対数螺旋

$r=e^{0.2\theta}$ の点を並べる（点は $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$）。

1. 正の $x$ 軸の上の点は $\theta=\ldots,-2\pi,0,2\pi,\ldots$ の点で、距離は $0.2846\ldots$、$1$、$3.5135\ldots$ と $e^{0.4\pi}=3.5135\ldots$ 倍ずつになる（$0.2846\ldots\times3.5135\ldots=1$）。
2. $\theta$ を $-2\pi,-4\pi,-6\pi,\ldots$ と減らすと、距離は $e^{-0.4\pi}=0.2846\ldots$ 倍ずつ小さくなって $0$ に近づくが、$0$ にはならない。曲線は原点のまわりを無限に回りながら原点に近づく。
3. $r=e^{\theta}$ では広がり方がずっと速い。$\theta=0,\dfrac\pi2,\pi$ で $r=1,\ 4.8104\ldots,\ 23.1406\ldots$ で、1 周で $e^{2\pi}=535.49\ldots$ 倍になる。

向き $\varphi$ の半直線と対数螺旋 $r=ae^{b\theta}$ の共有点は、$\theta=\varphi+2n\pi$（$n$ は整数）の点で、原点からの距離は
$$ ae^{b(\varphi+2n\pi)}=ae^{b\varphi}\cdot\left(e^{2\pi b}\right)^n $$
である。$n$ を $1$ 増やすごとに $e^{2\pi b}$ 倍になる等比数列である。たとえば $a=1$、$b=0.2$、$\varphi=\dfrac\pi2$ では、$y$ 軸の正の部分との交点の距離は $\ldots,\ 0.3896\ldots,\ 1.3691\ldots,\ 4.8104\ldots,\ldots$ で、どれも隣との比が $3.5135\ldots$ である。
これと比べて、螺旋 $r=\theta$（$\theta\ge0$）では、向き $\varphi$（$0\le\varphi<2\pi$）の半直線との交点の距離は $\varphi,\ \varphi+2\pi,\ \varphi+4\pi,\ldots$ の等差数列になる。

1. $b=0.2$、$a=1$。$\theta=0$ の点は $P=(1,0)$ で、lem-logs-psi から接線ベクトルは $P'(0)=0.2\,\vec e(0)+1\cdot\vec e\!\left(\dfrac\pi2\right)=(0.2,\ 1)$ である。動径の向き $(1,0)$ とのなす角は $\cos\psi=\dfrac{0.2}{\sqrt{1.04}}$ から $\psi=78.69\ldots^\circ$ で、$\cot\psi=0.2$ と合っている。
2. $b=1$ では $\cot\psi=1$ から $\psi=45^\circ$ である。$\theta=0$ の点 $(1,0)$ で接線ベクトルは $(1,1)$ で、確かに $x$ 軸と $45^\circ$ をなす。
3. $b=-0.2$ では $\cot\psi=-0.2$ から $\psi=101.30\ldots^\circ$ で、$90^\circ$ より大きい。$\theta$ が増えると原点に近づくので、接線の向きが原点の側に傾く。

複素数平面で対数螺旋の点を $z(\theta)=ae^{b\theta}(\cos\theta+i\sin\theta)=ae^{b\theta}e^{i\theta}$ と書く。複素数 $w=e^{b\alpha}e^{i\alpha}$ を掛けると
$$ w\,z(\theta)=ae^{b(\theta+\alpha)}e^{i(\theta+\alpha)}=z(\theta+\alpha) $$
である。複素数の掛け算は回転と拡大 のとおり、$w$ を掛けることは、原点のまわりの角 $\alpha$ の回転と $e^{b\alpha}$ 倍の拡大を合わせた回転相似である。対数螺旋は、この回転相似で自分自身に移る（点は曲線に沿って $\alpha$ だけ進む）。
たとえば $a=1$、$b=0.2$、$\alpha=\dfrac\pi2$ では $w=e^{0.1\pi}i=1.3691\ldots\times i$ で、$z(0)=1$ は $w\cdot1=1.3691\ldots i=z\!\left(\dfrac\pi2\right)$ に移る（ex-logs-start の表の点 $(0,1.3691)$）。

