Lagrangeの四平方定理

主張の等式は、両辺とも $a_1,\dots,a_4,b_1,\dots,b_4$ の整数係数の多項式である。したがって、整数の多項式環 $\mathbb{Z}[a_1,\dots,a_4,b_1,\dots,b_4]$（整域なので $2$ は零因子でなく、$2X=0$ なら $X=0$ が使える）でこの等式が成り立つことを示せば、それは形式的な多項式の等号なので、$a_1,\dots,b_4$ に任意の可換環の元を代入しても等式は保たれる。そこで以下では係数を整数とみなして証明し、$2$ で割る操作（$2X=0$ から $X=0$ を導く操作を含む）を整数の範囲で用いる。
$D_{ik}:=a_ib_k-a_kb_i$ とおく。$D_{ki}=-D_{ik}$、$D_{ii}=0$ である。定義から
$$ z_2=D_{12}+D_{34},\qquad z_3=D_{13}+D_{42},\qquad z_4=D_{14}+D_{23} $$
である。
まず
$$ \Bigl(\sum_ia_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_kb_k^2\Bigr)-\Bigl(\sum_ia_ib_i\Bigr)^2=\sum_{i,k}a_i^2b_k^2-\sum_{i,k}a_ib_ia_kb_k=\frac12\sum_{i,k}(a_ib_k-a_kb_i)^2=\sum_{i< k}D_{ik}^2 $$
である（2 番目の等号は右辺の平方を展開して $i,k$ を入れ替えた和と比べればよい）。左辺の第 2 項は $z_1^2$ なので、$z_2^2+z_3^2+z_4^2=\sum_{i< k}D_{ik}^2$ を示せばよい。上の表示から
$$ z_2^2+z_3^2+z_4^2=\sum_{i< k}D_{ik}^2+2\bigl(D_{12}D_{34}+D_{13}D_{42}+D_{14}D_{23}\bigr) $$
である。括弧内は $D_{12}D_{34}-D_{13}D_{24}+D_{14}D_{23}$ に等しく、これは行が $(a_1,\dots,a_4)$、$(b_1,\dots,b_4)$、$(a_1,\dots,a_4)$、$(b_1,\dots,b_4)$ である 4 次正方行列の行列式を、上の 2 行について Laplace 展開したものの半分である。この行列は同じ行を 2 つもつので行列式は $0$ であり、括弧内は $0$ である。
この恒等式は、四元数 $\alpha=a_1+a_2\mathbf{i}+a_3\mathbf{j}+a_4\mathbf{k}$ のノルム $N(\alpha)=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2$ が乗法的であることを成分で書いたものでもある（四元数。$z_i$ の符号の付け方は、どの積を考えるかで変わる）。

$0\leq x_1< x_2\leq(p-1)/2$ なら $x_1^2\not\equiv x_2^2\pmod p$ である。実際 $x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$ で、$0< x_2-x_1< p$、$0< x_2+x_1< p$ なので、素数 $p$ はどちらの因子も割り切らない（素数の記事の補題「Euclidの補題」）。よって $A:=\{x^2\bmod p\mid 0\leq x\leq(p-1)/2\}$ は $(p+1)/2$ 個の相異なる剰余からなり、同様に $B:=\{(-1-y^2)\bmod p\mid 0\leq y\leq(p-1)/2\}$ も $(p+1)/2$ 個の相異なる剰余からなる。$A$ と $B$ の元の個数の和は $p+1$ で、剰余は $p$ 通りしかないので、鳩の巣原理により $A$ と $B$ は共通の剰余をもつ。すなわち $x^2\equiv-1-y^2\pmod p$ となる $x,y$ がある。
$m=(x^2+y^2+1)/p$ は正の整数で、
$$ mp=x^2+y^2+1\leq2\left(\frac{p-1}{2}\right)^2+1< p^2 $$
より $m< p$ である。

$mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ とする。
$m$ が偶数の場合：左辺が偶数なので、$x_i$ のうち奇数のものは偶数個である。番号を付け替えて $x_1\equiv x_2$、$x_3\equiv x_4\pmod2$ とできる。すると
$$ \frac m2p=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3-x_4}{2}\right)^2 $$
であり、右辺の括弧内はどれも整数である（右辺を展開すれば $\frac12(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)$ になる）。$r:=m/2$ とすればよい。
$m$ が奇数の場合（$m\geq3$）：各 $i$ について $y_i\equiv x_i\pmod m$ かつ $|y_i|\leq(m-1)/2$ を満たす整数 $y_i$ をとる（$m$ が奇数なので $-(m-1)/2,\dots,(m-1)/2$ は法 $m$ の剰余を代表する）。すると
$$ y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=mp\equiv0\pmod m $$
なので $y_1^2+\dots+y_4^2=rm$ となる整数 $r\geq0$ があり、$rm\leq4\left(\frac{m-1}{2}\right)^2< m^2$ より $r< m$ である。$r=0$ なら $y_i$ はすべて $0$ で、各 $x_i$ が $m$ で割り切れるので $m^2\mid mp$、すなわち $m\mid p$ となり、$1< m< p$ と $p$ が素数であることに反する。よって $1\leq r< m$ である。
prop-lagrange-four-sq-euler-identity を $a_i=x_i$、$b_i=y_i$ に適用すると
$$ (mp)(rm)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 $$
である。法 $m$ で $y_i\equiv x_i$ だから
$$ z_1\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\equiv0,\qquad z_2\equiv x_1x_2-x_2x_1+x_3x_4-x_4x_3=0\pmod m $$
であり、同様に $z_3\equiv z_4\equiv0\pmod m$ である。$z_i=mw_i$（$w_i\in\mathbb{Z}$）と書いて両辺を $m^2$ で割ると $rp=w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2$ を得る。

$0=0^2+0^2+0^2+0^2$、$1=1^2+0^2+0^2+0^2$、$2=1^2+1^2+0^2+0^2$ である。
$p$ を奇素数とする。lem-lagrange-four-sq-congruence により、$mp=x^2+y^2+1^2+0^2$ となる $1\leq m< p$ がある。そこで、$mp$ が 4 つの平方数の和となる正の整数 $m$ のうち最小のものを $m_0$ とすると $m_0< p$ である。$m_0>1$ なら lem-lagrange-four-sq-descent によりさらに小さい $r$ がとれて最小性に反するので、$m_0=1$ であり、$p$ は 4 つの平方数の和である。
$n\geq2$ は素数の積なので（素因数分解）、prop-lagrange-four-sq-euler-identity を繰り返し使えば、$n$ も 4 つの平方数の和である。

$a$ に関する帰納法で示す。$a=0$ の場合は ex-lagrange-four-sq-seven と同じく、3 つの平方数の和の法 $8$ での余りに $7$ が現れないことから従う。$a\geq1$ とし、$4^a(8b+7)=x^2+y^2+z^2$ と仮定する。左辺は $4$ で割り切れる。平方数の法 $4$ での余りは $0$（偶数の平方）か $1$（奇数の平方）なので、3 つの和が $4$ の倍数になるのは $x,y,z$ がすべて偶数のときに限る。すると $4^{a-1}(8b+7)=(x/2)^2+(y/2)^2+(z/2)^2$ となり、帰納法の仮定に反する。