Pólyaの壺
概要
Pólyaの壺（Pólya's urn）とは、赤玉 $a$ 個と白玉 $b$ 個（$a,b$ は正の整数）の入った壺から玉を $1$ 個取り出し、色を見て戻し、同じ色の玉を $1$ 個加えることを繰り返す試行である。$n$ 回のうち赤がちょうど $k$ 回出る特定の並びの確率は $\frac{a(a+1)\cdots(a+k-1)\cdot b(b+1)\cdots(b+n-k-1)}{(a+b)(a+b+1)\cdots(a+b+n-1)}$ で、赤と白の並べ方によらない。$j$ 回目に赤が出る確率は $j$ によらず $\frac a{a+b}$ である。$a=b=1$ なら、赤の回数は $0,1,\ldots,n$ のどれも確率 $\frac1{n+1}$ である。反対の色を加えると並びの確率は並べ方により、$a=b=1$ でも同じ色を $2$ 個加えると赤の回数は一様でない。
前提知識: 確率の定義と条件付き確率, 反復試行の確率, 二項定理と組合せの恒等式
高校での出発点：取り出すたびに増える壺
壺に赤玉 $1$ 個と白玉 $1$ 個が入っている。玉を $1$ 個取り出して色を見て、その玉を戻し、さらに同じ色の玉を $1$ 個加える。これを繰り返す。赤を取り出すと赤が増えるので、次も赤が出やすくなる。「一度出た色がどんどん出やすくなる」この壺で、赤を取り出す回数はどんな分布になるだろうか。
1 回目は赤 $1$・白 $1$ なので、赤が出る確率は $\dfrac12$ である。赤が出ると赤が $1$ 個増えて赤 $2$・白 $1$ になり、2 回目に赤が出る確率は $\dfrac23$ になる。このように、各回の確率を 確率の定義と条件付き確率 の乗法定理で掛けていくと、8 通りの並びの確率は次のとおりである。
| 並び | 各回の確率 | 並びの確率 |
|---|---|---|
| 赤赤赤 | $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34$ | $\frac14$ |
| 赤赤白 | $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac14$ | $\frac1{12}$ |
| 赤白赤 | $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ | $\frac1{12}$ |
| 白赤赤 | $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ | $\frac1{12}$ |
| 赤白白 | $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ | $\frac1{12}$ |
| 白赤白 | $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ | $\frac1{12}$ |
| 白白赤 | $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac14$ | $\frac1{12}$ |
| 白白白 | $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac34$ | $\frac14$ |
赤を取り出す回数ごとにまとめると
$$
P(\text{赤 }3\text{ 回})=\frac14,\quad P(\text{赤 }2\text{ 回})=3\cdot\frac1{12}=\frac14,\quad P(\text{赤 }1\text{ 回})=3\cdot\frac1{12}=\frac14,\quad P(\text{赤 }0\text{ 回})=\frac14
$$
で、$0,1,2,3$ 回のどれも確率 $\dfrac14$ である。
赤 1 個・白 1 個から 3 回取り出す木。枝に各回の確率、右端に並びの確率を書いた。赤が 3 回・0 回の並びは 1/4、ほかの 6 通りはどれも 1/12
ex-pu-three には 2 つの驚きがある。1 つは、赤赤白・赤白赤・白赤赤のように赤が 2 回の並びが、並べ方によらず同じ確率 $\dfrac1{12}$ になることである。各回の確率の並びは $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac14$ と $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ で違うのに、積は等しい。もう 1 つは、赤の回数が $0$ から $3$ まで一様に分布することである。玉を戻すだけで加えない場合は、表の出る確率 $\dfrac12$ の硬貨を 3 回投げるのと同じで、赤の回数の分布は $\dfrac18,\dfrac38,\dfrac38,\dfrac18$ となり（反復試行の確率）、一様ではない。
