有理性定理(極小モデル理論)

Kleimanの判定法(豊富性) により、数値的同値類の有限次元実ベクトル空間 $N^1(X)_{\mathbb{R}}$ の中で、ネフな類の集合 $\operatorname{Nef}$ は閉凸錐で、豊富な類の集合はその内部である。豊富な類の集合は開集合なので、小さな $t>0$ で $H+tA$ は豊富であり、$r>0$ である。すべての $t$ で $H+tA$ がネフなら、$\frac1tH+A\in\operatorname{Nef}$ で $t\to\infty$ として $A$ がネフになり、仮定に反する。よって $r<\infty$ である。$\operatorname{Nef}$ は閉じているので $H+rA$ はネフである。$H+rA$ が豊富なら、開集合であることからさらに大きな $t$ でネフになり、$r$ の定義に反する。$0\le t< r$ なら
$$ H+tA=\Bigl(1-\frac tr\Bigr)H+\frac tr(H+rA) $$
は豊富とネフの和で豊富である。$t>r$ で $H+tA$ がネフなら、同じ凸結合で $H+rA$ が豊富になって矛盾する。$\square$

曲線の上でネフであることは次数が $0$ 以上であることと同値である。$2g-2+\deg B<0$ と $\deg B\ge0$ から $g=0$ である。$H+t(K_X+B)$ の次数は $e+t\deg(K_X+B)$ なので、$r=e/(-\deg(K_X+B))=ae/d$ である。$a(K_X+B)$ は整数係数なので $d$ は正の整数で、$d=a(2-\deg B)\le2a$ である。$\square$

$\alpha:=r/a>0$ とおく。
$r$ が無理数の場合．$\alpha$ は無理数なので、無理回転の軌道は稠密であり（円周の回転）、正の整数 $x$ について $\lceil\alpha x\rceil-\alpha x$ の値は $(0,1)$ の中で稠密である。よって任意の $\eta>0$ について、いくらでも大きな整数の組 $(x,y)$ で $0< ay-rx<\eta$ となるものがある。$\eta=\varepsilon/(n+1)$ として $(x,y)$ をとると、$k=1,\dots,n+1$ について $k(x,y)$ も十分大きく、$0< a(ky)-r(kx)<\varepsilon$ をみたす。1 変数の多項式 $P(tx,ty)$ は次数 $n$ 以下で $n+1$ 個の点 $t=1,\dots,n+1$ で $0$ になるので恒等的に $0$ であり、$1$ 次式 $yX-xY$ が $P(X,Y)$ を割る。傾きの差 $y/x-\alpha=(y-\alpha x)/x$ は正で、$x$ を大きくとればいくらでも小さくできるので、原点を通る相異なる直線が無限にとれる。互いに比例しない $1$ 次式が無限に多く $P$ を割ることになり、$P\ne0$ に反する。
$r$ が有理数の場合．$r=u/v$（$u,v$ は互いに素な正の整数）とする。$j\ge1$ について、$vy'-ux'=j$ の整数解 $(x',y')$ があり、$(x,y):=(ax'+avk,\ y'+uk)$（$k\in\mathbb{Z}$）は
$$ ay-rx=\frac{a(vy'-ux')}{v}=\frac{aj}{v} $$
をみたす。$aj/v<\varepsilon$ なら、この直線の上の十分大きな格子点は無限にあって $P$ はそこで $0$ になるので、$P$ は直線全体で $0$ になり、$1$ 次式 $aY-rX-aj/v$ が $P$ を割る。$j$ が異なれば互いに素な $1$ 次式なので、そのような $j$ は高々 $n$ 個である。$aj/v<\varepsilon$ をみたす $j\ge1$ の個数は $\lceil\varepsilon v/a\rceil-1$ なので、$\lceil\varepsilon v/a\rceil\le n+1$、すなわち $v\le a(n+1)/\varepsilon$ である。$\square$

