Moore空間

$N=0$ なら定値写像でよい。$S^n$ の互いに交わらない閉円板（小さな球冠）$B_1,\dots,B_N$ をとり、$c\colon S^n\to\bigvee_{k=1}^NS^n_k$ を、各 $B_k$ を $B_k/\partial B_k\cong S^n_k$ に写し、$B_k$ の外を基点に送る写像とする。$c_k\colon S^n\to S^n_k$ を $c$ と第 $k$ 球面への射影の合成とすると、$c_k$ は閉円板 $D_k:=S^n\setminus\operatorname{Int}B_k$ をつぶす商写像 $S^n\to S^n/D_k$ と同相 $S^n/D_k\cong B_k/\partial B_k$ の合成である。$(S^n,D_k)$ は CW 対なのでホモトピー拡張性質をもち（コファイブレーション の記事の例「CW 対と良い基点」）、$D_k$ は可縮なので、同記事の定理「可縮な部分空間をつぶす商写像」により $c_k$ はホモトピー同値で、写像度は $\pm1$ である。同相 $B_k/\partial B_k\cong S^n_k$ に鏡映を合成し直して（写像度 の記事の定理「鏡映の写像度」）、$\deg c_k=1$ とする。

良い対 の記事の定理「ウェッジ和の被約ホモロジー」により、包含 $\iota_k$ の誘導写像の和 $\bigoplus_k\tilde H_n(S^n_k)\to\tilde H_n(\bigvee_kS^n_k)$ は同型で、射影 $p_k$ は $p_k\circ\iota_l$ が $k=l$ で恒等写像、$k\ne l$ で定値写像なので、$(p_{k*})_k$ がその逆写像である。よって生成元 $[S^n]$ について $c_*[S^n]=\sum_k\iota_{k*}[S^n_k]$ である。$\alpha$ ごとに $|d_\alpha|$ 個の $k$ を割り当て（割り当てを $k\mapsto\alpha(k)$ と書く）、$g_k\colon S^n_k\to S^n_{\alpha(k)}$ を $d_{\alpha(k)}>0$ なら恒等写像、$d_{\alpha(k)}<0$ なら鏡映とし、$\varphi:=(\bigvee_kg_k)\circ c$ とおく。$q_\alpha\circ(\bigvee_kg_k)\circ\iota_k$ は $\alpha(k)=\alpha$ なら $g_k$、そうでなければ定値写像なので、$(q_\alpha\circ\varphi)_*[S^n]=\sum_{\alpha(k)=\alpha}\deg(g_k)[S^n_\alpha]=d_\alpha[S^n_\alpha]$ である。$\square$

段 1（望遠鏡のホモロジー）．$S^n$ に $0$ 胞体 $s_0$ と $n$ 胞体からなる CW 構造を入れる。各 $d$ について写像度 $d$ の連続写像 $S^n\to S^n$ があり（写像度）、胞体近似定理 の定理「胞体近似定理」により $s_0$ を止めたホモトピーで胞体写像に取り替えられる。写像度はホモトピーで変わらない。こうして $f_i$ を写像度 $d_i$ の胞体写像とすると、写像望遠鏡 $T$ は CW 複体で、最初の $i$ 個の写像柱の和 $T_i$（$T_0=S^n_0$）は部分複体であり、$T=\bigcup_iT_i$ である。$T_i$ は写像柱を一つずつ右端へつぶしていくことで右端の球面 $S^n_i$ に変位レトラクトし、このレトラクション $r_i$ について $r_{i+1}|_{T_i}=f_i\circ r_i$ である（Hat02 §3.F, p. 312）。よって $H_n(T_i)\cong\mathbb Z$ で、生成元 $[S^n_i]$ をとると、包含 $T_i\subset T_{i+1}$ は $H_n$ に $d_i$ 倍を誘導し、ほかの被約ホモロジーは $0$ である。

