Tate–中山の定理
概要
Tate–中山の定理（Tate–Nakayama theorem）とは、有限群 $G$ の加群 $C$ と $\gamma\in H^2(G,C)$ について、各 Sylow 部分群 $G_p$ で $H^1(G_p,C)=0$ かつ $H^2(G_p,C)$ が $\gamma$ の制限で生成される位数 $|G_p|$ の巡回群なら、すべての部分群 $H$ と整数 $n$ について $\gamma$ の制限とのカップ積が同型 $\hat H^n(H,D)\cong\hat H^{n+2}(H,C\otimes D)$ （$D=\mathbb{Z}$ など $\operatorname{Tor}(C,D)=0$ の係数）を与えるという定理である。$n=-2$ から $G^{\mathrm{ab}}\cong C^G/N_GC$ が従い、局所体の乗法群では局所相互法則になる。
前提知識: Tateコホモロジー, 群コホモロジー, カップ積, Sylowの定理, Tor関手
Tate–中山の定理（Tate–Nakayama theorem）とは、有限群 $G$、$G$ 加群 $C$ と類 $\gamma\in H^2(G,C)$ について、各素数 $p$ の Sylow $p$ 部分群 $G_p$ で $H^1(G_p,C)=0$ が成り立ち、$H^2(G_p,C)$ が $\gamma$ の制限で生成される位数 $|G_p|$ の巡回群であるなら、$G$ のすべての部分群 $H$ とすべての整数 $n$ について、$\gamma$ の制限とのカップ積が Tate コホモロジーの同型
$$
\hat H^n(H,\mathbb{Z})\xrightarrow{\ \sim\ }\hat H^{n+2}(H,C)
$$
を与える、という定理である。係数を $\operatorname{Tor}(C,D)=0$ となる $G$ 加群 $D$ に広げた $\hat H^n(H,D)\cong\hat H^{n+2}(H,C\otimes D)$ も成り立つ。
条件は次数 $1$ と $2$、しかも Sylow 部分群だけで確かめればよいのに、結論はすべての次数とすべての部分群に及ぶ。$n=-2$ の場合が $G$ の アーベル化 と $C^G/N_GC$ の同型（中山写像）であり、$C$ を局所体の乗法群にとると局所相互法則になる。巡回群のコホモロジーの周期性も $C=\mathbb{Z}$ の場合として含まれる。$D=\mathbb{Z}$ の場合（Tate の定理）は J. Tate による。Ser79 は一般の $D$ の形を Tate と中山正（Tadasi Nakayama）の定理として述べ、証明に使うコホモロジー的に自明な加群の理論を中山に帰している（Chapter IX, §8, pp. 148–149 と §6 の末尾の Note, p. 147）。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-tn-splitting | 分裂加群 $C(\gamma)$ と完全列 $0\to C\to C(\gamma)\to\mathbb{Z}[G]\to\mathbb{Z}\to0$ |
| lem-tn-connecting | 2 回の連結写像の合成は $\gamma$ の制限とのカップ積 |
| thm-tn-main | 主定理：$\hat H^n(H,D)\cong\hat H^{n+2}(H,C\otimes D)$ |
| cor-tn-class-module | すべての部分群 $H$ で $H^1(H,C)=0$、$H^2(H,C)\cong\mathbb{Z}/\lvert H\rvert$ |
| cor-tn-nakayama-map | 中山写像 $G^{\mathrm{ab}}\cong C^G/N_GC$ |
定義と記号
以下、$G$ は有限群、$H$ は $G$ の部分群とし、$G$ 加群は自然に $H$ 加群とみなす。$\hat H^n(H,M)$ は Tateコホモロジー の記事の定義に従い、$n\ge1$ では $H^n(H,M)$ と一致する。$H^n$ はコチェインで計算する（群コホモロジー の記事の定義「コチェインと余境界写像」）。$\gamma\in H^2(G,C)$ を代表する $2$ コサイクル $c$ を $H\times H$ に制限した類を $\gamma_H:=\operatorname{res}_H\gamma\in H^2(H,C)$ と書く（制限）。Tate コホモロジーは有限直和と可換である。
$G$ 加群 $A,D$ について、$A\otimes D:=A\otimes_{\mathbb{Z}}D$ に $\sigma(a\otimes d)=\sigma a\otimes\sigma d$ で $G$ を作用させる。$\operatorname{Tor}(A,D):=\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(A,D)$ はアーベル群としての Tor関手 で、$A$ か $D$ が捩れのないアーベル群なら $0$ である。$\mathbb{Z}$ には $G$ が自明に作用するものとし、$\bar1\in\hat H^0(H,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/|H|\mathbb{Z}$ を $1$ の類とする。$I_G\subset\mathbb{Z}[G]$ は添加写像 $\varepsilon\colon\mathbb{Z}[G]\to\mathbb{Z}$ の核で、$\{\tau-1\}_{\tau\ne1}$ を $\mathbb{Z}$ 上の基底にもつ（群環 の記事の命題「添加イデアルの基底」）。
