明示公式(素数分布)

2：$\operatorname{Re}z\ge\frac12$ なら $\lvert z\rvert\ge\frac12$ で $\lvert1/z\rvert\le2$、また $\lvert z+n\rvert\ge n$ である。$R:=\lvert z\rvert+1$ とおく。$n\le R$ の項は $\bigl\lvert\frac1n-\frac1{z+n}\bigr\rvert\le\frac2n$ で、和は $2(1+\log R)$ 以下である。$n>R$ の項は $\frac{\lvert z\rvert}{n\lvert z+n\rvert}\le\frac{\lvert z\rvert}{n^2}$ で、$\sum_{n>R}\frac1{n^2}\le\frac1{\lfloor R\rfloor}<\frac1{\lvert z\rvert}$ だから和は $1$ 以下である。$\gamma<1$ と合わせて $2\log(\lvert z\rvert+1)+6$ 以下である。

3：$z=1$ は同じ命題にある。$z=\frac12$ では $\frac1n-\frac1{n+1/2}=2\bigl(\frac1{2n}-\frac1{2n+1}\bigr)$ で、$\log2=1-\frac12+\frac13-\cdots$ から $\sum_{n\ge1}\bigl(\frac1{2n}-\frac1{2n+1}\bigr)=1-\log2$ なので、$\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac12)=-\gamma-2+2(1-\log2)$ である。$\square$

$\sigma:=\operatorname{Re}s\ge\frac12$ とする。Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」の $\zeta(s)=\frac1{s-1}+Z(s)$ と、その証明の評価 $\lvert f_n(s)\rvert\le\lvert s\rvert n^{-\sigma-1}$ から $\lvert Z(s)\rvert\le\lvert s\rvert\sum_nn^{-3/2}\le3\lvert s\rvert$ で、$\lvert(s-1)\zeta(s)\rvert\le1+3\lvert s\rvert\lvert s-1\rvert$ である。$\lvert\pi^{-s/2}\rvert\le1$ で、$\Gamma$ の積分表示から $\lvert\Gamma(s/2)\rvert\le\Gamma(\sigma/2)$ である。$\Gamma$ は $[1,2]$ で $1$ 以下、$\Gamma(x)=\Gamma(x+1)/x$ から $[\frac14,1]$ で $4$ 以下である。また ガンマ関数 の定理「$\Gamma$ 関数の対数凸性」と $\Gamma(1)=\Gamma(2)$ から $\log\Gamma$ の傾きは $[2,\infty)$ で $0$ 以上なので、$x\ge2$ で $\Gamma(x)\le\Gamma(\lceil x\rceil)\le\lceil x\rceil^{\lceil x\rceil}\le(x+1)^{x+1}$ である。これらを掛けると $\lvert\xi(s)\rvert\le\exp(C\lvert s\rvert\log\lvert s\rvert)$（$\lvert s\rvert\ge2$）を得る。$\sigma<\frac12$ なら $\lvert1-s\rvert\le\lvert s\rvert+1$ に同じ評価を当てる。位数が $1$ 以下であることは Hadamardの因数分解定理 の定義「整関数の位数」から従う。$\square$

$s=2+iT$ を prop-ef-product の 2 に代入する。左辺は $c_1$ 以下、$\bigl\lvert\frac{\Gamma'}{\Gamma}(2+\frac{iT}2)\bigr\rvert\le2\log(T+4)+6$（lem-ef-digamma）なので、$\operatorname{Re}\sum_\rho\bigl(\frac1{s-\rho}+\frac1\rho\bigr)\le C\log T$ である。$\operatorname{Re}\frac1\rho=\frac\beta{\lvert\rho\rvert^2}\ge0$、$\operatorname{Re}\frac1{s-\rho}=\frac{2-\beta}{(2-\beta)^2+(T-\gamma)^2}\ge\frac1{4(1+(T-\gamma)^2)}$（$1\le2-\beta\le2$）なので 1 を得る。2 は、$k\le\gamma< k+1$（$1\le k< T$）の零点が $C\log(k+2)$ 個以下で $\frac1{\lvert\rho\rvert}\le\frac1k$ であることと、$\lvert\gamma\rvert<1$ の零点が有限個であること（零点は孤立し、有界な範囲にある）、$\gamma\mapsto-\gamma$ の対称性から従う。$\square$