相似変換と相似の中心 の例「渦を巻いて近づく」では、$c=1+i$ を中心とする角 $45^\circ$、比 $\dfrac1{\sqrt2}$ の回転相似 $f(z)=c+\dfrac{1+i}2(z-c)$ を $z_0=5+i$ からくり返した。$\dfrac{1+i}2=\dfrac1{\sqrt2}e^{i\pi/4}$ なので
$$ z_n-c=\left(\frac{1+i}2\right)^n(z_0-c)=4\left(\frac1{\sqrt2}\right)^ne^{in\pi/4} $$
である。$b=-\dfrac{2\log2}\pi$ とおくと、$\theta=\dfrac{n\pi}4$ で $e^{b\theta}=e^{-\frac n2\log2}=\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^n$ なので、$z_n-c=4e^{b\theta}e^{i\theta}$ である。つまり点 $z_n$ は、$c$ を中心とする対数螺旋 $r=4e^{b\theta}$（$b=-0.4412\ldots$）の上にある（図 4）。この螺旋の動径と接線のなす角は $\cot\psi=b$ から $\psi=113.8\ldots^\circ$ である。

1. $a=1$、$b=0.2$、$\theta_0=0$（$r_0=1$）。$\theta\le0$ の部分の長さは $\dfrac{\sqrt{1.04}}{0.2}=\sqrt{26}=5.0990\ldots$ である。原点のまわりを $n$ 周だけ内側に進んだところまで（$T=-2n\pi$）の長さ $\ell(T)=\sqrt{26}\left(1-e^{-0.4n\pi}\right)$ は

   周の数 $n$	$1$	$2$	$5$	$10$
   $\ell(-2n\pi)$	$3.6477\ldots$	$4.6859\ldots$	$5.0894\ldots$	$5.0990\ldots$

   で、1 周目だけで全体の約 7 割を占め、あとの無限に多くの周の長さを合わせても $\sqrt{26}$ を超えない。
2. $b=1$、$r_0=1$ では長さは $\sqrt2=1.4142\ldots$ で、$\psi=45^\circ$ から $\dfrac1{\cos45^\circ}=\sqrt2$ とも求まる。

$b=0$ とすると $r=a$ で、原点を中心とする円である。$f'=0$ なので lem-logs-psi から $\cos\psi=0$、$\psi=90^\circ$ で一定である。thm-logs-angle (2) の「円」の場合にあたる。円は原点に近づかないので、thm-logs-length のような「原点に近づく部分」はない（式 $\dfrac{r_0\sqrt{1+b^2}}b$ も $b=0$ では意味をもたない）。拡大すると大きさの違う円になり、回転しても重ならない。

$r=\dfrac1\theta$（$\theta\ge1$）は、$\theta\to\infty$ のとき $r\to0$ で、原点のまわりを無限に回りながら原点に近づく（図 7）。しかし、$\theta=1$ から $\theta=N$ までの長さは、lem-logs-psi の速さ $\sqrt{\dfrac1{\theta^2}+\dfrac1{\theta^4}}\ge\dfrac1\theta$ から
$$ \int_1^N\sqrt{\frac1{\theta^2}+\frac1{\theta^4}}\,d\theta\ge\int_1^N\frac{d\theta}\theta=\log N $$
で、$N\to\infty$ のとき限りなく大きくなる。数値では $N=10,100,1000$ で $2.52\ldots$、$4.83\ldots$、$7.13\ldots$ である。原点に近づく部分の長さは有限ではない。
$\cot\psi=\dfrac{f'}f=\dfrac{-1/\theta^2}{1/\theta}=-\dfrac1\theta$ なので、動径と接線のなす角は一定でなく、$\theta\to\infty$ で $90^\circ$ に近づく。原点の近くで円に近い回り方になるので、回る回数に比べて原点への近づき方が遅い。

向き $\theta_1$ の半直線 $\{s\,\vec e(\theta_1)\mid s>0\}$ では、接線は半直線そのもので、動径と接線のなす角はどの点でも $0$ である。角は一定だが、対数螺旋でも円でもない。thm-logs-angle (2) は、曲線が $r=f(\theta)$（$f>0$）の形で、$\theta$ を動かすと向きが変わっていく曲線についての主張である。実際、lem-logs-psi から $r=f(\theta)$ の形の曲線では $\sin\psi>0$ なので、角が $0$ になることはない。