正則スキーム

同義語：regular scheme

概要

正則スキーム（regular scheme）とは、局所 Noether なスキームで、すべての点の局所環が正則局所環（Krull 次元と極大イデアルの最小生成元数が一致する Noether 局所環）であるものをいう。体上の多様体の非特異性を基礎体を使わずに局所環で述べたもので、$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ や $\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ のように体の上にないスキームにも使える。正則スキームは正規で局所分解的であり、Noether で連結なら整で、Noether・整・分離的なら因子類群と Picard 群が一致する。体上滑らかなスキームは正則であり、完全体の上では逆も成り立つが、完全体でない体の上では正則だが滑らかでない曲線がある。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: スキーム, 局所Noetherスキーム, 正則局所環, Krull次元, 正規スキーム

正則スキーム（regular scheme）とは、局所 Noether なスキームで、すべての点の局所環が正則局所環であるものをいう。正則局所環とは、Krull 次元と極大イデアルの最小生成元数（埋め込み次元）が一致する Noether 局所環のことで、幾何学的には「点の周りで、次元と同じ個数の関数が局所座標になる」ことを表す。したがって正則スキームは、体上の多様体の非特異性を、基礎体を使わずに局所環だけで述べた概念である。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ や $\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ のように体の上にないスキームにも、そのまま使える。
正則性は強い条件で、正則スキームの局所環は整閉な一意分解整域になる。そのため正則スキームは正規で局所分解的であり、Noether・整・分離的なら Weil因子 と Cartier因子 が一致し、Noether で連結なら整スキームになる。一方、体 $k$ 上局所有限型のスキームの滑らかさは「基礎体の代数閉包まで広げても正則」という条件で、正則性より強い。$k$ が完全体ならば両者は一致するが、完全体でない体の上では、正則だが滑らかでない曲線がある。
この記事では、Noether スキームでは正則性を閉点だけで判定できることを証明し、正則スキームの基本性質と 1 次元の場合（Dedekind 整域による記述）を導く。最後に、完全体でない体の上の平面曲線 $y^2=x^p-t$ が正則だが滑らかでないことを、局所環の計算で確かめる。

定義

$X$ を局所 Noether スキーム、$x\in X$ をその点とし、$\mathcal{O}_{X,x}$ を $x$ での局所環、$\mathfrak{m}_x$ をその極大イデアル、$\kappa(x)=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ を剰余体とする。Noether 局所環では常に
$$ \dim\mathcal{O}_{X,x}\le\dim_{\kappa(x)}\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 $$
が成り立つ（正則局所環 の補題「極大根基の生成元数による次元上界」）。右辺は $x$ での Zariski接空間 $(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\vee$ の次元である。

正則スキームと正則な点

局所 Noether スキーム $X$ の点 $x$ が正則な点（regular point）であるとは、局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が正則局所環であること、すなわち
$$ \dim\mathcal{O}_{X,x}=\dim_{\kappa(x)}\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 $$
が成り立つことをいう。正則でない点を $X$ の特異点という。$X$ のすべての点が正則な点であるとき、$X$ を正則スキーム（regular scheme）という。正則な点の全体を $\operatorname{Reg}(X)$ と書く。

アフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$（$A$ は Noether 環）の点は $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ で、局所環は $A_{\mathfrak{p}}$ である。したがって $\operatorname{Spec}A$ が正則スキームであることは、$A$ が正則環（すべての素イデアルでの局所化が正則局所環である Noether 環）であることと同じである。

閉点による判定

正則性は、すべての点で確かめなくても、閉点だけで確かめれば足りる。これは「正則局所環の局所化はまた正則」という可換環論の定理による。

正則性の局所的な判定

$X$ を局所 Noether スキームとする。

  1. $X$ のアフィン開被覆 $X=\bigcup_i\operatorname{Spec}A_i$ を 1 つとる。$X$ が正則であることと、各 $i$ と $A_i$ の各極大イデアル $\mathfrak{n}$ について $(A_i)_{\mathfrak{n}}$ が正則局所環であることは同値である。
  2. $X$ が Noether スキームなら、$X$ が正則であることと、$X$ のすべての閉点が正則な点であることは同値である。
  3. 正則スキームの開部分スキームは正則スキームである。