Tate コホモロジーのカップ積は、次の性質で特徴づけられる。
有限群 $H$ と $H$ 加群の双線形写像 $A\times B\to E$（$H$ の作用と両立するもの）ごとに、双線形写像 $\hat H^p(H,A)\times\hat H^q(H,B)\xrightarrow{\cup}\hat H^{p+q}(H,E)$（$p,q\in\mathbb{Z}$）が一意に定まり、次を満たす。
- 加群について関手的である。
- $p=q=0$ では $A^H\times B^H\to E^H$ から誘導される。
- $0\to A'\to A\to A''\to0$ と $0\to E'\to E\to E''\to0$ が完全で、$A\times B\to E$ が $A'\times B\to E'$ と $A''\times B\to E''$ を誘導するなら、連結写像 $\delta$ について $\delta(\alpha''\cup\beta)=\delta\alpha''\cup\beta$ である。
- 第 2 変数の完全列 $0\to B'\to B\to B''\to0$ についても同様で、$\alpha\in\hat H^p(H,A)$ について $(-1)^p\delta(\alpha\cup\beta'')=\alpha\cup\delta\beta''$ である。
この記事では thm-tn-cup を証明しない。存在と一意性は NSW20 Chapter I の Proposition (1.4.7)（p. 42）である。証明で作る完全標準分解の対角近似の $p,q\ge0$ の成分は $(\sigma_0,\dots,\sigma_{p+q})\mapsto(\sigma_0,\dots,\sigma_p)\otimes(\sigma_p,\dots,\sigma_{p+q})$（同 p. 43）で、群コホモロジー の記事の定義「対角近似とカップ積」の $D_X$ と同じなので、$p,q\ge1$ で係数が $G$ の自明に作用する可換環 $A$（積 $A\times A\to A$）のときは同記事のカップ積と一致する。一般の対についても同じ式でコチェインの積を与える。以下では自然な双線形写像 $A\times D\to A\otimes D$ についてこの積を使う。
$H$ 加群 $D$ と $\beta\in\hat H^q(H,D)$ について、$\mathbb{Z}\times D\to D$、$(m,d)\mapsto md$ に関する積は $\bar1\cup\beta=\beta$ を満たす。
要点：$\beta\mapsto\bar1\cup\beta$ は $q=0$ で恒等写像で、連結写像と可換なので、誘導加群による次数のずらしで全次数に広がる。
詳しい証明を開く
$\varphi_q(\beta):=\bar1\cup\beta$ とおく。thm-tn-cup の 2 により $\varphi_0=\mathrm{id}$、同じ定理の 4（$p=0$）により $\varphi$ は $H$ 加群の短完全列の連結写像 $\delta$ と可換である。完全列 $0\to D\to\operatorname{Map}(H,D)\to D_1\to0$（$d\mapsto(\tau\mapsto\tau d)$）と $0\to D_{-1}\to\mathbb{Z}[H]\otimes D\to D\to0$（$h\otimes d\mapsto hd$）の中央の加群は、Tateコホモロジー の記事の命題「誘導加群のTateコホモロジーの消滅」とその証明の同型 $\mathbb{Z}[H]\otimes D\cong\operatorname{Map}(H,D_0)$（$D_0$ は $D$ に自明な作用を入れたもの）により Tate コホモロジーをもたない。よって連結写像 $\hat H^{q-1}(H,D_1)\to\hat H^q(H,D)$ と $\hat H^q(H,D)\to\hat H^{q+1}(H,D_{-1})$ は同型である。すべての加群で $\varphi_{q-1}=\mathrm{id}$ なら $\varphi_q(\delta x)=\delta\varphi_{q-1}(x)=\delta x$ から $\varphi_q=\mathrm{id}$、すべての加群で $\varphi_{q+1}=\mathrm{id}$ なら $\delta\varphi_q(y)=\varphi_{q+1}(\delta y)=\delta y$ から $\varphi_q=\mathrm{id}$ である。$q=0$ から両方向に帰納すればよい。$\square$
Tate–中山の条件
