加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く

加法定理 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ で $\alpha=45^\circ$、$\beta=30^\circ$ とすると
$$ \sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} $$
である。加法定理 $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ で $\alpha=45^\circ$、$\beta=30^\circ$ とすると
$$ \cos15^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} $$
である。2 つの値が等しいのは、$75^\circ=90^\circ-15^\circ$ だからである（prop-tfat-basic の (3)）。

加法定理 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ で $\beta=\alpha=\theta$ とすると
$$ \cos2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta $$
となる。2 倍角の公式は「覚える公式」ではなく、加法定理に同じ角を入れた結果である。たとえば $\theta=30^\circ$ なら、右辺は $\frac34-\frac14=\frac12$ で、左辺 $\cos60^\circ=\frac12$ と一致する。

• $\theta=\frac\pi3$（$60^\circ$）：$P(\frac\pi3)$ は、正三角形を半分にした直角三角形（辺の比 $1:\sqrt3:2$）の頂点なので、$P(\frac\pi3)=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ である。よって $\cos\frac\pi3=\frac12$、$\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2$、$\tan\frac\pi3=\sqrt3$。
• $\theta=\frac{3\pi}4$（$135^\circ$）：$P(\frac{3\pi}4)$ は第 2 象限にあり、直線 $y=-x$ 上の点なので、$P(\frac{3\pi}4)=\left(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)$ である。よって $\cos\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2$、$\tan\frac{3\pi}4=-1$。
• 辺の長さが $3,4,5$ の直角三角形で、長さ $4$ の辺と長さ $5$ の辺がはさむ角を $\theta$ とすると、$\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ である。点 $\left(\frac45,\frac35\right)$ は $\left(\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16+9}{25}=1$ を満たし、単位円上にある。

• $\theta=\frac\pi6$（$30^\circ$）：$\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2$、$\sin\frac\pi6=\frac12$ である。(1) は $\frac34+\frac14=1$。(3) により $\sin\frac\pi3=\sin\left(\frac\pi2-\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2$ で、ex-tfat-points の値と一致する。(4) により $\cos\frac{5\pi}6=-\cos\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}2$。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ の角 $\theta$：(2) により $P(-\theta)=\left(\frac45,-\frac35\right)$、(3) により $P(\frac\pi2-\theta)=\left(\frac35,\frac45\right)$、(4) により $P(\pi-\theta)=\left(-\frac45,\frac35\right)$ である。3 つの点はどれも、座標の 2 乗の和が $\frac{16}{25}+\frac9{25}=1$ になる。

• (A1) で $\alpha=\frac\pi3$、$\beta=\frac\pi4$ とすると、$\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$（$15^\circ$）なので
  $$ \cos\frac\pi{12}=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2+\sqrt6}4 $$
  である。ex-tfat-75 で $\alpha=45^\circ$、$\beta=30^\circ$ から求めた値と一致する。
• (A3) で $\alpha=\frac\pi3$、$\beta=\frac\pi4$ とすると、$\frac\pi3+\frac\pi4=\frac{7\pi}{12}$（$105^\circ$）なので
  $$ \sin\frac{7\pi}{12}=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4+\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4 $$
  である。$\sin105^\circ=\sin(180^\circ-75^\circ)=\sin75^\circ$（prop-tfat-basic の (4)）なので、ex-tfat-75 の $\sin75^\circ$ と同じ値になるはずで、実際そうなっている。

(A3) で $\beta=\frac\pi2$ とすると、$P(\frac\pi2)=(0,1)$（rem-tfat-from-def の 3）より $\cos\frac\pi2=0$、$\sin\frac\pi2=1$ なので
$$ \sin\left(\alpha+\tfrac\pi2\right)=\sin\alpha\cdot0+\cos\alpha\cdot1=\cos\alpha $$
である。(A2) で $\beta=\frac\pi2$ とすると $\cos\left(\alpha+\frac\pi2\right)=\cos\alpha\cdot0-\sin\alpha\cdot1=-\sin\alpha$ である。さらに (A2)・(A3) で $\beta=\pi$（rem-tfat-from-def の 2 より $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$）とすると $\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha$、$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$ となる。「$\frac\pi2$ ずらす」「$\pi$ ずらす」公式は、どれも加法定理に特別な角を入れたものである。