1. 正則なら各 $(A_i)_{\mathfrak{n}}$ は点 $\mathfrak{n}\in\operatorname{Spec}A_i$ の局所環なので正則である。逆を示す。$x\in X$ を $\operatorname{Spec}A_i$ に含まれる点とし、素イデアル $\mathfrak{p}\subset A_i$ に対応するとする。$\mathfrak{p}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{n}$ をとると、$\mathcal{O}_{X,x}=(A_i)_{\mathfrak{p}}$ は局所環 $(A_i)_{\mathfrak{n}}$ のその素イデアル $\mathfrak{p}(A_i)_{\mathfrak{n}}$ での局所化に等しい。正則局所環 の定理「正則局所環の局所化は正則」により、これは正則局所環である。
2. 閉点が正則なら全体が正則であることを示せばよい。$x\in X$ をとり、$Z$ を $\{x\}$ の閉包とする。$X$ は Noether なので、$Z$ の空でない閉集合の降鎖は止まり、$Z$ の空でない閉集合で極小なもの $W$ がある。$w\in W$ の閉包は $W$ に含まれる空でない閉集合なので $W$ に等しい。$W$ の点はどれも $W$ の生成点であり、既約閉集合の生成点はただ 1 つなので（生成点）、$W=\{y\}$ は 1 点で、$y$ は $X$ の閉点である。$y\in Z$ なので、$y$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ は $x$ も含み（開集合は閉包の点を含めば元の点を含む）、$x,y$ に対応する素イデアル $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{q}$ をみたす。よって $\mathcal{O}_{X,x}=A_{\mathfrak{p}}$ は正則局所環 $\mathcal{O}_{X,y}=A_{\mathfrak{q}}$ の局所化であり、1 と同じ定理により正則である。
3. 開部分スキーム $U\subset X$ の点 $x$ での局所環は $\mathcal{O}_{X,x}$ に等しい。$\square$

2 は Liu06 Corollary 4.2.17（p. 130）にもある。2 の証明で Noether 性を使ったのは、各点の閉包が閉点を含むことを示すためである。1 ではアフィン開集合ごとに極大イデアルで確かめるが、その極大イデアルは $X$ の閉点とは限らない。たとえば離散付値環 $R$ とその商体 $K$ について、$\operatorname{Spec}R$ の開集合 $\operatorname{Spec}K$ のただ 1 つの点は、$\operatorname{Spec}K$ の中では閉だが $\operatorname{Spec}R$ の中では閉でない。

正則スキームの例
  1. 体 $k$ のスペクトル $\operatorname{Spec}k$ は $0$ 次元の正則スキームである。$0$ 次元の正則局所環は体に限るので、$0$ 次元の局所 Noether スキームが正則であることは、すべての局所環が体であることと同値である。
  2. Noether 正則環 $A$ について、多項式環 $A[x_1,\dots,x_n]$ も正則環である（Mat89 Theorem 19.5, p. 157。この記事では証明しない）。よって体 $k$ 上の $\mathbb{A}^n_k$、$\mathbb{Z}$ 上の $\mathbb{A}^n_{\mathbb{Z}}=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ は正則スキームであり、それらで覆われる $\mathbb{P}^n_k$、$\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ も正則スキームである。
  3. Dedekind整域 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ は正則スキームである。$0$ でない素イデアルでの局所化は離散付値環で（Dedekind整域 の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」）、正則局所環 の命題「1 次元正則局所環は離散付値環」により正則であり、零イデアルでの局所化は商体だからである。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$、代数体の整数環のスペクトル、滑らかな曲線のアフィン開集合がこの例である。

正則スキームの基本性質

正則局所環が整閉な一意分解整域であることから、正則スキームについて次のことが従う。

正則スキームの基本性質

$X$ を正則スキームとする。

  1. $X$ は正規スキームであり、とくに被約スキームである。
  2. $X$ のすべての局所環は一意分解整域である。すなわち $X$ は局所分解的スキームである。したがって $X$ が Noether で整かつ分離的なら、Weil 因子と Cartier 因子は同じものになり、因子類群と Picard 群は同型である：$\operatorname{Cl}(X)\cong\operatorname{Pic}(X)$。
  3. $\dim\mathcal{O}_{X,x}=1$ となる点 $x$ では $\mathcal{O}_{X,x}$ は離散付値環であり、$\dim\mathcal{O}_{X,x}=0$ となる点では体である。
  4. $X$ が Noether なら、$X$ は有限個の正則な整スキームの非交和である。とくに連結な Noether 正則スキームは整スキームである。