1：$\Gamma$ の項は $\frac s2+1$、$\frac{s'}2+1$ の実部が $\frac12$ 以上なので lem-ef-digamma から $C\log T$ 以下、$\frac1{s-1}$ の項は $1$ 以下、$\bigl\lvert\frac{\zeta'}{\zeta}(s')\bigr\rvert\le c_1$ である。$\lvert\gamma-T\rvert>1$ なら $\bigl\lvert\frac1{s-\rho}-\frac1{s'-\rho}\bigr\rvert=\frac{2-\sigma}{\lvert s-\rho\rvert\lvert s'-\rho\rvert}\le\frac3{(T-\gamma)^2}\le\frac6{1+(T-\gamma)^2}$ である。

2：$K+1$ 等分した長さ $\frac1{K+1}$ の区間のうち零点の虚部を含まないものの中点を $T$ とすると、すべての $\gamma$ で $\lvert T-\gamma\rvert\ge\frac1{2(K+1)}$ である（区間の外の零点は $T_0-1$ 未満か $T_0+2$ より上で、さらに遠い）。1 の和は $K$ 項以下で各項 $\frac1{\lvert s-\rho\rvert}\le\frac1{\lvert T-\gamma\rvert}\le2(K+1)$ なので $C\log^2T_0$ 以下である。$-T$ は $\bar\rho$ の対称性で同じである。

3：$\widehat\zeta(s)=\widehat\zeta(1-s)$ の対数微分は

$$\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=\log\pi-\frac12\frac{\Gamma'}{\Gamma}\Bigl(\frac s2\Bigr)-\frac12\frac{\Gamma'}{\Gamma}\Bigl(\frac{1-s}2\Bigr)-\frac{\zeta'}{\zeta}(1-s)$$

である。$\sigma\le-1$ なら $\operatorname{Re}(1-s)\ge2$ で最後の項は $c_1$ 以下、$\operatorname{Re}\frac{1-s}2\ge1$ で 3 つ目の項は lem-ef-digamma から $C\log(\lvert s\rvert+2)$ 以下である。$\frac s2+n$ の実部が $\frac12$ 以上となる最小の整数 $n\le\frac{\lvert\sigma\rvert}2+1$ をとり、lem-ef-digamma の 1 を繰り返すと $\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac s2)=\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac s2+n)-\sum_{j=0}^{n-1}\frac1{s/2+j}$ である。$\lvert t\rvert\ge2$ なら $\lvert\frac s2+j\rvert\ge1$、$\sigma=-U$（奇数）なら $\operatorname{Re}(\frac s2+j)$ は半整数で $\lvert\frac s2+j\rvert\ge\frac12$ なので、和は $2n\le\lvert\sigma\rvert+2$ 以下である。$\square$

$\zeta(0)=-\frac12\neq0$（Riemannゼータ関数 の例「負の側の値」）なので $\zeta'/\zeta$ は $s=0$ で連続である。prf-lem-ef-bounds の 3 の式で $s\to0$ とする。lem-ef-digamma から $\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac s2)=\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac s2+1)-\frac2s=-\gamma-\frac2s+o(1)$ である。Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」の $\zeta(w)=\frac1{w-1}+Z(w)$（$Z$ は $w=1$ の近くで正則、$Z(1)=\gamma$。同記事の系「$s=1$ での展開と Euler の定数」）から $\frac{\zeta'}{\zeta}(w)=-\frac1{w-1}+\gamma+O(w-1)$ なので、$\frac{\zeta'}{\zeta}(1-s)=\frac1s+\gamma+O(s)$ である。代入すると $\frac1s$ の項は打ち消し合い、$\frac{\zeta'}{\zeta}(s)\to\log\pi+\frac\gamma2-\frac12\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac12)-\gamma=\log\pi+\log2$ である（lem-ef-digamma の 3）。$\square$