特異単体の像はコンパクトなので、ある有限部分複体に含まれ（Hat02 Proposition A.1, p. 520）、したがってある $T_i$ に含まれる。$T$ のサイクルはある $T_i$ のサイクルであり、$T$ の中で境界になるなら、境界を与える鎖とともにある $T_j$（$j\ge i$）の中で境界になる。よって包含が誘導する写像 $\varinjlim_iH_k(T_i)\to H_k(T)$ は同型である（帰納極限）。とくに $k\ne n$ の被約ホモロジーは $0$ である。$T$ の道とそのホモトピーも同じくある $T_i$ に入り、$n\ge2$ では $T_i\simeq S^n$ は単連結なので、$T$ は単連結である。

段 2（$\mathbb Q$ の部分群）．$G\ne0$ は可算なので、元を $g_0\ne0$ から始めて $g_0,g_1,\dots$ と並べ、$G_i$ を $g_0,\dots,g_i$ で生成される部分群とする。分母を払うと $G_i$ は $\mathbb Z\cdot(1/N)$ のある部分群なので巡回群であり、$G_i=a_i\mathbb Z$（$a_i>0$）と書ける。$a_i\in a_{i+1}\mathbb Z$ なので $a_i=d_ia_{i+1}$ となる正の整数 $d_i$ がある。$H_n(T_i)$ の生成元を $a_i$ に送ると、$d_i$ 倍の写像と包含 $a_i\mathbb Z\subset a_{i+1}\mathbb Z$ が対応し、どれも単射なので $\varinjlim_iH_n(T_i)\cong\bigcup_iG_i=G$ である。$G=\mathbb Z[1/p]$ では $a_i=p^{-i}$、$G=\mathbb Q$ では $a_i=1/i!$ とすればよい。

段 3（$\mathbb Q/\mathbb Z$ の部分群）．$\mathbb Q/\mathbb Z$ の有限部分群は、元の分母を払うと $(1/N)\mathbb Z/\mathbb Z$ のある部分群なので巡回群で、位数 $m$ の巡回部分群は $(1/m)\mathbb Z/\mathbb Z$ ただ一つである。$G$ の元を $g_1,g_2,\dots$ と並べ、$G_0:=0$、$G_i$ を $g_1,\dots,g_i$ で生成される部分群とすると、$G_i=(1/m_i)\mathbb Z/\mathbb Z$（$m_0=1$、$m_i\mid m_{i+1}$）で $G=\bigcup_iG_i$ である（$G$ が有限なら途中から $m_i$ は一定で、$d_i=1$ となる）。$\tilde G:=\bigcup_i(1/m_i)\mathbb Z\subset\mathbb Q$ とおくと $\tilde G/\mathbb Z=G$ である。$a_i=1/m_i$、$d_i=m_{i+1}/m_i$ として段 2 の $T$ をとると $H_n(T)\cong\tilde G$ で、$[S^n_0]$ は $a_0=1$ に対応する。$X:=T\cup e^{n+1}$ を、$S^n_0$ の恒等写像で $(n+1)$ 胞体を貼った空間とする。対 $(X,T)$ は良い対で $X/T\cong S^{n+1}$ なので、ホモロジー完全列は $0\to\tilde H_{n+1}(X)\to\mathbb Z\xrightarrow{\ \partial\ }H_n(T)\to\tilde H_n(X)\to0$ となり、$\partial$ は生成元を胞体の境界 $\pm[S^n_0]$、すなわち $\pm1\in\tilde G$ に送る。よって $\tilde H_n(X)\cong\tilde G/\mathbb Z=G$、$\tilde H_{n+1}(X)=0$ で、ほかの被約ホモロジーは $0$ である。$n\ge2$ では、貼った胞体の次元が $3$ 以上なので $\pi_1(T)\to\pi_1(X)$ は同型（胞体近似定理 の系「胞体の次元と対の連結度」の 3）で、$X$ は単連結である。$G=\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z$ では $m_i=p^i$、$d_i=p$ である。$\square$