1. 正則局所環 の命題「正則局所環は正規」により、各局所環は整閉整域である。これは正規スキームの定義そのものである（正規スキーム の定義「正規スキーム」）。被約性は同記事の命題「正規スキームは被約」による。
2. 一意分解性は 正則局所環 の定理「正則局所環は一意分解整域（Auslander–Buchsbaum）」による（この記事では証明しない）。後半は Weil因子 の定理「Cartier因子とWeil因子」の 3 と 4 による。そこでの条件 $(*)$（Noether・整・分離的・余次元 $1$ で正則）は、この定理の 3 により満たされる。
3. $1$ 次元は 正則局所環 の命題「1 次元正則局所環は離散付値環」による。$0$ 次元の正則局所環 $(A,\mathfrak{m})$ では $\dim\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=0$ なので、Nakayamaの補題 により $\mathfrak{m}=0$ であり、$A$ は体である。
4. 1 により $X$ は Noether 正規スキームなので、正規スキーム の命題「Noether 正規スキームの成分」により、有限個の正規な整スキームの非交和である。各成分は $X$ の開部分スキームなので、prop-regsch-local-criterion の 3 により正則である。$X$ が連結なら成分は 1 つで、$X$ 自身が整である。$\square$

4 は「異なる既約成分は交わらない」と言っても同じである。2 つの既約成分が点 $x$ で交われば、局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ は 2 つの極小素イデアルをもち整域でなくなるが、正則局所環は整域だからである。たとえば 2 直線の和 $xy=0$ は原点で正則でない（正則局所環 の例「反例：2 直線の交わる点の局所環」）。
2 の局所分解性は正則性より弱い。2 次元以上では、正規だが局所分解的でないスキームがあり（下の反例の表の 1 行目）、局所分解的だが正則でないスキームもある（局所分解的スキーム の例「正則でない局所分解的スキーム」）。

1 次元の正則スキーム

$1$ 次元では、正則性は正規性と同じであり、アフィン開集合の座標環は Dedekind 整域になる。

1 次元の正則スキームと Dedekind 整域

$X$ を連結な Noether スキームで、$\dim X\le1$ とする。次は同値である。

  1. $X$ は正則である。
  2. $X$ は正規である。
  3. $X$ は整スキームで、任意の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A\subset X$ について $A$ は Dedekind 整域（体を含める）である。

1 ⇒ 2 は thm-regsch-basic の 1 である。
2 ⇒ 3. 正規スキーム の命題「Noether 正規スキームの成分」により、連結な $X$ は整である。$\operatorname{Spec}A\subset X$ を空でないアフィン開集合とすると、$A$ は Noether 整域で、各素イデアルでの局所化は整閉なので $A$ は整閉である（整閉性は局所的な性質：正規スキーム の定理「アフィン局所判定」）。$\dim A\le\dim X\le1$ である。$A$ が体なら、$0$ でないイデアルは $A$ 自身（空の積）だけなので、定義により Dedekind 整域である。体でなければ $\dim A=1$ なので、Dedekind整域 の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」により $A$ は Dedekind 整域である。
3 ⇒ 1. 点 $x$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応するとする。$\mathfrak{p}=0$ なら $\mathcal{O}_{X,x}$ は $A$ の商体で、$0$ 次元の正則局所環である。$\mathfrak{p}\ne0$ なら $A_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環で（同じ定理）、正則局所環 の命題「1 次元正則局所環は離散付値環」により正則である。$\square$

1 と 3 の同値は Liu06 Example 4.2.9（p. 128）にも述べられている。連結性を外すと、$X$ は有限個の整スキームの非交和になるだけで、整とは限らない（$\operatorname{Spec}(k\times k)$ は $2$ 点からなる $0$ 次元の正則スキームである）。2 次元以上では 2 ⇒ 1 が成り立たない。2 次錐 $xy=z^2$ は正規だが頂点で正則でない（2次錐 の定理「2次錐の構造」）。

体上の滑らかさとの関係

体 $k$ 上局所有限型のスキーム $X$ が $k$ 上滑らかであるとは、平坦性などに加えて、$X$ を $k$ の代数閉包 $\bar k$ に底変換した $X_{\bar k}=X\times_k\operatorname{Spec}\bar k$ のすべての点が正則な点であることをいう（滑らかな射 の定義「ファイバーによる定義」）。次が成り立つ（正則局所環 の定理「完全体上の正則性と滑らかさ」。Liu06 Corollary 4.3.32 と Corollary 4.3.33, p. 142。この記事では証明しない）。

