自己同型

加法群 $\mathbb{Z}$ の自己同型群は $\{\mathrm{id},-\mathrm{id}\}$ で、位数 $2$ の群である。実際、群準同型 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は $f(n)=nf(1)$ により $a=f(1)$ で決まり、全射であるためには $a=\pm1$ が必要で、逆に $a=\pm1$ なら $n\mapsto an$ は全単射である（同型 の記事の例「自己同型群の例」の 2）。$\mathbb{Z}$ は可換なので内部自己同型は恒等写像だけであり、$-\mathrm{id}$ は外部自己同型である。

1. $p$ が素数なら $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\cong\mathbb{F}_p^\times$ は位数 $p-1$ の巡回群である（有限体の乗法群は巡回群：有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。たとえば $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ は $[x]\mapsto[2x]$ で生成される位数 $4$ の巡回群である。
2. $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})\cong(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times=\{[1],[3],[5],[7]\}$ は、$[3]^2=[5]^2=[7]^2=[1]$ なので $e$ 以外の元の位数がすべて $2$ であり、巡回群でない（Kleinの四元群と同型）。すなわち「巡回群である」という性質は、群からその自己同型群へ受け継がれない。

1. 実数体 $\mathbb{R}$ の自己同型は恒等写像だけである（環準同型 の記事の命題「実数体と複素数体の自己同型」の 1）。有理数体 $\mathbb{Q}$ の自己同型も恒等写像だけである。体の自己同型は素体の各元を動かさない（部分体 の記事の命題「部分体と素体」の 4）からである。
2. 複素数体 $\mathbb{C}$ は恒等でない自己同型として複素共役 $z\mapsto\bar z$ をもつ。$\mathbb{R}$ の各元を動かさない自己同型、あるいは連続な自己同型は、恒等写像と複素共役の 2 つだけである（同じ命題の 2・3）。
3. $q=p^n$ 元の有限体 $\mathbb{F}_q$ では、Frobenius 写像（Frobenius写像）$a\mapsto a^p$ が自己同型である（有限体 の記事の命題「Frobenius写像の性質」）。$\mathbb{F}_q$ の自己同型は素体 $\mathbb{F}_p$ を動かさないので $\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)=\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)$ であり、これは Frobenius 写像で生成される位数 $n$ の巡回群である（Galois拡大 の記事の例「有限体の拡大」）。
   体の拡大 $L/K$ について、$K$ の各元を動かさない $L$ の自己同型の全体 $\operatorname{Aut}(L/K)$ は、$K$ の元を固定する体（$K$ 上の体）の圏での $L$ の自己同型群である。Galois 拡大ではこれをGalois群という（Galois拡大 の記事の定義「Galois拡大」）。

1. $\mathbb{R}$ の同相写像には、平行移動 $x\mapsto x+t$、反転 $x\mapsto-x$、$x\mapsto x^3$ などがある。$x\mapsto x^3$ の逆写像 $x\mapsto x^{1/3}$（実数の 3 乗根）は連続である。
2. 集合 $X$ に離散位相（すべての部分集合が開集合）または密着位相（開集合が $\emptyset$ と $X$ だけ）を入れた空間では、どの写像 $X\to X$ も連続なので、自己同型群は置換全体 $S_X$ である。位相を付けても自己同型が減らない例である。

群 $G$ に対し、対象が 1 つ $\ast$ で、射の集合が $G$、合成が $G$ の積であるような圏 $\mathbf{B}G$ を考える。$G$ の元はすべて逆元をもつので、すべての射が同型射であり、$\operatorname{Aut}_{\mathbf{B}G}(\ast)=G$ である。したがって、どの群も、ある圏のある対象の自己同型群として現れる（Mac98 Chapter I）。

1. $\mathbb{Z}$ の自己準同型 $n\mapsto2n$ は単射だが全射でなく、自己同型でない。
2. 体 $k$ 上の多項式環 $k[x]$ の環準同型 $x\mapsto x^2$（$f(x)\mapsto f(x^2)$）は単射だが全射でない（$x$ が像に入らない）。
3. 可算個の変数の多項式環 $k[x_1,x_2,\dots]$ の環準同型で $x_1\mapsto0$、$x_{i+1}\mapsto x_i$ と定めるものは全射だが単射でない（$x_1$ が $0$ に移る）。
   これらは「自己準同型である」を満たすが「逆射をもつ」を満たさない。有限集合の自己写像では単射・全射・全単射が同値なので（prop-automorphism-cyclic の証明ではこのうち全射 ⇒ 全単射を使った）、有限群の自己準同型は単射なら自己同型であるが、無限の対象では単射性だけ・全射性だけからは自己同型であることが従わない。

各整数 $n$ について 2 点集合 $X_n=\{a_n,b_n\}$ をとり、$n<0$ なら離散位相、$n\ge0$ なら密着位相を入れる。$X$ をこれらの直和空間（非交和 の定義「直和位相」。開集合は各 $X_n$ の開集合 $U_n$ の和集合 $\bigcup_nU_n$）とし、$f\colon X\to X$ を $f(a_n)=a_{n+1}$、$f(b_n)=b_{n+1}$ で定める。
$f$ は全単射で連続である。実際 $X$ の開集合 $U=\bigcup_nU_n$ の逆像は $\bigcup_nf^{-1}(U_{n+1})$ で、$f^{-1}(U_{n+1})\subset X_n$ は、$n<0$ なら $X_n$ が離散なので開であり、$n\ge0$ なら $X_{n+1}$ が密着なので $U_{n+1}$ は $\emptyset$ か $X_{n+1}$ で、逆像は $\emptyset$ か $X_n$ となって開である。一方、逆写像 $f^{-1}$ は連続でない。$\{a_{-1}\}$ は離散空間 $X_{-1}$ の開集合なので $X$ の開集合だが、$(f^{-1})^{-1}(\{a_{-1}\})=f(\{a_{-1}\})=\{a_0\}$ は密着空間 $X_0$ の空でない真部分集合で、開集合でない。
よって $f$ は $X$ から $X$ への連続な全単射だが、位相空間の圏の自己同型ではない。この例は「始域と終域が同じで、連続な全単射である」を満たすが「逆写像が連続である」を満たさず、群・環で成り立つ含意「全単射な自己準同型は自己同型である」が位相空間では成り立たないことを示す。始域と終域が異なる場合のより簡単な例は 同型 の記事の例「反例：連続な全単射は同型射とは限らない」にある。

1. $G$ がアーベル群なら $Z(G)=G$ なので $\operatorname{Inn}(G)=\{\mathrm{id}\}$、$\operatorname{Out}(G)\cong\operatorname{Aut}(G)$ である。たとえば $\operatorname{Out}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$（prop-automorphism-cyclic）であり、$n\ge3$ なら $[x]\mapsto[-x]$ は恒等写像でない外部自己同型である。
2. 3 次の対称群 $S_3$ では $Z(S_3)=\{e\}$ で、$\operatorname{Aut}(S_3)=\operatorname{Inn}(S_3)\cong S_3$、$\operatorname{Out}(S_3)=\{\mathrm{id}\}$ である（3次の対称群 の記事の命題「自己同型群」）。
3. 可換でない単純群 $G$ では $Z(G)=\{e\}$ なので、1 により $G\cong\operatorname{Inn}(G)$ であり、$G$ は自分の自己同型群の正規部分群として埋め込まれる。