段 1（1 の証明）．$c\colon M\to M\vee M$ を、$t\le1/2$ では第 1 成分の $[x,2t]$、$t\ge1/2$ では第 2 成分の $[x,2t-1]$ に送る写像、$\nabla\colon M\vee M\to M$ を両成分で恒等写像である写像とすると、$f+g=\nabla\circ(f\vee g)\circ c$ である。$\iota_k$ を第 $k$ 成分の包含、$p_k\colon M\vee M\to M$ を第 $k$ 成分以外を基点につぶす写像とする。$p_1\circ c[x,t]=[x,\min(2t,1)]$ は、$h_s[x,t]:=[x,\min((1+s)t,1)]$（$0\le s\le1$）により $\mathrm{id}_M$ とホモトピックである（$A\times[0,1]\times[0,1]\to M\times[0,1]$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への全射なので商写像であり、$h$ は連続）。$p_2\circ c$ も同様である。$G$ 係数の被約コホモロジーでは、制限の組 $(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon\tilde H^k(M\vee M;G)\to\tilde H^k(M;G)^2$ は同型である（Hat02 §3.1, p. 202。基点は $0$ 胞体）。$p_k\circ\iota_l$ は $k=l$ で恒等写像、$k\ne l$ で定値写像なので、$y$ と $p_1^*\iota_1^*y+p_2^*\iota_2^*y$ は同じ制限をもち、等しい。よって $c^*y=\iota_1^*y+\iota_2^*y$ である。$u\in\tilde H^k(M;G)$ について $y:=(f\vee g)^*\nabla^*u$ とおくと $\iota_1^*y=f^*u$、$\iota_2^*y=g^*u$ なので、$(f+g)^*u=f^*u+g^*u$ である。整数係数の被約ホモロジーでも、良い対 の記事の定理「ウェッジ和の被約ホモロジー」から同じく $(f+g)_*=f_*+g_*$ が従う。したがって $2\cdot\mathrm{id}_M$ は $2$ 倍の写像を誘導する。$\tilde H_*(M)$ は次数 $n$ の $\mathbb{Z}/2$ だけで、普遍係数定理から $\tilde H^n(M;G)\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2,G)$、$\tilde H^{n+1}(M;G)\cong\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/2,G)\cong G/2G$ で、ほかの次数は $0$ である（$n-1\ge1$ なので $H_{n-1}(M)=0$）。どれも $2$ 倍で $0$ になる群なので、1 が成り立つ。

段 2（スマッシュ積としての表示）．$S^1:=[0,1]/\{0,1\}$ に、基点 $[0]$ を $0$ 胞体とする CW 構造を入れ、$d[t]:=[2t]$（$0\le t\le1/2$）、$d[t]:=[2t-1]$（$1/2\le t\le1$）で $d\colon S^1\to S^1$ を定める。$t\mapsto e^{2\pi it}$ で $S^1$ を単位円とみなすと $d$ は $z\mapsto z^2$ で、写像度は $2$ である。$M$ は $A\times S^1$ を $A\times\{[0]\}\cup\{*\}\times S^1$ でつぶしたスマッシュ積 $A\wedge S^1$ と同じ商空間であり（$A\times[0,1]\to A\times S^1$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への全射なので商写像）、和の定義から $2\cdot\mathrm{id}_M=\mathrm{id}_A\wedge d$ である。$d$ は胞体写像なので、$f:=\mathrm{id}_A\wedge d$ も胞体写像である。

段 3（写像錐）．基点を保つ写像 $g\colon X\to Y$ の被約写像錐 $\widetilde C_g$ を、$X\times[0,1]\sqcup Y$ で $(x,0)$ と $g(x)$ を同一視し、$X\times\{1\}\cup\{x_0\}\times[0,1]$ を $Y$ の基点と同一視した商空間とする（写像錐(位相) の記事の注意「流儀と被約写像錐」）。$K:=\widetilde C_d$ は、$S^1$ に正方形 $[0,1]\times[0,1]$ の内部を $2$ 胞体として貼った CW 複体である。接着写像は辺 $[0,1]\times\{0\}$ の上で $d$、ほかの 3 辺で基点への定値写像なので、写像度は $\pm2$ である。$\widetilde C_f$ と $A\wedge K$ は、どちらもコンパクト空間 $A\times S^1\times[0,1]\sqcup A\times S^1$ の連続な全射による像であり、点の同一視は同じ規則で生成される：$(a,z,0)$ を $(a,d(z))$ と同一視し、$a=*$、$z=[0]$、$s=1$ のいずれかをみたす $(a,z,s)$ と、$a=*$ または $w=[0]$ をみたす $(a,w)$ を基点にする。どちらも CW 複体で Hausdorff なので、これらの全射は商写像であり、恒等写像が誘導する全単射 $\widetilde C_f\to A\wedge K$ は同相写像である。