$C$ を $G$ 加群、$\gamma\in H^2(G,C)$ とする。各素数 $p$ について Sylow $p$ 部分群 $G_p$ を 1 つずつとり、次の 2 条件を考える。
- (T1) $H^1(G_p,C)=0$。
- (T2) $H^2(G_p,C)$ は $\gamma_{G_p}$ で生成される位数 $|G_p|$ の巡回群である。
すべての素数 $p$ で (T1) と (T2) が成り立つことを、$(C,\gamma)$ が Tate–中山の条件を満たすという。$p\nmid|G|$ なら $G_p=1$ で、(T1)・(T2) は自動的に成り立つ。
$G$ のすべての部分群 $H$ について $H^1(H,C)=0$ で、$H^2(H,C)$ が位数 $|H|$ の巡回群であるとき、$C$ を 類加群といい、$H^2(G,C)$ の生成元を 基本類という。
cor-tn-class-module により、このとき (T1)・(T2) はすべての部分群で成り立つので、条件は $G_p$ の選び方によらない。
$G$ 加群 $M$ が コホモロジー的に自明であるとは、$G$ のすべての部分群 $H$ とすべての $n\in\mathbb{Z}$ について $\hat H^n(H,M)=0$ となることをいう。
任意の $G$ 加群 $D$ について $\mathbb{Z}[G]\otimes D$ はコホモロジー的に自明である。$G=\bigsqcup_iHg_i$ と右剰余類に分けると $\mathbb{Z}[G]=\bigoplus_i\mathbb{Z}[H]g_i$ なので、$\mathbb{Z}[G]\otimes D$ は $H$ 加群として $\mathbb{Z}[H]\otimes D\cong\operatorname{Map}(H,D_0)$ の有限直和になるからである。証明の鍵は次の判定法である。
- $G$ 加群 $M$ について、各素数 $p$ ごとに整数 $q_p$ があって $\hat H^{q_p}(G_p,M)=\hat H^{q_p+1}(G_p,M)=0$ となるなら、$M$ はコホモロジー的に自明である。
- $M$ がコホモロジー的に自明で、$G$ 加群 $D$ について $\operatorname{Tor}(M,D)=0$ なら、$M\otimes D$ もコホモロジー的に自明である。
この記事では thm-tn-criterion を証明しない。1 は Ser79 Chapter IX, §5 の Theorem 8（i ⇒ ii、p. 145）と NSW20 Chapter I の Proposition (1.8.4)（p. 81）、2 は Ser79 同節の Theorem 9（p. 145）である。1 の証明は、$p$ 倍で消える加群に帰着し、そこで $\mathbb{F}_p[G_p]$ 加群が自由であることを示すものである。
主定理
有限群 $G$、$G$ 加群 $C$ と $\gamma\in H^2(G,C)$ が Tate–中山の条件を満たすとする。$D$ を $\operatorname{Tor}(C,D)=0$ となる $G$ 加群とする。このとき $G$ のすべての部分群 $H$ とすべての $n\in\mathbb{Z}$ について、$C\times D\to C\otimes D$ に関する積
$$
\hat H^n(H,D)\longrightarrow\hat H^{n+2}(H,C\otimes D),\qquad\beta\longmapsto\gamma_H\cup\beta
$$
は同型である。とくに $D=\mathbb{Z}$ として、$\beta\mapsto\gamma_H\cup\beta$ は同型 $\hat H^n(H,\mathbb{Z})\cong\hat H^{n+2}(H,C)$ を与える（Tate の定理）。
$\gamma$ を「殺す」加群 $C(\gamma)$ を作り、$\gamma$ とのカップ積を 2 つの短完全列の連結写像の合成として実現する。(T1)・(T2) は $C(\gamma)$ のコホモロジーが Sylow 部分群の次数 $1,2$ で消えることと同値になり、thm-tn-criterion がそれをすべての次数とすべての部分群へ広げる。
分裂加群
$c$ を $\gamma$ を代表する $2$ コサイクルで $c(1,\tau)=c(\sigma,1)=0$（$\sigma,\tau\in G$）を満たすものとする。$B$ を $\sigma\in G\setminus\{1\}$ で添字づけた基底 $b_\sigma$ をもつ自由アーベル群、$b_1:=0$ とし、$C(\gamma):=C\oplus B$ に
$$
\sigma\cdot b_\tau:=b_{\sigma\tau}-b_\sigma+c(\sigma,\tau)\qquad(\sigma,\tau\in G)
$$
と $C$ 上の元の作用で $G$ を作用させる。
- これは $G$ 加群の構造であり、$\varphi(x)=0$（$x\in C$）、$\varphi(b_\tau)=\tau-1$ で定まる $\varphi\colon C(\gamma)\to\mathbb{Z}[G]$ について