$y>1$ のときは積分路を左へ、$y<1$ のときは右へ移す。$y>1$ では、長方形 $c\pm iT$、$-V\pm iT$ に 留数定理 を使うと、$s=0$ の留数は $1$、横の 2 辺の積分は $\frac1T\int_{-\infty}^cy^\sigma\,d\sigma=\frac{y^c}{T\log y}$ 以下、左の辺は $V\to\infty$ で $0$ になるので、$\lvert I-1\rvert\le\frac{y^c}{\pi T\log y}$ である。また、$c\pm iT$ を結ぶ円 $\lvert s\rvert=\lvert c+iT\rvert$ の左側の弧と線分で囲まれた範囲は $0$ を含み、弧の上で $\lvert y^s/s\rvert\le y^c/\lvert c+iT\rvert$ なので $\lvert I-1\rvert\le y^c$ である。$y<1$ では右へ移し、極がないので同じ評価で $\lvert I\rvert$ が抑えられる。$y=1$ では $I(1,T)=\frac1\pi\arctan\frac Tc$ で、$\frac12-I(1,T)=\frac1\pi\arctan\frac cT\le\frac c{\pi T}$ である。$\square$

段 1：$n\le x/2$ または $n\ge2x$ の項は $\lvert\log(x/n)\rvert\ge\log2$ なので、和は $\frac{x^c}{\pi T\log2}\sum_n\Lambda(n)n^{-c}$ 以下で $T\to\infty$ で $0$ になる。$x/2< n<2x$ の項は有限個で、$n\neq x$ なら各項は $\frac{C_x}{T}$ 以下である。積分と和の入れ替えは、$\int_{c-iT}^{c+iT}\sum_n\Lambda(n)\lvert(x/n)^s/s\rvert\,\lvert ds\rvert\le\frac{2T}c\,x^c\sum_n\Lambda(n)n^{-c}<\infty$ による。

段 2：$T$ はどの零点の虚部とも等しくなく、$\operatorname{Re}s=-U$ は奇数なので自明な零点 $-2k$ を通らず、$\operatorname{Re}s=c>1$ に零点はない。$-\frac{\zeta'}{\zeta}$ は、重複度 $m$ の零点で留数 $-m$、$s=1$ で留数 $1$ をもつ。$\zeta(0)\neq0$ なので $s=0$ は $\frac1s$ だけによる 1 位の極で、留数は $-\frac{\zeta'}{\zeta}(0)=-\log2\pi$ である。

prf-ef-main の $R_1$、$R_2$ を $x\ge2$ で一様に評価する。$x^c=x\cdot x^{1/\log x}=ex$ であり、$c\le1+\frac1{\log2}$ である。von Mangoldt関数 の定理「$\psi$ の上下からの評価」の $\psi(t)<7t$ と Abelの級数変形法とその応用 の系「正の整数から始まる和」から $\sum_n\Lambda(n)n^{-c}=c\int_1^\infty\psi(t)t^{-c-1}\,dt\le\frac{7c}{c-1}\le21\log x$ である。$R_1$ のうち $n\le x/2$、$n\ge2x$ の部分は $\frac{ex}{\pi T\log2}\cdot21\log x$ 以下である。$x/2< n<2x$、$n\neq x$ では $(x/n)^c\le2^c\le2e$、$\Lambda(n)\le\log2x$、$\lvert\log(x/n)\rvert\ge\frac{\lvert n-x\rvert}{2x}$ で、$\lvert n-x\rvert<1$ の 2 項以下は $\min(\cdot)\le1$、残りは $\frac{2x}{\pi T\lvert n-x\rvert}$ とすると、$\lvert n-x\rvert\ge1$ の整数 $n$ についての $\sum1/\lvert n-x\rvert$ は $2(1+\log2x)$ 以下なので、この部分は $C(\log x+\frac{x\log^2x}T)$ 以下である。$n=x$ の項は $\frac{3\log x}{T}$ 以下である。$R_2$ は $\frac{C}{T}\bigl(\frac{x\log^2T}{\log x}+\log T\bigr)\le\frac{Cx\log^2T}{T}$ 以下である。$T$ を lem-ef-bounds の 2 の値に取り替える誤差は $\frac{Cx\log T}{T}$ 以下、$\psi-\psi_0$ は $\frac12\log x$ 以下、$\log2\pi+\frac12\lvert\log(1-x^{-2})\rvert$ は定数以下である。$\log^2x+\log^2T\le\log^2(xT)$ なので主張を得る。$\square$