Liouville関数

1：$m,n$ の素因数分解を掛け合わせると $mn$ の素因数分解になり、同じ素数の指数は足し合わされるので $\Omega(mn)=\Omega(m)+\Omega(n)$ である。よって $\lambda(mn)=(-1)^{\Omega(m)+\Omega(n)}=\lambda(m)\lambda(n)$ である。素数 $p$ では $\Omega(p)=1$ なので $\lambda(p)=-1$ である。完全乗法的関数 $f$（$f(1)=1$）は素因数分解 $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ により $f(n)=f(p_1)^{e_1}\cdots f(p_r)^{e_r}$ と素数での値で決まるので、すべての素数で $-1$ をとるものは $(-1)^{e_1+\cdots+e_r}=\lambda(n)$ に限る。
2：$n=\prod_ip_i^{e_i}$ とし、$e_i=2c_i+\varepsilon_i$（$\varepsilon_i\in\{0,1\}$）と書く。$a:=\prod_ip_i^{c_i}$、$b:=\prod_ip_i^{\varepsilon_i}$ とおくと $n=a^2b$ で、$b$ は平方因子をもたない。逆に $n=a^2b$（$b$ は平方因子をもたない）なら、各素数 $p_i$ について $b$ の中の $p_i$ の指数は $0$ か $1$ で、$e_i$ との差が偶数でなければならないから $e_i$ を $2$ で割った余り $\varepsilon_i$ に等しい。よって $b$ が決まり、$a^2=n/b$ から $a$ も決まる。1 により $\lambda(n)=\lambda(a)^2\lambda(b)=\lambda(b)$ である。$b$ は相異なる $k$ 個の素数の積なので $\lambda(b)=(-1)^k=\mu(b)$ である（Möbius関数 の記事の定義「Möbius関数の定義」）。$\square$

1 つ目：$\lambda*\mathbf 1=q$ の両辺に $\mu$ を Dirichlet 積で掛けると、$\mathbf 1*\mu=\varepsilon$（Möbius関数 の記事の定理「約数にわたる和」）と、Dirichlet 積が可換かつ結合的であること（同記事の命題「Dirichlet積の基本性質」）から $\lambda=\lambda*\varepsilon=\lambda*\mathbf 1*\mu=q*\mu$ である。
2 つ目：$q$ も $g$ も平方数の上でしか $0$ でないので、$(q*g)(n)=\sum_{ab=n}q(a)g(b)$ に寄与するのは $a=u^2$、$b=v^2$ と書ける組だけで、そのとき $n=(uv)^2$ である。したがって $n$ が平方数でなければ $(q*g)(n)=0$ である。$n=k^2$ なら、$u^2v^2=k^2$ は $uv=k$ と同値なので
$$ (q*g)(k^2)=\sum_{uv=k}q(u^2)\,\mu(v)=\sum_{v\mid k}\mu(v) $$
であり、これは Möbius関数 の記事の定理「約数にわたる和」により $k=1$ のとき $1$、$k\ge2$ のとき $0$ である。よって $q*g=\varepsilon$ である。
3 つ目：1 つ目と 2 つ目から $\lambda*g=\mu*q*g=\mu*\varepsilon=\mu$ である。
値の式は、$(\mu*q)(n)=\sum_{ab=n}\mu(a)q(b)$ で $q(b)\ne0$ となる $b=m^2$ だけを残したもの、$(\lambda*g)(n)$ で $g(b)\ne0$ となる $b=m^2$ だけを残したものである。$\square$

$x$ 以下の正の整数 $k$ について $\sum_{n\mid k}\lambda(n)=q(k)$ を足し合わせると
$$ \sum_{k\le x}\sum_{n\mid k}\lambda(n)=\sum_{k\le x}q(k) $$
である。右辺は $x$ 以下の平方数 $1,4,9,\dots$ の個数で、$m^2\le x$ となる正の整数 $m$ は $m\le\sqrt x$ を満たすものだから、ちょうど $\lfloor\sqrt x\rfloor$ 個ある。左辺で和の順序を入れ替えると、$n\le x$ を固定したとき $n\mid k\le x$ となる $k$ は $n,2n,\dots$ のうち $x$ 以下のもので $\lfloor x/n\rfloor$ 個あるので、左辺は $\sum_{n\le x}\lambda(n)\lfloor x/n\rfloor$ に等しい。$\square$