  • $X$ が $k$ 上滑らかなら、$X$ は正則スキームである。
  • $k$ が完全体なら逆も成り立ち、$X$ が $k$ 上滑らかであることと $X$ が正則であることは同値である。
    したがって、代数閉体や標数 $0$ の体の上の「非特異多様体」は正則スキームと同じものである。完全体でない体では、正則性は底変換で保たれないことがある。次の例は、平面曲線でこのことを示す。
正則だが滑らかでない平面曲線

$p$ を奇素数、$k=\mathbb{F}_p(t)$（$t$ は不定元）とし、
$$ f=y^2-x^p+t\in k[x,y],\qquad X=\operatorname{Spec}A,\quad A=k[x,y]/(f) $$
とおく。$g:=x^p-t\in k[x]$ とすると $f=y^2-g$ である。$X$ は正則スキームだが、$k$ 上滑らかでない。
$f$ は既約。 $f$ は $k[x]$ 上の $y$ のモニックな $2$ 次式なので、可約なら $g$ が $k(x)$ の、したがって一意分解整域 $k[x]$ の平方になる。$g$ の次数 $p$ は奇数なのでそうではない。よって $A$ は整域で、$X$ は 1 次元の整スキームである。
$X$ は正則。 prop-regsch-local-criterion の 1 により、$f$ を含む $k[x,y]$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ ごとに $A_{\mathfrak{n}}$ が正則なことを示せばよい。$R:=k[x,y]_{\mathfrak{n}}$ は正則局所環で（ex-regsch-examples の 2）、$A_{\mathfrak{n}}=R/(f)$ である。$f$ の像が $\mathfrak{n}R/\mathfrak{n}^2R$ で $0$ でないこと、すなわち $f\notin\mathfrak{n}^2R$ を示せば、正則局所環 の補題「正則パラメータ系の一部による商」により $R/(f)$ は正則局所環になる。

  • $y\in\mathfrak{n}$ の場合：$g=y^2-f\in\mathfrak{n}$ である。$g=x^p-t$ は $k[x]$ で既約である（$\mathbb{F}_p[t][x]$ で素元 $t$ についての Eisenstein の判定法により既約で、Gauss の補題により $k[x]=\mathbb{F}_p(t)[x]$ でも既約）。よって $k[x,y]/(g,y)\cong k[x]/(g)$ は体で、$\mathfrak{n}=(g,y)$ である。$R$ の素イデアルの鎖 $0\subsetneq(y)\subsetneq\mathfrak{n}R$ があるので $\dim R\ge2$ であり、$R$ は正則なので $\dim\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=\dim R\ge2$ である。この空間は $\bar g,\bar y$ で張られるので、$\bar g,\bar y$ は基底であり、とくに $\bar g\ne0$ である。$y^2\in\mathfrak{n}^2$ なので $f=y^2-g$ の像は $-\bar g\ne0$ であり、$f\notin\mathfrak{n}^2R$ である。
  • $y\notin\mathfrak{n}$ の場合：$p\ne2$ なので $\partial f/\partial y=2y$ は $R$ の単元である。$k$ 上の導分 $\partial/\partial y$ は $R$ に延び、$\partial(ab)=a\,\partial b+b\,\partial a$ から $\partial(\mathfrak{n}^2R)\subset\mathfrak{n}R$ をみたす。$f\in\mathfrak{n}^2R$ なら $2y\in\mathfrak{n}R$ となって矛盾する。

$X$ は滑らかでない。 $\bar k$ で $s:=t^{1/p}$ をとると $g=(x-s)^p$ なので、$X_{\bar k}=\operatorname{Spec}\bar k[x,y]/(y^2-(x-s)^p)$ である。極大イデアル $\mathfrak{n}'=(x-s,y)$ での局所環 $R'$ は正則局所環で、素イデアルの鎖 $0\subsetneq(y)\subsetneq\mathfrak{n}'R'$ と、$\mathfrak{n}'R'$ が $2$ 元で生成されることから $\dim R'=2$ である。$f'=y^2-(x-s)^p$ は $p\ge3$ により $\mathfrak{n}'^2R'$ に入る。$R'$ は整域（正則局所環 の命題「正則局所環は整域」）で $f'\ne0$ なので、同記事の定理「正則元による商の次元」により $\dim R'/(f')=1$ だが、その余接空間は $\mathfrak{n}'/(\mathfrak{n}'^2+(f'))=\mathfrak{n}'/\mathfrak{n}'^2$ で $2$ 次元である。よって $X_{\bar k}$ は点 $(s,0)$ で正則でなく、$X$ は $k$ 上滑らかでない。