$$ 0\longrightarrow C\longrightarrow C(\gamma)\xrightarrow{\ \varphi\ }\mathbb{Z}[G]\xrightarrow{\ \varepsilon\ }\mathbb{Z}\longrightarrow0 $$
は $G$ 加群の完全列である。とくに $0\to C\to C(\gamma)\to I_G\to0$ と $0\to I_G\to\mathbb{Z}[G]\to\mathbb{Z}\to0$ は完全である。 - 後者の列の連結写像を $\delta_1\colon\hat H^0(H,\mathbb{Z})\to H^1(H,I_G)$、前者の列の連結写像を $\delta_2\colon H^1(H,I_G)\to H^2(H,C)$ とすると、$\delta_2\delta_1(\bar1)=\gamma_H$ である。
要点：作用の結合律はコサイクル条件そのものであり、$\delta_1(\bar1)$ を代表する $\sigma\mapsto\sigma-1$ を $\sigma\mapsto b_\sigma$ に持ち上げると、その余境界が $c$ になる。
詳しい証明を開く
正規化された代表の存在：コサイクル条件 $\rho c(\sigma,\tau)-c(\rho\sigma,\tau)+c(\rho,\sigma\tau)-c(\rho,\sigma)=0$ に $(\rho,\sigma,\tau)=(1,1,\tau)$ と $(\sigma,1,1)$ を入れると $c(1,\tau)=c(1,1)$、$c(\sigma,1)=\sigma c(1,1)$ である。$f(\sigma):=c(1,1)$ とおくと $(d^1f)(\sigma,\tau)=\sigma c(1,1)$ なので、$c-d^1f$ は同じ類を代表し、$(c-d^1f)(1,\tau)=(c-d^1f)(\sigma,1)=0$ である。
1：$c(1,\tau)=0$ から $1\cdot b_\tau=b_\tau$ である。$\rho(\sigma b_\tau)=b_{\rho\sigma\tau}-b_\rho+c(\rho,\sigma\tau)-b_{\rho\sigma}+b_\rho-c(\rho,\sigma)+\rho c(\sigma,\tau)$ は、コサイクル条件により $b_{\rho\sigma\tau}-b_{\rho\sigma}+c(\rho\sigma,\tau)=(\rho\sigma)b_\tau$ に等しい。$\tau=1$ でも $\sigma b_1=c(\sigma,1)=0$ と矛盾しない。よって $G$ 加群である。$\varphi(\sigma b_\tau)=(\sigma\tau-1)-(\sigma-1)=\sigma(\tau-1)$ なので $\varphi$ は $G$ 準同型で、像は $I_G$ である。$\varphi(x+\sum_\tau n_\tau b_\tau)=\sum_\tau n_\tau(\tau-1)=0$ なら $\{\tau-1\}_{\tau\ne1}$ が基底なので $n_\tau=0$ であり、$\ker\varphi=C$ である。
2：$\hat H^0\to H^1$ の連結写像は $H^0\to H^1$ の通常の連結写像から誘導される（Tateコホモロジー の記事の定理「Tateコホモロジーの長完全列」の証明）。$1\in\mathbb{Z}^H$ を $1\in\mathbb{Z}[G]$ に持ち上げると、$\delta_1(\bar1)$ は $1$ コサイクル $\sigma\mapsto\sigma\cdot1-1=\sigma-1\in I_G$ の類である。これを $x(\sigma):=b_\sigma\in C(\gamma)$ に持ち上げると $(d^1x)(\sigma,\tau)=\sigma b_\tau-b_{\sigma\tau}+b_\sigma=c(\sigma,\tau)$（$\sigma,\tau\in H$）は $C$ に値をとるので、$\delta_2\delta_1(\bar1)$ は $c|_{H\times H}$ の類 $\gamma_H$ である。$\square$
$C(\gamma)$ では $\gamma$ の像が $0$ になる。これが分裂加群（splitting module）の名の由来である。
連結写像とカップ積
$D$ を $G$ 加群とする。$0\to I_G\to\mathbb{Z}[G]\to\mathbb{Z}\to0$ は $\mathbb{Z}$ 上で分裂し、$I_G$ は自由アーベル群で $\operatorname{Tor}(I_G,D)=0$ なので、
$$
0\to I_G\otimes D\to\mathbb{Z}[G]\otimes D\to D\to0,\qquad0\to C\otimes D\to C(\gamma)\otimes D\to I_G\otimes D\to0
$$