この記事で答える問いは次の 3 つである。
- 並びの確率が並べ方によらないのはなぜか。一般の個数でも成り立つか。→ thm-pu-order
- 赤の回数が一様に分布するのはいつか。→ cor-pu-uniform
- $j$ 回目に赤が出る確率は、$j$ によって変わるか。→ thm-pu-jth
高校の計算 この記事の言葉 大学の言葉 各回の確率を掛ける 並びの確率 同時分布 並べ方によらず同じ確率 並びの確率は赤の回数だけで決まる 交換可能性 赤の回数が一様 赤 $1$・白 $1$ から始める ベータ分布、ベータ積分 何回目でも赤の確率が同じ $j$ 回目の赤の確率 周辺分布
Pólya の壺の定義
正の整数 $a,b$ を決める。壺に赤玉 $a$ 個と白玉 $b$ 個を入れ、次の操作を $n$ 回繰り返す。
- 壺の中の玉から $1$ 個を、どの玉も同じ確率で取り出し、色を見る。
- 取り出した玉を戻し、さらに同じ色の玉を $1$ 個加える。
これを Pólya の壺 という。$n$ 回の結果を、出た色を順に書いた長さ $n$ の並び（たとえば 赤赤白）で表す。並びの確率は、各回の確率（その時点の壺の中の個数の比）を掛けたものとする。
各回の確率を掛けてよいのは、確率の定義と条件付き確率 の乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ を繰り返し使うことにあたる。「それまでの結果がこうだったとき、次に赤が出る確率」は、それまでの結果で決まる壺の中身だけで決まる。
$m$ 回目を取り出す直前には、それまでに $m-1$ 個の玉が加わっているので、壺の中の玉は全部で $a+b+m-1$ 個である。この数は、それまでに何色が出たかによらない。
以下、$x$ から始めて $1$ ずつ大きくなる $k$ 個の数の積を
$$
x^{\overline k}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+k-1)\qquad(k\ge1),\qquad x^{\overline 0}=1
$$
と書く（上昇階乗）。たとえば $2^{\overline3}=2\cdot3\cdot4=24$、$1^{\overline k}=1\cdot2\cdots k=k!$ である。
- ex-pu-three の赤赤赤の確率は $\dfrac{1\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot4}=\dfrac{1^{\overline3}}{2^{\overline3}}=\dfrac6{24}=\dfrac14$ である。
- 赤白赤の確率 $\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac24$ の分子は、赤の回の $1,2$ と白の回の $1$ で、$1^{\overline2}\cdot1^{\overline1}=2$ である。分母は $2\cdot3\cdot4=2^{\overline3}=24$ で、確率は $\dfrac2{24}=\dfrac1{12}$ である。
主定理 1：並びの確率は並べ方によらない
def-pu-urn の壺で、$n$ 回のうち赤がちょうど $k$ 回（白が $n-k$ 回）出る並びを 1 つ決める。その並びの確率は
$$
\frac{a(a+1)\cdots(a+k-1)\cdot b(b+1)\cdots(b+n-k-1)}{(a+b)(a+b+1)\cdots(a+b+n-1)}=\frac{a^{\overline k}\,b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}
$$
である。特に、赤の回数 $k$ が同じ並びは、赤と白の並べ方によらず同じ確率をもつ。
方針：並びの確率は各回の確率の積である。積の分母と分子に出てくる数を、それぞれ並べ方によらない形でまとめる。
段 1（分母）。$m$ 回目（$m=1,2,\ldots,n$）を取り出す直前の壺の中の玉は、上で見たとおり $a+b+m-1$ 個である。各回の確率の分母はこの数なので、分母をすべて掛けると
$$
(a+b)(a+b+1)\cdots(a+b+n-1)=(a+b)^{\overline n}
$$
で、並べ方によらない。
段 2（赤の回の分子）。並びの中で赤が出る回を前から順に見る。$1$ 番目の赤の回の直前には、それまでに赤は出ていないので、壺の中の赤は $a$ 個である。$2$ 番目の赤の回の直前には、それまでに赤が $1$ 回出て $1$ 個加わっているので $a+1$ 個である。一般に、$t$ 番目の赤の回の直前には、それまでに赤が $t-1$ 回出ているので、赤は $a+t-1$ 個である。途中で白が何回出ても、赤の個数は変わらない。よって赤の回の分子をすべて掛けると
