dfrac\pi2=1.5707\ldots$ より $3$ 割以上小さい。rem-lhu-small の近似は、辺が半径に比べて小さいときだけのものである。
大学数学で見る
さらに先へ
- 小さい球面三角形の角を平面の三角形の角で近似するときの補正（球過量の $\dfrac13$ ずつ）は、Legendreの球面三角形の定理 で扱う。
- 3 辺が分かっている球面三角形の角は 球面三角形の半角公式 で、2 辺と間の角が分かっているときの角は Napierの類似式 で求まる。どちらでも角を出せば、Girard の定理で面積が求まる。
- 平面の三角形の 3 辺と面積の関係は Heronの公式 で、整数の辺と面積の話も含めて扱っている。
関連項目
- 前提: Napierの類似式, 球面三角形の半角公式, 球面三角形の面積, 三角形の面積の公式
- 前に読む: Napierの類似式, 球面三角形の面積, 三角形の面積の公式
- 次に読む: Legendreの球面三角形の定理
- 関連（高校数学）: 球面三角法, 球の体積と表面積, 三角形の半角公式, 関数の近似とTaylor展開
- 比較: Heronの公式
参考文献
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