• $\theta=\frac\pi6$：$\sin\frac\pi3=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}2$、$\cos\frac\pi3=2\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2-1=\frac32-1=\frac12$ で、ex-tfat-points の値と一致する。
• $\sin\theta=\frac13$ のとき、$\cos2\theta=1-2\cdot\left(\frac13\right)^2=1-\frac29=\frac79$ である。$\cos\theta$ の値（符号が $\theta$ によって決まる）を求めなくても計算できるのが、$1-2\sin^2\theta$ の形の利点である。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ のとき、$\sin2\theta=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}$、$\cos2\theta=\frac{16}{25}-\frac9{25}=\frac7{25}$ である。$\left(\frac7{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=1$ となり、$P(2\theta)$ も単位円上にある。$7^2+24^2=25^2$ なので、辺の長さが $7,24,25$ の直角三角形ができる。辺の長さが整数の直角三角形（ピタゴラス数）と、単位円上の座標が有理数の点との関係は、ピタゴラス数と円の有理点 で扱う。この角を使って公式を確かめる方法は 三角関数の公式を確かめる方法 で詳しく扱う。

• $\cos\frac\pi8$（$22.5^\circ$）：$\cos^2\frac\pi8=\frac{1+\cos\frac\pi4}2=\frac{1+\frac{\sqrt2}2}2=\frac{2+\sqrt2}4$ である。$\frac\pi8$ は第 1 象限の角なので $\cos\frac\pi8>0$ であり、$\cos\frac\pi8=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ である。
• $\sin\frac\pi{12}$（$15^\circ$）：$\sin^2\frac\pi{12}=\frac{1-\cos\frac\pi6}2=\frac{2-\sqrt3}4$ で、$\sin\frac\pi{12}>0$ なので $\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}2$ である。一方、(A4) で $\alpha=\frac\pi4$、$\beta=\frac\pi6$ とすると $\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ である。2 つが等しいことは、$\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\right)^2=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{8-4\sqrt3}{16}=\frac{2-\sqrt3}4$ で確かめられる。
• 次数下げの公式を積分に使う：$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2=\frac12+\frac12\cos2\theta$ なので
  $$ \int\cos^2\theta\,d\theta=\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}4+C\qquad(C\text{ は積分定数}) $$
  である。たとえば $\int_0^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\frac\pi2+\frac{\sin2\pi}4-0=\frac\pi2$ である。

「$\cos\frac\theta2=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}2}$」は、すべての $\theta$ では成り立たない。$\theta=\frac{4\pi}3$ とすると、$\cos\frac{4\pi}3=-\frac12$ なので右辺は $\sqrt{\frac{1-\frac12}2}=\sqrt{\frac14}=\frac12$ である。一方、左辺は $\cos\frac{2\pi}3=-\frac12$ である。$\frac{2\pi}3$ が第 2 象限の角で余弦が負なので、正しくは $\cos\frac{2\pi}3=-\sqrt{\frac{1+\cos\frac{4\pi}3}2}$ である。成り立つのは 2 乗の等式 $\cos^2\frac\theta2=\frac{1+\cos\theta}2$ であり、平方根をとる操作は符号の情報を失う。

• $\theta=\frac\pi6$：$\sin\frac\pi2=3\cdot\frac12-4\cdot\frac18=\frac32-\frac12=1$ で、正しい値 $1$ と一致する。$\cos\frac\pi2=4\cdot\frac{3\sqrt3}8-3\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2-\frac{3\sqrt3}2=0$ も一致する。
• $\cos\theta=\frac45$、$\sin\theta=\frac35$ のとき、$\cos3\theta=4\cdot\frac{64}{125}-3\cdot\frac45=\frac{256}{125}-\frac{300}{125}=-\frac{44}{125}$、$\sin3\theta=3\cdot\frac35-4\cdot\frac{27}{125}=\frac{225}{125}-\frac{108}{125}=\frac{117}{125}$ である。$44^2+117^2=1936+13689=15625=125^2$ なので、$P(3\theta)$ も単位円上にある。
• $\theta=\frac\pi9$（$20^\circ$）：$3\theta=\frac\pi3$ なので、$c=\cos\frac\pi9$ とおくと $\frac12=4c^3-3c$ である。両辺を $2$ 倍して移項すると
  $$ 8c^3-6c-1=0 $$
  となり、$\cos20^\circ$ は 3 次方程式 $8x^3-6x-1=0$ の解である。さらに $t=2x$ とおくと $8x^3=t^3$、$6x=3t$ なので、この方程式は $t^3-3t-1=0$ になる。この 3 次方程式は 3 つの実数の解をもつのに、解の公式で解こうとすると途中で虚数を通ることが知られている。そのことは 複素数と方程式：代数学の基本定理 で扱う。

• $\alpha=\beta=\frac\pi2$ とすると、$\sin(\alpha+\beta)=\sin\pi=0$ だが $\sin\alpha+\sin\beta=1+1=2$ である。$\sin(\alpha+\beta)$ を正しく計算するには、(A3) のように $\cos\alpha$、$\cos\beta$ も必要である。
• $\theta=0$ とすると、$\cos2\theta=\cos0=1$ だが $2\cos\theta=2$ である。正しくは $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$（cor-tfat-double）で、$\theta=0$ で $2-1=1$ となる。