$$
a(a+1)\cdots(a+k-1)=a^{\overline k}
$$
で、赤がどの回に出たかによらない。
段 3（白の回の分子）。段 2 と同じく、$t$ 番目の白の回の直前には白は $b+t-1$ 個なので、白の回の分子の積は $b(b+1)\cdots(b+n-k-1)=b^{\overline{n-k}}$ である。
段 4（まとめ）。並びの確率は、段 2・段 3 の分子の積を段 1 の分母で割ったもので、$\dfrac{a^{\overline k}\,b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}$ である。この式は $a,b,n,k$ だけで決まり、並べ方によらない。$\square$
証明のかなめは、「分母は回ごとに $1$ ずつ増え、赤の分子は赤が出るたびに $1$ ずつ増え、白の分子は白が出るたびに $1$ ずつ増える」ことである。並べ方を変えても、同じ数の組が別の順番で掛けられるだけである。ex-pu-three の $\frac12\cdot\frac23\cdot\frac14$ と $\frac12\cdot\frac13\cdot\frac24$ は、分母 $2,3,4$ と分子 $1,2$（赤）・$1$（白）が同じで、順番だけが違う。
$n$ 回のうち赤を取り出す回数を $K$ とすると、$k=0,1,\ldots,n$ について
$$
P(K=k)=\binom nk\frac{a^{\overline k}\,b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}
$$
である。
赤がちょうど $k$ 回の並びは、$n$ 回のうち赤の回を $k$ 回選ぶ選び方の数 $\dbinom nk$ 通りある。thm-pu-order により、どれも同じ確率 $\dfrac{a^{\overline k}\,b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}$ をもつ。異なる並びは同時には起こらないので、確率を足して $\dbinom nk$ 倍になる。$\square$
$a=b=1$ のとき、$n$ 回のうち赤を取り出す回数 $K$ は、$0,1,\ldots,n$ のどの値も確率 $\dfrac1{n+1}$ でとる。
$1^{\overline k}=k!$、$1^{\overline{n-k}}=(n-k)!$、$2^{\overline n}=2\cdot3\cdots(n+1)=(n+1)!$ である。cor-pu-count に入れると
$$
P(K=k)=\binom nk\frac{k!\,(n-k)!}{(n+1)!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\cdot\frac{k!\,(n-k)!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac1{n+1}
$$
である。$k$ によらない。$\square$
Pólya の壺（赤 1 個・白 1 個から、同じ色を 1 個加える）で 10 回取り出したときの赤の回数の分布。11 通りの回数がどれも 1/11
玉を戻すだけで加えないときの、10 回のうちの赤の回数の分布。二項分布で、5 回の近くに集まる
図 2 と図 3 は、$n=10$ での赤の回数の分布を比べたものである。戻すだけの場合（図 3）は、赤の回数が真ん中の $5$ 回の近くに集まる（反復試行の確率）。Pólya の壺（図 2）では、$0$ 回も $10$ 回も $5$ 回と同じ確率 $\dfrac1{11}$ で起こる。赤が出ると赤が出やすくなるので、「最初の数回で出た色が多数派になり、そのまま増えていく」ことが起こりやすい。
$a=2$、$b=1$、$n=4$ とする。分母は $3^{\overline4}=3\cdot4\cdot5\cdot6=360$ である。cor-pu-count により
- $k=0$：$\dbinom40\cdot2^{\overline0}\cdot1^{\overline4}=1\cdot1\cdot24=24$ で、$\dfrac{24}{360}=\dfrac1{15}$
- $k=1$：$\dbinom41\cdot2^{\overline1}\cdot1^{\overline3}=4\cdot2\cdot6=48$ で、$\dfrac{48}{360}=\dfrac2{15}$
- $k=2$：$\dbinom42\cdot2^{\overline2}\cdot1^{\overline2}=6\cdot6\cdot2=72$ で、$\dfrac{72}{360}=\dfrac15$
