双曲線関数

1：定義から直ちに従う。2：$\cosh^2z-\sinh^2z=(\cosh z+\sinh z)(\cosh z-\sinh z)=e^ze^{-z}=1$ である。
3：$\cosh z\cosh w+\sinh z\sinh w=\frac14\bigl((e^z+e^{-z})(e^w+e^{-w})+(e^z-e^{-z})(e^w-e^{-w})\bigr)=\frac14\bigl(2e^{z+w}+2e^{-z-w}\bigr)=\cosh(z+w)$ であり、$\sinh$ についても同様に展開すると $\frac14\bigl(2e^{z+w}-2e^{-z-w}\bigr)=\sinh(z+w)$ となる。後半は $w=z$ とおき、2 を使う。
4：$e^{\pm z}=\sum_n\frac{(\pm z)^n}{n!}$ はともに絶対収束するので項ごとに足し引きでき、奇数次（偶数次）の項が打ち消し合う。
5：三角関数 の記事の定理「Euler の公式」の証明と同じく、冪級数 $\cos z=\sum_k\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k)!}$ に $iz$ を代入すると $(-1)^k(iz)^{2k}=z^{2k}$ なので $\cos(iz)=\cosh z$ である。$\sin(iz)=\sum_k\frac{(-1)^k(iz)^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sum_k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sinh z$ である。最後の 2 式は、これらの $z$ を $iz$ に替えて $\cos,\cosh$ の偶奇性と $\sin,\sinh$ の奇関数性を使う：$\cosh(iz)=\cos(i\cdot iz)=\cos(-z)=\cos z$、$i\sinh(iz)=\sin(-z)=-\sin z$ から $\sinh(iz)=i\sin z$。
6：$(e^x)'=e^x$、$(e^{-x})'=-e^{-x}$（指数関数 の記事の定理「指数関数の導関数」と連鎖律）から前の 2 式を得る。商の微分と 2 により $\tanh'=\frac{\cosh^2-\sinh^2}{\cosh^2}=\frac1{\cosh^2}=1-\tanh^2$ である。

1：相加平均と相乗平均の不等式により $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2\ge\sqrt{e^xe^{-x}}=1$ で、等号は $e^x=e^{-x}$、すなわち $x=0$ のときに限る（実数の指数関数は単射）。$\cosh x\pm\sinh x=e^{\pm x}>0$ から $|\sinh x|<\cosh x$ である。
2：$\sinh'=\cosh\ge1>0$ なので、平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」により $\sinh$ は狭義単調増加である。$x\to\infty$ で $e^x\to\infty$、$e^{-x}\to0$ なので $\sinh x\to\infty$、奇関数なので $x\to-\infty$ で $\sinh x\to-\infty$ である。$\sinh$ は連続なので、中間値の定理 により値の集合は $\mathbb{R}$ 全体である。
3：$x>0$ で $\cosh'x=\sinh x>0$（2 と $\sinh0=0$）なので、同じ系により $\cosh$ は $[0,\infty)$ 上で狭義単調増加である（端点 $0$ を含めてよいのは $\cosh$ が連続だからである）。$\cosh0=1$、$x\to\infty$ で $\cosh x\to\infty$ なので、中間値の定理により値の集合は $[1,\infty)$ である。
4：$\tanh'=\frac1{\cosh^2}>0$ なので狭義単調増加であり、1 により $|\tanh x|< 1$ である。$\tanh x=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}\to1$（$x\to\infty$）、奇関数なので $x\to-\infty$ で $-1$ に近づく。中間値の定理により値の集合は $(-1,1)$ である。

1：prop-hpf-basic の 2 により $(\cosh t,\sinh t)$ は $x^2-y^2=1$ を満たし、prop-hpf-real の 1 により $x=\cosh t>0$ である。逆に $(x,y)\in H$ とする。prop-hpf-real の 2 により $\sinh t=y$ となる $t$ がただ 1 つあり、そのとき $\cosh^2t=1+y^2=x^2$ で $\cosh t$、$x$ はともに正なので $\cosh t=x$ である。$t$ は $\sinh t=y$ だけで決まるので一意である。
2：まず $0\le y\le\sinh t$ で $y\coth t\le\sqrt{1+y^2}$ を確かめる。両辺は $0$ 以上で、平方すると $y^2\frac{\cosh^2t}{\sinh^2t}\le1+y^2$、すなわち $y^2\frac{\cosh^2t-\sinh^2t}{\sinh^2t}\le1$、$y^2\le\sinh^2t$ と同値であり、これは成り立つ。直線 $x=y\coth t$ は $O$ と $P_t$ を通り、曲線 $x=\sqrt{1+y^2}$ は $H$ そのものなので、$D_t$ は述べた 3 つの線で囲まれた領域である。高さ $y$ での横幅を積分すると、面積は
$$ A=\int_0^{\sinh t}\sqrt{1+y^2}\,dy-\coth t\int_0^{\sinh t}y\,dy=\int_0^{\sinh t}\sqrt{1+y^2}\,dy-\frac{\sinh t\cosh t}2 $$
である。第 1 項で $y=\sinh s$（$0\le s\le t$）と置換すると、$\sqrt{1+\sinh^2s}=\cosh s$、$dy=\cosh s\,ds$ なので（微分積分学の基本定理 の記事の系「置換積分の公式」）、prop-hpf-basic の 3 の $\cosh^2s=\frac{1+\cosh2s}2$ を使って
$$ \int_0^{\sinh t}\sqrt{1+y^2}\,dy=\int_0^t\cosh^2s\,ds=\Bigl[\frac s2+\frac{\sinh2s}4\Bigr]_0^t=\frac t2+\frac{\sinh t\cosh t}2 $$
となる。したがって $A=\frac t2$ である。