は完全である。それぞれの連結写像を $\delta_1\colon\hat H^n(H,D)\to\hat H^{n+1}(H,I_G\otimes D)$、$\delta_2\colon\hat H^{n+1}(H,I_G\otimes D)\to\hat H^{n+2}(H,C\otimes D)$ と書く（$D=\mathbb{Z}$ なら prop-tn-splitting の 2 の記号と同じ）。
すべての $n\in\mathbb{Z}$ と $\beta\in\hat H^n(H,D)$ について $\delta_2\delta_1(\beta)=\gamma_H\cup\beta$ である。
$\mathbb{Z}[G]\times D\to\mathbb{Z}[G]\otimes D$ は $I_G\times D\to I_G\otimes D$ と $\mathbb{Z}\times D\to D$ を誘導し、$C(\gamma)\times D\to C(\gamma)\otimes D$ は $C\times D\to C\otimes D$ と $I_G\times D\to I_G\otimes D$ を誘導する。lem-tn-unit、thm-tn-cup の 3 を 2 回、prop-tn-splitting の 2 を順に使うと
$$
\delta_2\delta_1(\beta)=\delta_2\delta_1(\bar1\cup\beta)=\delta_2(\delta_1\bar1\cup\beta)=(\delta_2\delta_1\bar1)\cup\beta=\gamma_H\cup\beta
$$
である。$\square$
主定理の証明
段 1（$C(\gamma)$ は $G_p$ の次数 $1,2$ でコホモロジーをもたない）。$\mathbb{Z}[G]$ はコホモロジー的に自明なので、$\delta_1\colon\hat H^m(G_p,\mathbb{Z})\to\hat H^{m+1}(G_p,I_G)$ はすべての $m$ で同型である。$\hat H^{-1}(G_p,\mathbb{Z})=\ker(|G_p|\cdot)=0$、$\hat H^0(G_p,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/|G_p|$、$H^1(G_p,\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}(G_p,\mathbb{Z})=0$ なので、$\hat H^0(G_p,I_G)=H^2(G_p,I_G)=0$ で、$H^1(G_p,I_G)$ は $\delta_1\bar1$ で生成される位数 $|G_p|$ の巡回群である。$0\to C\to C(\gamma)\to I_G\to0$ の長完全列は
$$
0\to H^1(G_p,C)\to H^1(G_p,C(\gamma))\to H^1(G_p,I_G)\xrightarrow{\delta_2}H^2(G_p,C)\to H^2(G_p,C(\gamma))\to0
$$
となる。prop-tn-splitting の 2 により $\delta_2(\delta_1\bar1)=\gamma_{G_p}$ なので、(T2) により $\delta_2$ は位数 $|G_p|$ の巡回群の間の全射、すなわち同型である。(T1) とあわせて $H^1(G_p,C(\gamma))=H^2(G_p,C(\gamma))=0$ である。
段 2（コホモロジー的自明性）。段 1 と thm-tn-criterion の 1 により $C(\gamma)$ はコホモロジー的に自明である。アーベル群として $C(\gamma)=C\oplus B$、$B$ は自由なので $\operatorname{Tor}(C(\gamma),D)=\operatorname{Tor}(C,D)=0$ であり、thm-tn-criterion の 2 により $C(\gamma)\otimes D$ もコホモロジー的に自明である。$\mathbb{Z}[G]\otimes D$ がコホモロジー的に自明なことは前に見た。
段 3（同型）。前の小節の 2 つの完全列の中央の加群は、どの部分群 $H$ のどの次数でもコホモロジーをもたないので、$\delta_1$ と $\delta_2$ はすべての $n$ で同型である。lem-tn-connecting により合成は $\beta\mapsto\gamma_H\cup\beta$ である。$\square$
この証明は NSW20 Chapter III の Theorem (3.1.4)（p. 150）の議論を、Ser79 Chapter IX の Theorem 14（p. 149）の仮定に合わせて書き直したものである。
系
thm-tn-main の仮定のもとで、$G$ のすべての部分群 $H$ について $H^1(H,C)=0$ であり、$H^2(H,C)$ は $\gamma_H$ で生成される位数 $|H|$ の巡回群である。とくに $C$ は類加群で、$\gamma$ はその基本類である。さらに $H^3(H,C)=0$、$H^4(H,C)\cong\operatorname{Hom}(H,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ である。