- $k=3$：$\dbinom43\cdot2^{\overline3}\cdot1^{\overline1}=4\cdot24\cdot1=96$ で、$\dfrac{96}{360}=\dfrac4{15}$
- $k=4$：$\dbinom44\cdot2^{\overline4}\cdot1^{\overline0}=1\cdot120\cdot1=120$ で、$\dfrac{120}{360}=\dfrac13$
である。合計は $\dfrac{1+2+3+4+5}{15}=1$ である。はじめに赤が多いので、赤の回数が多いほど確率が大きく、一様ではない。
主定理 2：何回目でも赤の確率は同じ
赤が出ると次に赤が出る確率は上がる。ex-pu-three では、1 回目が赤のとき 2 回目も赤の確率は $\dfrac23$ で、はじめの $\dfrac12$ より大きい。それなら、2 回目や 3 回目に赤が出る確率は $\dfrac12$ より大きくなるだろうか。
$a=b=1$ とする。2 回目に赤が出るのは、赤赤か白赤のときである。
$$
P(\text{2 回目が赤})=\frac12\cdot\frac23+\frac12\cdot\frac13=\frac13+\frac16=\frac12
$$
で、1 回目と同じ $\dfrac12$ である。1 回目が赤なら 2 回目の赤は出やすくなる（$\frac23$）が、1 回目が白なら出にくくなり（$\frac13$）、平均すると変わらない。3 回目に赤が出る確率も、ex-pu-three の表で 3 回目が赤の並び（赤赤赤・赤白赤・白赤赤・白白赤）を足すと $\dfrac14+\dfrac1{12}+\dfrac1{12}+\dfrac1{12}=\dfrac12$ である。
def-pu-urn の壺で、どの $j=1,2,3,\ldots$ についても、$j$ 回目に赤が出る確率は
$$
\frac a{a+b}
$$
で、$j$ によらない。
方針：1 回目と $j$ 回目を入れかえても並びの確率が変わらないこと（thm-pu-order）を使い、「$j$ 回目が赤」の確率を「1 回目が赤」の確率に移す。
段 1（並びの集まりで書く）。$j$ 回目までの結果は、長さ $j$ の並びで表せる。$j$ 回目が赤である並びの確率を全部足したものが、$j$ 回目に赤が出る確率である。同じく、1 回目が赤である長さ $j$ の並びの確率を全部足したものが、1 回目に赤が出る確率 $\dfrac a{a+b}$ である（$j$ 回まで続けても、1 回目の確率は変わらない。2 回目以降の各回について、行き先の確率の和は $1$ だからである）。
段 2（入れかえ）。長さ $j$ の並び $s$ に対し、1 回目と $j$ 回目の色を入れかえた並びを $s'$ とする。$s'$ でもう一度入れかえるともとの $s$ にもどるので、この入れかえは「$j$ 回目が赤の並び」と「1 回目が赤の並び」を 1 つずつ対応させる。入れかえても赤の回数は変わらないので、thm-pu-order により $s$ と $s'$ の確率は等しい。
段 3（結論）。段 2 により、「$j$ 回目が赤の並び」の確率の和は「1 回目が赤の並び」の確率の和に等しい。段 1 により、後者は $\dfrac a{a+b}$ である。$\square$
ex-pu-two-one の $a=2$、$b=1$、$n=4$ でも、1 回目から 4 回目のどの回も赤の確率は $\dfrac23$ である。
戻さずに取り出すくじでも、同じことが起こる。母集団と標本 の補題「1 回ごとの取り出しの分布」は、$10$ 本のうち $3$ 本が当たりのくじを戻さずに引くとき、何番目に引いても当たりの確率は $\dfrac3{10}$ であることを示している。戻さないくじでは、当たりが出ると次は当たりが出にくくなり、Pólya の壺では赤が出ると次は赤が出やすくなる。向きは逆だが、どちらも並びの確率が並べ方によらないので、何回目でも確率は同じになる。
| 戻して加えない | 戻さない | Pólya の壺 | |
|---|---|---|---|
| 取り出した後の壺 | 変わらない | 取り出した色が $1$ 個減る | 取り出した色が $1$ 個増える |
| 1 回目が赤のとき 2 回目も赤の確率 | $\frac a{a+b}$ | $\frac{a-1}{a+b-1}$ | $\frac{a+1}{a+b+1}$ |
| $j$ 回目が赤の確率 | $\frac a{a+b}$ | $\frac a{a+b}$ | $\frac a{a+b}$ |
| 並びの確率が並べ方によらない | はい | はい | はい |
| 各回が独立 | はい | いいえ | いいえ |