1：$\sinh y=x$ は $e^y-e^{-y}=2x$、すなわち $(e^y)^2-2xe^y-1=0$ と同値である。$e^y$ についての 2 次方程式の解は $x\pm\sqrt{x^2+1}$ で、$x-\sqrt{x^2+1}< x-|x|\le0$ なので正の解は $x+\sqrt{x^2+1}$ だけである。$e^y>0$ なので $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$、$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ である。導関数は、連鎖律 により
$$ \frac{d}{dx}\log\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{x^2+1}} $$
である。
2：$x\ge1$ とし、$y\ge0$ で $\cosh y=x$ となるものを求める。$(e^y)^2-2xe^y+1=0$ の解は $x\pm\sqrt{x^2-1}$ で、2 つの解の積は $1$ である。$y\ge0$ では $e^y\ge1$ なので、$e^y$ は $1$ 以上の解 $x+\sqrt{x^2-1}$ である（$x>1$ なら他方の解は $1$ より小さく、$x=1$ なら 2 つの解はともに $1$）。導関数は 1 と同じ計算で $\frac{1+x/\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$ である。
3：$\tanh y=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}=x$ を $e^{2y}$ について解くと $e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$（$|x|<1$ なので正）であり、$y=\frac12\log\frac{1+x}{1-x}$ である。導関数は $\frac12\bigl(\frac1{1+x}+\frac1{1-x}\bigr)=\frac1{1-x^2}$ である。

1：加法定理（prop-hpf-basic の 3）と同じ命題の 5 の $\cosh(iy)=\cos y$、$\sinh(iy)=i\sin y$ による。
2：1 と $\cosh^2x=1+\sinh^2x$、$\cos^2y+\sin^2y=1$ から
$$ |\sinh(x+iy)|^2=\sinh^2x\cos^2y+(1+\sinh^2x)\sin^2y=\sinh^2x+\sin^2y $$
であり、同様に $|\cosh(x+iy)|^2=(1+\sinh^2x)\cos^2y+\sinh^2x\sin^2y=\sinh^2x+\cos^2y$ である。
3：$z=x+iy$ とする。2 により $\sinh z=0$ は $\sinh x=0$ かつ $\sin y=0$ と同値であり、prop-hpf-real の 2 と 三角関数 の記事の定理「周期と零点」の 5 により、$x=0$ かつ $y\in\pi\mathbb{Z}$ と同値である。$\cosh z=0$ は $\sinh x=0$ かつ $\cos y=0$、すなわち $x=0$ かつ $y\in\frac\pi2+\pi\mathbb{Z}$ と同値である。
4：加法定理から、複素数 $u,v$ について $\cosh(u+v)-\cosh(u-v)=2\sinh u\sinh v$、$\sinh(u+v)-\sinh(u-v)=2\cosh u\sinh v$ である。$u=z+\frac T2$、$v=\frac T2$ とおくと
$$ \cosh(z+T)-\cosh z=2\sinh\Bigl(z+\frac T2\Bigr)\sinh\frac T2,\qquad\sinh(z+T)-\sinh z=2\cosh\Bigl(z+\frac T2\Bigr)\sinh\frac T2 $$
である。$T\in2\pi i\mathbb{Z}$ なら 3 により $\sinh\frac T2=0$ で、右辺は $0$ である。逆に、すべての $z$ で左辺が $0$ なら、$z=-\frac T2+1$ とおくと $\sinh1\ne0$、$\cosh1\ne0$ なので $\sinh\frac T2=0$ であり、3 により $\frac T2\in\pi i\mathbb{Z}$、$T\in2\pi i\mathbb{Z}$ である。最後に、1 から $\sinh(z+\pi i)=-\sinh z$、$\cosh(z+\pi i)=-\cosh z$ なので（$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$）、比 $\tanh$ は変わらない。