$\sigma:=\operatorname{Re}s>1$ とする。$\lvert\lambda(n)n^{-s}\rvert=n^{-\sigma}$ で $\sum n^{-\sigma}$ は収束するから、$\sum\lambda(n)n^{-s}$ は絶対収束する。$q$ の級数は $\sum_nq(n)n^{-s}=\sum_{m\ge1}(m^2)^{-s}=\sum_mm^{-2s}=\zeta(2s)$ で、$\operatorname{Re}(2s)=2\sigma>1$ なのでこれも絶対収束する（$(m^2)^{-s}=e^{-2s\log m}=m^{-2s}$ である）。数論的関数 の記事の定理「絶対収束する Dirichlet 級数の積」を係数 $\mathbf 1$ と $\lambda$ の級数に使うと、$\lambda*\mathbf 1=q$ から
$$ \zeta(s)\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac{q(n)}{n^s}=\zeta(2s) $$
である。Riemannゼータ関数 の記事の定理「Euler 積」により $\operatorname{Re}s>1$ で $\zeta(s)\ne0$ なので、両辺を $\zeta(s)$ で割ればよい。$\square$

$\varepsilon>0$ とする。$\sum_m1/m^2$ は収束するので（値を $Z$ とおく）、$\sum_{m>K}1/m^2<\varepsilon$ となる正の整数 $K$ がとれる。$A(y)/y\to0$ なので、$y\ge Y$ なら $\lvert A(y)\rvert\le\varepsilon y$ となる $Y\ge1$ がとれる。$x\ge K^2Y$ とする。$m\le\sqrt x$ なら $x/m^2\ge1$ なので和の各項は定義されている。
$m\le K$ の項では $x/m^2\ge x/K^2\ge Y$ なので $\lvert c_mA(x/m^2)\rvert\le\varepsilon x/m^2$ であり、これらの和は $\varepsilon xZ$ 以下である。$m>K$ の項では $\lvert c_mA(x/m^2)\rvert\le x/m^2$ なので、これらの和は $x\sum_{m>K}1/m^2<\varepsilon x$ 以下である。よって $x\ge K^2Y$ なら
$$ \frac1x\left\lvert\sum_{m\le\sqrt x}c_mA\!\left(\frac x{m^2}\right)\right\rvert\le(Z+1)\,\varepsilon $$
である。$\varepsilon$ は任意なので結論を得る。$\square$

段 1（和の公式）． thm-lv-convolution の値の式を $n\le x$ で足すと
$$ L(x)=\sum_{n\le x}\sum_{m^2\mid n}\mu\!\left(\frac n{m^2}\right) $$
である。$n=m^2k$ と書くと、$n\le x$ は $k\le x/m^2$ と同値で、$m$ は $m^2\le x$ すなわち $m\le\sqrt x$ を動く。$(m,k)$ と $(n,m)$（$m^2\mid n$）は 1 対 1 に対応するので、和の順序を入れ替えて
$$ L(x)=\sum_{m\le\sqrt x}\sum_{k\le x/m^2}\mu(k)=\sum_{m\le\sqrt x}M\!\left(\frac x{m^2}\right) $$
を得る。$\mu(n)=\sum_{m^2\mid n}\mu(m)\lambda(n/m^2)$ を同じように足すと、2 つ目の式を得る。
段 2（同値性）． $\lvert\mu(n)\rvert\le1$、$\lvert\lambda(n)\rvert=1$ なので、$y\ge1$ で $\lvert M(y)\rvert\le y$、$\lvert L(y)\rvert\le y$ である。$M(y)/y\to0$ なら、lem-lv-square-average を $A=M$、$c_m=1$ に使って、1 つ目の式から $L(x)/x\to0$ を得る。逆に $L(y)/y\to0$ なら、$A=L$、$c_m=\mu(m)$ に使って、2 つ目の式から $M(x)/x\to0$ を得る。$\square$