prf-tn-main の段 3（$D=\mathbb{Z}$）の同型 $\delta_2\delta_1\colon\hat H^n(H,\mathbb{Z})\to\hat H^{n+2}(H,C)$ を $n=-1,0,1,2$ で使う。$\hat H^{-1}(H,\mathbb{Z})=0$、$\hat H^0(H,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/|H|$ で生成元 $\bar1$ の像は prop-tn-splitting の 2 により $\gamma_H$、$H^1(H,\mathbb{Z})=0$、$H^2(H,\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$（群コホモロジー の記事の系「一意可除な係数と $H^2(G,\mathbb{Z})$」）である。$\square$
thm-tn-main の仮定のもとで、$\beta\mapsto\gamma\cup\beta$ と $\hat H^{-2}(G,\mathbb{Z})=H_1(G,\mathbb{Z})\cong G^{\mathrm{ab}}$ の合成は同型
$$
G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]\xrightarrow{\ \sim\ }\hat H^0(G,C)=C^G/N_GC
$$
を与える。
thm-tn-main で $H=G$、$D=\mathbb{Z}$、$n=-2$ とし、群のホモロジー の記事の命題「低い次数のホモロジー」の 3 の同型 $H_1(G,\mathbb{Z})\cong G^{\mathrm{ab}}$ と合成する。$\square$
この同型を 中山写像（Nakayama map）という（NSW20 Chapter III の Theorem (3.1.6), p. 152）。$\gamma$ を代表するコサイクル $c$ で書くと、$\sigma\bmod[G,G]$ は $\sum_{\tau\in G}c(\tau,\sigma)\bmod N_GC$ に写る（同 Theorem (3.1.7), p. 153。Ser79 Chapter XI, §3, p. 169。この記事では証明しない）。
例
$G$ を位数 $m$ の巡回群、$C=\mathbb{Z}$（自明な作用）、$\gamma$ を $H^2(G,\mathbb{Z})$ の生成元とする。(T1) は $\operatorname{Hom}(G_p,\mathbb{Z})=0$ である。$0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to0$ の連結写像は同型 $\operatorname{Hom}(H,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\cong H^2(H,\mathbb{Z})$ を与え（群コホモロジー の記事の系「一意可除な係数と $H^2(G,\mathbb{Z})$」）、コチェインの制限と可換なので指標の制限に対応する。$\gamma$ は単射な指標 $\chi\colon G\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ に対応し、$\chi|_{G_p}$ は位数 $|G_p|$ の巡回群 $\operatorname{Hom}(G_p,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ の生成元なので、(T2) が成り立つ。
thm-tn-main により、すべての部分群 $H$ と $G$ 加群 $D$ について $\gamma_H$ とのカップ積は同型 $\hat H^n(H,D)\cong\hat H^{n+2}(H,D)$ を与える。これは Tateコホモロジー の記事の定理「巡回群のTateコホモロジーの周期性」を、生成元とのカップ積として与え直したものである。中山写像は $G\cong\mathbb{Z}/m$ である。
$G=\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{1,\iota\}$、$C=\mathbb{C}^\times$ とする。Tateコホモロジー の記事の例「複素数体の乗法群」により $H^1(G,\mathbb{C}^\times)=1$、$H^2(G,\mathbb{C}^\times)\cong\mathbb{R}^\times/\mathbb{R}_{>0}\cong\mathbb{Z}/2$ である。$G_2=G$ なので、$\gamma$ を $H^2$ の生成元にとれば Tate–中山の条件が成り立ち、cor-tn-nakayama-map は同型 $G\cong\mathbb{R}^\times/\mathbb{R}_{>0}$、$\iota\mapsto[-1]$ を与える。