prop-rat-threshold により $r$ は正の実数である。整数 $p,q$ について $M(p,q):=pH+qK_X$ とおき、
$$ P(p,q):=\chi(\mathcal{O}_X(M(p,q)))=\chi(\mathcal{O}_X)+\frac12M(p,q)\cdot\bigl(M(p,q)-K_X\bigr) $$
とする。$P$ は次数 $2$ 以下の多項式である。$p$ が大きければ $pH$ は豊富で高次のコホモロジーが消えるので、$P(p,0)=h^0(\mathcal{O}_X(pH))>0$ であり、$P\ne0$ である。
帯の中の消滅．$p,q>0$、$0< q-rp<1$ とする。$q-1< rp$ なので、$t:=(q-1)/p$ は $0\le t< r$ をみたし、$M(p,q)-K_X=p(H+tK_X)$ は prop-rat-threshold により豊富である。小平の消滅定理により $i>0$ で $H^i(X,\mathcal{O}_X(M(p,q)))=0$ であり、
$$ h^0(\mathcal{O}_X(M(p,q)))=P(p,q) $$
である。
$(-1)$ 曲線．このような $(p,q)$ で $P(p,q)\ne0$ とする。$M:=M(p,q)$ と線形同値な有効因子 $D$ がある。$q/p>r$ なので $M=p(H+\frac qpK_X)$ はネフでなく、$M\cdot C<0$ となる既約曲線 $C$ がある。$D\cdot C<0$ なので $C$ は $D$ の成分であり、$D=cC+D'$（$c>0$、$D'$ は $C$ を含まない有効因子）と書くと $cC^2\le D\cdot C<0$ である。よって $C^2<0$ である。また $pH\cdot C>0$、$q>0$ と $M\cdot C<0$ から $K_X\cdot C<0$ である。随伴公式 $2p_a(C)-2=C^2+K_X\cdot C\le-2$ より $p_a(C)=0$、$C^2=K_X\cdot C=-1$ である。$e:=H\cdot C$ は正の整数で、$M\cdot C=pe-q<0$ から $e< q/p< r+1/p$ である。一方 $H+rK_X$ はネフなので $(H+rK_X)\cdot C=e-r\ge0$ である。以上より
$$ r\le e< r+\frac1p. $$
結論．$r$ が無理数であるか、$r$ が有理数で分母が $3$ より大きいとする。lem-rat-lattice を $a=1$、$n=2$、$\varepsilon=1$、$(x,y)=(p,q)$ に使うと、いくらでも大きな $(p,q)$ で $0< q-rp<1$、$P(p,q)\ne0$ となるものがある。そのとき上の不等式をみたす整数 $e$ があるので、$p\to\infty$ とすると $\lceil r\rceil< r+1/p$ が大きな $p$ で成り立つ。これは $r$ が整数であることを意味し、仮定に反する。$\square$

thm-rat-main により $r=u/v$ は有理数である。$a(K_X+B)$ が Cartier となる $a\ge1$ をとり、$L:=a(vH+u(K_X+B))$ とおくと、$L$ は $H+r(K_X+B)$ の正の倍数である Cartier 因子で、prop-rat-threshold によりネフで豊富でない。正の整数 $w$ について
$$ wL-(K_X+B)=wav\Bigl(H+\frac{wau-1}{wav}(K_X+B)\Bigr) $$
であり、$w$ が大きければ係数 $t=r-1/(wav)$ は $0\le t< r$ をみたすので右辺は豊富である。基点自由定理 により $m\gg0$ で $\lvert mL\rvert$ は基点をもたない。同じ記事の命題「半豊富な因子と射」により求める $f$ があり、$L\cdot C=0$ が $f(C)$ が 1 点であることと同値である。$H\cdot C>0$ なので、$L\cdot C=0$ なら $(K_X+B)\cdot C<0$ である。$f$ が有限なら、$L$ は豊富な可逆層の有限射による引き戻しになって豊富である。$L$ は豊富でないので、$f$ は有限でなく、曲線を潰す。$\square$