| 赤の回数の分布 | 二項分布 | 超幾何分布 | $\binom nk\frac{a^{\overline k}b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}$ |
「戻さない」列の $j$ 回目の値は $j\le a+b$ のとき、2 回目の値は $a+b\ge2$ のときに意味をもつ。
$a=b=1$ で $n$ 回取り出し、赤が $k$ 回出たとする。そのとき壺には赤 $1+k$ 個、白 $1+n-k$ 個、合わせて $n+2$ 個が入っている。次の $n+1$ 回目に赤が出る確率は
$$
\frac{k+1}{n+2}
$$
である。たとえば $10$ 回のうち赤が $10$ 回なら、次に赤が出る確率は $\dfrac{11}{12}$ である。$10$ 回のうち赤が $3$ 回なら $\dfrac4{12}=\dfrac13$ である。出た回数の割合 $\dfrac kn$ に近いが、少しだけ $\dfrac12$ の側に寄る。
赤 1 個・白 1 個から 500 回取り出した 20 回の試行で、壺の中の赤の割合の推移。どの試行も割合がある値に落ち着いていくが、その値は試行ごとにまちまちである
図 4 は、$a=b=1$ で $500$ 回取り出す試行を計算機で $20$ 回まねて、壺の中の赤の割合の推移を描いたものである。どの試行でも、はじめは大きく揺れ、回数が増えると割合の動きは小さくなり、ある値に落ち着いていくように見える。落ち着く先は試行ごとに違い、この 20 回では $0.02$ 付近から $0.93$ 付近まで散らばった。これは cor-pu-uniform と合っている。$n$ 回のうちの赤の回数が $0$ から $n$ まで一様なので、赤の割合も $0$ から $1$ までまんべんなく散らばる。割合が本当にある値に近づくこと（収束すること）は、この記事では証明しない。
反例：玉の加え方を変えると
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 取り出した色と同じ色を加える | 反対の色を $1$ 個加える（赤 $1$・白 $1$ から） | 並びの確率が並べ方によらない |
| 加える玉は $1$ 個 | 同じ色を $2$ 個加える（赤 $1$・白 $1$ から） | 赤の回数が一様 |
| 赤 $1$ 個・白 $1$ 個から始める | 赤 $2$ 個・白 $1$ 個から始める | 赤の回数が一様 |
3 行目は ex-pu-two-one で見た。1・2 行目を確かめる。
赤 $1$・白 $1$ から始め、取り出した玉を戻して、反対の色の玉を $1$ 個加える。
- 赤赤白：赤（$\frac12$）で白が増えて赤 $1$・白 $2$、赤（$\frac13$）で赤 $1$・白 $3$、白（$\frac34$）。確率は $\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac34=\dfrac18$ である。
- 赤白赤：赤（$\frac12$）で赤 $1$・白 $2$、白（$\frac23$）で赤が増えて赤 $2$・白 $2$、赤（$\frac24$）。確率は $\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac24=\dfrac16$ である。
赤の回数はどちらも $2$ 回なのに、確率が違う。thm-pu-order の証明の段 2 では「赤の個数は赤が出たときだけ増える」ことを使ったが、反対の色を加えると赤の個数は白が出たときに増えるので、分子に出てくる数が並べ方で変わる。
赤 $1$・白 $1$ から始め、取り出した玉を戻して、同じ色の玉を $2$ 個加える。$2$ 回取り出すと
$$
P(\text{赤赤})=\frac12\cdot\frac34=\frac38,\qquad P(\text{赤白})=\frac12\cdot\frac14=\frac18,\qquad P(\text{白赤})=\frac18,\qquad P(\text{白白})=\frac38
$$
である。赤の回数が $0,1,2$ 回の確率は $\dfrac38,\dfrac14,\dfrac38$ で、一様ではない。赤が出ると赤がより大きく増えるので、同じ色が続く並びが起こりやすくなる。
ただし、並びの確率が並べ方によらないことは保たれる。$3$ 回なら赤赤白・赤白赤・白赤赤は、どれも
$$
\frac12\cdot\frac34\cdot\frac16=\frac12\cdot\frac14\cdot\frac36=\frac12\cdot\frac14\cdot\frac36=\frac1{16}
$$