$K$ を局所体、$L/K$ を次数 $n$ の Galois 拡大、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$、$C=L^\times$ とし、$G_p$ の固定体を $K_p$ とする。Hilbertの定理90 により $H^1(G_p,L^\times)=1$ である。中間体 $E$ について $H^2(\operatorname{Gal}(L/E),L^\times)$ を $\mathrm{Br}(L/E)$ と同一視すると、局所体のBrauer群 の記事の定理「局所体のBrauer群」の (iv) により $H^2(G_p,L^\times)$ は位数 $|G_p|$ の巡回群であり、$\operatorname{inv}_K(\gamma)=1/n$ となる $\gamma$（基本類）の制限の不変量は (iii) により $[K_p:K]/n=1/|G_p|$ で、制限は生成元である。こうして $(L^\times,\gamma)$ は Tate–中山の条件を満たす（Ser79 Chapter XIII, §4 の Theorem 1, p. 195 と Chapter XI, §3, p. 168）。cor-tn-nakayama-map は同型 $G^{\mathrm{ab}}\cong K^\times/N_{L/K}L^\times$ を与え、その逆が局所相互写像である（同 Chapter XIII, §4 の Proposition 8 と系, p. 196）。大域体ではイデール類群 $C_L$ が同じ条件を満たす（NSW20 Chapter VIII の Theorem (8.1.22), p. 441）。
反例
各行は、表の左の条件だけを外し、ほかの条件は保ったまま、主定理の結論が成り立たなくなる例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| (T1) | $G=\mathbb{Z}/2$、$C=\mathbb{Z}/2$（自明な作用）、$\gamma$ は $H^2$ の生成元 | $\hat H^{-1}(G,\mathbb{Z})\cong H^1(G,C)$ |
| (T2) の「位数 $\lvert G_p\rvert$ の巡回群」 | $G=\mathbb{Z}/2$、$C=\mathbb{Q}$（自明な作用）、$\gamma=0$ | $\hat H^0(G,\mathbb{Z})\cong H^2(G,C)$ |
| (T2) の「$\gamma_{G_p}$ で生成される」 | $G=\mathbb{Z}/2$、$C=\mathbb{Z}$、$\gamma=0$ | $\hat H^0(G,\mathbb{Z})\cong H^2(G,C)$ |
| 条件を Sylow 部分群で確かめること（$G$ 自身だけで確かめる） | $G=\mathbb{Z}/6$、$C=\mathbb{Z}\oplus A$（$A=\mathbb{Z}/3$ に生成元が $-1$ 倍で作用）、$\gamma=(\gamma_0,0)$ | $H=G_3$ での $\hat H^{-1}(H,\mathbb{Z})\cong H^1(H,C)$ |
| $\operatorname{Tor}(C,D)=0$ | $G=\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$、$C=\mathbb{C}^\times$、$D=\mathbb{Z}/2$ | $\hat H^0(G,D)\cong H^2(G,C\otimes D)$ |
どの行でも $|G|$ と素な $p$ の $G_p=1$ では条件は自動的に成り立つ。4 行目では $H=G$ での同型はなお成り立ち、崩れるのは部分群での同型である。Sylow 部分群で条件を確かめることは、結論を部分群まで広げるために要る。
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- $G=\{1,\sigma\}$ は $C=\mathbb{Z}/2$ に自明に作用し、$N_G$ は $2$ 倍で $0$ なので、Tateコホモロジー の記事の定理「巡回群のTateコホモロジーの周期性」により $H^2(G,C)\cong C^G/N_GC=\mathbb{Z}/2$、$H^1(G,C)\cong\ker N_G/(\sigma-1)C=\mathbb{Z}/2$ である。(T2) は成り立つが (T1) は成り立たない。$\hat H^{-1}(G,\mathbb{Z})=0$ なので同型はない。
- $G_2=G$ である。$\mathbb{Q}$ 上の $2$ 倍写像は全単射なので、群コホモロジー の記事の系「一意可除な係数と $H^2(G,\mathbb{Z})$」の 1 により $H^1(G,\mathbb{Q})=H^2(G,\mathbb{Q})=0$ である。(T1) は成り立ち、$H^2(G,C)=0$ は $\gamma_{G_2}=0$ で生成される巡回群だが、その位数は $1\ne2=\lvert G_2\rvert$ である。$\hat H^0(G,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\ne0$ なので同型はない。