$X$ の点 $\mathfrak{n}=(g,y)$ の剰余体は $k[x]/(x^p-t)=k(t^{1/p})$ で、$k$ 上非分離である。$\bar k$ に広げるとこの点の剰余体が「つぶれ」、曲線 $y^2=(x-s)^p$ の尖点（$p=3$ なら通常の尖点 $y^2=x^3$ の平行移動）が現れる。

剰余体が非分離な点だけをもつ例

同じ $k=\mathbb{F}_p(t)$ と $L=k[u]/(u^p-t)$ について、$\operatorname{Spec}L$ は $0$ 次元の正則スキームだが $k$ 上滑らかでない（滑らかな射 の例「反例：純非分離拡大」、正則局所環 の例「反例：正則だが滑らかでない例」）。ex-regsch-not-smooth は、この現象が 1 次元の曲線の閉点でも起こることを示している。

正則な点の集合

$X$ が体上局所有限型なら、$\operatorname{Reg}(X)$ は $X$ の開集合である（アフィンの場合が Mat89 Theorem 30.5 の Corollary, p. 237。この記事では証明しない）。たとえば尖点のある曲線 $y^2=x^3$ では $\operatorname{Reg}(X)$ は原点を除いた開集合である（正則局所環 の例「反例：尖点の局所環」）。一般の局所 Noether スキームで $\operatorname{Reg}(X)$ が開になるかどうかは環の条件（J-1 条件）であり、優秀環 はこの条件を有限型の代数まで含めて要求する。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件反例成り立たなくなること
正則（正規に弱める）2 次錐 $xy=z^2$局所分解的であること（$\operatorname{Cl}\ne\operatorname{Pic}$）
連結$\operatorname{Spec}(k\times k)$Noether 正則スキームが整であること
Noether$\bigsqcup_{n\in\mathbb{N}}\operatorname{Spec}k$（局所 Noether）有限個の整スキームの非交和であること
基礎体が完全体ex-regsch-not-smooth正則なら滑らかであること
各行の確認を開く

1 行目：2 次錐は正規な整スキームで（2次錐 の定理「2次錐の構造」）、因子類群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、Picard 群は $0$ である（同記事の定理「2次錐の因子類群」と命題「Cartier でない母線と自明な Picard 群」）。正則を正規に弱めると thm-regsch-basic の 2 が崩れる。

2 行目：$k\times k$ の素イデアルは $k\times0$ と $0\times k$ で、局所環はどちらも $k$ なので正則だが、$\operatorname{Spec}(k\times k)$ は 2 点の離散空間で既約でない。

3 行目：体 $k$ の無限個のコピーの非交和 $\bigsqcup_{n\in\mathbb{N}}\operatorname{Spec}k$ は、各点の局所環が $k$ なので局所 Noether な正則スキームである。しかし連結成分が無限個あるので準コンパクトでなく（Noether でなく）、有限個の整スキームの非交和でもない。局所 Noether 性まで外すと、正則環 の例「反例：局所環がすべて体でもネーターでない環」の $\operatorname{Spec}\prod_{\mathbb{N}}\mathbb{F}_2$ のように、局所環はすべて体だが定義上は正則スキームでないものになる。

4 行目：ex-regsch-not-smooth で確かめた。

補足

  • 正則局所環は Gorenstein環 である（Mat89 §19 の冒頭, p. 156 が Theorem 18.1 から導く）。したがって正則スキームの局所環はすべて Gorenstein 環であり、Cousin複体 は構造層の入射分解を与える。
  • Noether 環上準射影的な正則スキームでは、連接層は有限階数の局所自由層による有限の分解をもち、局所自由層の Grothendieck 群と連接層の Grothendieck 群が一致する（Grothendieck群）。これは正則局所環の大域次元が有限であること（正則局所環 の定理「大域次元による特徴づけ（Serre、Auslander–Buchsbaum–Serre）」）の大域版である。
  • 特異点をもつスキームを正則スキームで置き換える操作が 特異点解消 である。

関連項目

参考文献

[1]
Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989, §19 冒頭（p. 156、正則局所環は Gorenstein）、Theorem 19.5（p. 157、正則環上の多項式環は正則）、Theorem 30.5 の Corollary（p. 237、体上有限生成な代数の正則点の集合は開）
[2]
Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2006, Definition 4.2.8 と Example 4.2.9（p. 128、正則スキームと 1 次元の場合）、Corollary 4.2.17（p. 130、閉点での判定）、Corollary 4.3.32・4.3.33（p. 142、滑らかなら正則、完全体上の同値）

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