である（分母は $2,4,6$、赤の分子は $1,3$、白の分子は $1$ で、順番だけが違う）。thm-pu-order の証明は、加える個数が $2$ 個でも、「$1$ ずつ」を「$2$ ずつ」に読みかえればそのまま通る。崩れるのは cor-pu-uniform の計算で、$1^{\overline k}=k!$ にあたる積が $1\cdot3\cdots(2k-1)$ に変わるからである。
大学数学で見る：ベータ積分と交換可能性
赤 $1$・白 $1$ の Pólya の壺の赤の回数の分布は、次の 2 段階の試行と同じである。まず $0$ と $1$ の間の数 $t$ を、どの値も同じくらいの確からしさで選ぶ（$[0,1]$ 上の一様分布）。次に、表の出る確率が $t$ の硬貨を $n$ 回投げる。表が $k$ 回出る確率は、$t$ について平均をとった
$$
\int_0^1\binom nkt^k(1-t)^{n-k}\,dt=\frac1{n+1}
$$
で、cor-pu-uniform の値と一致する。この積分の値は 1/6公式とベータ積分 の命題「面積は二項係数の逆数」である。
一般の $a,b$ での式と、交換可能性を開く
$a,b$ が正の整数のときも同じことが成り立つ。1/6公式とベータ積分 の定理「ベータ積分の公式」$\displaystyle\int_0^1t^m(1-t)^n\,dt=\frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}$ を使うと
$$\frac{\displaystyle\int_0^1t^{a+k-1}(1-t)^{b+n-k-1}\,dt}{\displaystyle\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt}=\frac{(a+k-1)!\,(b+n-k-1)!}{(a+b+n-1)!}\cdot\frac{(a+b-1)!}{(a-1)!\,(b-1)!}=\frac{a^{\overline k}\,b^{\overline{n-k}}}{(a+b)^{\overline n}}$$
である（$\frac{(a+k-1)!}{(a-1)!}=a^{\overline k}$ などを使った）。これに $\dbinom nk$ を掛けると cor-pu-count の式になる。つまり Pólya の壺は、「$t$ を重み $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ に比例する確からしさで選び（ベータ分布）、表の出る確率 $t$ の硬貨を投げる」試行と、赤の回数の分布が同じである。
並びの確率が並べ方によらない確率変数の列を、大学の確率論では 交換可能 という。母集団と標本 の戻さないくじの列も交換可能である。上の計算は、交換可能な Pólya の壺の列が「確率 $t$ をまず選んでから独立な試行を続ける」列と、赤の回数の分布で一致することを示している。GS06 は §4.1 の Exercise 20（p.152）でこの壺を感染のモデルとして紹介し、§4.2 の Exercise 11（p.174）で、偏りが $[0,1]$ の一様分布に従う硬貨と比べて、$a=b=1$ の壺の赤の割合が $0$ や $1$ に偏らず $[0,1]$ の一様分布に近づく理由を説明させている。割合の収束は、この記事では証明しない。
さらに先へ
- 加える玉の個数を $c$ 個にすると、並びの確率は $\dfrac{a(a+c)\cdots(a+(k-1)c)\cdot b(b+c)\cdots(b+(n-k-1)c)}{(a+b)(a+b+c)\cdots(a+b+(n-1)c)}$ になり、やはり並べ方によらない。$c=-1$ とすると戻さないくじになる（母集団と標本）。
- ex-pu-succession の $\dfrac{k+1}{n+2}$ は、表の出る確率 $t$ が $[0,1]$ の一様分布に従う硬貨を $n$ 回投げて表が $k$ 回出たとき、次に表が出る確率としても現れる（GS06 §4.2 Exercise 11）。
- 赤の回数の期待値は、thm-pu-jth と 期待値の線形性と数え上げ の線形性から、$n\cdot\dfrac a{a+b}$ である。各回は独立でないが、線形性は独立性を使わない。
関連項目
- 前提: 確率の定義と条件付き確率, 反復試行の確率, 二項定理と組合せの恒等式
- 前に読む: 確率の定義と条件付き確率, 反復試行の確率, ギャンブラーの破産
- 次に読む: 一様分布と指数分布
- 関連（高校数学）: 母集団と標本, 期待値の線形性と数え上げ, 二項定理と組合せの恒等式, 1/6公式とベータ積分
- 発展: 確率変数, 独立性(確率論)
参考文献
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