- Tateコホモロジー の記事の例「自明な作用の $\mathbb{Z}$」により $H^1(G,\mathbb{Z})=0$、$H^2(G,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2$ で、(T1) と「位数 $2$ の巡回群」は成り立つが、$0$ は生成元でない。$0$ とのカップ積は $0$ 写像で、$\hat H^0(G,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\ne0$ なので同型でない。
- $\sigma$ を $G$ の生成元とする。$A^G=\{a\mid -a=a\}=0$ なので $\hat H^0(G,A)=0$、$(\sigma-1)A=-2A=A$ なので $\hat H^{-1}(G,A)=0$ で、周期性によりすべての $\hat H^n(G,A)$ が $0$ である。よって $H^1(G,C)=H^1(G,\mathbb{Z})=0$、$H^2(G,C)=H^2(G,\mathbb{Z})\oplus0\cong\mathbb{Z}/6$ で、$\gamma_0$ を $H^2(G,\mathbb{Z})$ の生成元とすれば $G$ 自身では (T1)・(T2) の形の条件が成り立つ。$G_2=\langle\sigma^3\rangle$ は $A$ に $-1$ 倍で作用し、同様の計算で $\hat H^n(G_2,A)=0$ なので、$p=2$ では条件が成り立つ（ex-tn-cyclic）。一方 $G_3=\langle\sigma^2\rangle$ は $A$ に自明に作用し、$N_{G_3}=3$ 倍は $A$ 上で $0$ なので $H^1(G_3,A)\cong\ker N_{G_3}/(\sigma^2-1)A=A\ne0$ であり、(T1) が成り立たない（$H^2(G_3,C)\cong\mathbb{Z}/3\oplus A$ も巡回群でない）。$\hat H^{-1}(G_3,\mathbb{Z})=0$ だが $H^1(G_3,C)\supset H^1(G_3,A)\ne0$ なので、$H=G_3$ で同型はない。$H=G$ では $\hat H^{n+2}(G,C)=\hat H^{n+2}(G,\mathbb{Z})$ で、積の関手性から $\gamma\cup\beta=(\gamma_0\cup\beta,0)$ なので、ex-tn-cyclic により同型である。この $A$ は Ser79 Chapter IX, §5 の Exercise 2（p. 146）の加群である。
- ex-tn-c-r により $(\mathbb{C}^\times,\gamma)$ は条件を満たす。$\operatorname{Tor}(\mathbb{C}^\times,\mathbb{Z}/2)$ は $\mathbb{C}^\times$ の $2$ 捩れ $\{\pm1\}\ne0$ である。複素数はすべて平方数なので $\mathbb{C}^\times\otimes\mathbb{Z}/2=\mathbb{C}^\times/(\mathbb{C}^\times)^2=0$ で、$H^2(G,C\otimes D)=0$ だが $\hat H^0(G,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2\ne0$ である。
補足
副有限群 $\mathcal{G}$ と離散 $\mathcal{G}$ 加群の組で、各有限次 Galois 部分拡大 $F/E$ について $H^1(F/E)=0$、$H^2(F/E)\cong\tfrac{1}{[F:E]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$（不変量写像）で、制限と不変量が両立するものを 類構造（class formation）という（Ser79 Chapter XI, §2, pp. 166–167。Artin–Tate による。同 p. 164）。不変量 $1/[F:E]$ の類は Tate–中山の条件を満たし、thm-tn-main の $n=-2$ が相互写像を与える（同 §3, pp. 168–169）。
$C$ が類加群なら、$\mathbb{Z}$ 上自由な $G$ 加群 $A$ について、カップ積は同型 $\hat H^i(G,\operatorname{Hom}(A,C))\cong\operatorname{Hom}(\hat H^{2-i}(G,A),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ を与える（NSW20 Chapter III の Theorem (3.1.5), p. 151。中山–Tate の双対定理。この記事では証明しない）。$A=\mathbb{Z}$、$i=0$ が中山写像である。
関連項目
- 前提: Tateコホモロジー, 群コホモロジー, カップ積, Sylowの定理
- 比較: Herbrand商, Hilbertの定理90
- 応用: 局所類体論, 局所体のBrauer群, 大域類体論
- 発展: Poitou–Tate双対, Galoisコホモロジー
参考文献
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