段 4（Bockstein 準同型）．$k\ge1$ とし、$X=S^k\cup_\varphi e^{k+1}$ を写像度 $\pm2$ の写像 $\varphi$ で $(k+1)$ 胞体を貼った CW 複体とする。胞体ホモロジーにより $\tilde H_*(X)$ は次数 $k$ の $\mathbb{Z}/2$ だけで、$H_{k-1}(X)$ は $0$ または $\mathbb{Z}$ なので、普遍係数定理から係数 $G$ について自然な同型 $H^k(X;G)\cong\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2,G)$ がある。係数の還元 $\mathbb{Z}/4\to\mathbb{Z}/2$ は $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/4)$ の元（生成元の像は $0$ か $2$）を $0$ に送るので、$H^k(X;\mathbb{Z}/4)\to H^k(X;\mathbb{Z}/2)$ は $0$ である。特異鎖群は自由なので、係数の短完全列 $0\to\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/4\to\mathbb{Z}/2\to0$ から余鎖の短完全列とコホモロジーの長完全列が得られ、その連結準同型 $H^k(X;\mathbb{Z}/2)\to H^{k+1}(X;\mathbb{Z}/2)$ は単射である。Steenrod平方 の記事の定義の 7 により、これは $Sq^1$ である。$K$（$k=1$）と $A$（$k=n-1$）に当てると、生成元 $a\in H^1(K;\mathbb{Z}/2)$、$b\in H^{n-1}(A;\mathbb{Z}/2)$ について $Sq^1a\ne0$、$Sq^1b\ne0$ である。以下、係数は $\mathbb{Z}/2$ とする。

段 5（$A\wedge K$ の $Sq^2$）．$P:=A\times K$、$W:=A\times\{*\}\cup\{*\}\times K$、$\pi\colon P\to P/W=A\wedge K$ を商写像とし、Künnethの公式 の記事の定義「コホモロジーのクロス積」の $x:=b\times a=p_1^*b\smile p_2^*a\in H^n(P)$ をとる。$x$ の $A\times\{*\}$ への制限は、$p_2$ の制限が定値写像で $a$ の次数が正なので $0$ であり、$\{*\}\times K$ への制限も同様に $0$ である。$W$ は $A$ と $K$ の一点和なので、その被約コホモロジーの元は二つの成分への制限で決まり（Hat02 p. 202）、$x|_W=0$ である。対 $(P,W)$ の長完全列（特異コホモロジー の記事の定理「対の長完全列」）により、$x=j^*y$ となる $y\in H^n(P,W)$ がある（$j^*\colon H^*(P,W)\to H^*(P)$）。Cartan の公式（Steenrod平方 の記事の定義の 3）と自然性により $Sq^2x=\sum_{s+t=2}p_1^*Sq^sb\smile p_2^*Sq^ta=p_1^*Sq^1b\smile p_2^*Sq^1a=Sq^1b\times Sq^1a$ である。ここで $Sq^2b\in H^{n+1}(A)=0$（$A$ は $n$ 次元）と、$Sq^2a=0$（次数 $1<2$。同定義の 5）を使った。$A$、$K$ は有限 CW 複体で、$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジーは各次数で有限次元なので、Künnethの公式 の記事の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」によりクロス積 $H^*(A)\otimes H^*(K)\to H^*(P)$ は単射である。$Sq^1b\otimes Sq^1a\ne0$ なので $Sq^2x\ne0$ であり、Steenrod平方 の記事の定理「Steenrod 平方の存在」により $Sq^2$ は対のコホモロジーにも作用して対の写像と可換なので、$j^*Sq^2y=Sq^2x\ne0$ から $Sq^2y\ne0$ である。$(P,W)$ は CW 対なので良い対で、$\pi$ は同型 $\tilde H^*(A\wedge K)\cong H^*(P,W)$ を誘導する（prop-moore-two-maps の証明の 1 の後半と同じ議論）。$\pi^*$ は $Sq^2$ と可換なので、$z:=(\pi^*)^{-1}y\in\tilde H^n(A\wedge K)$ について $Sq^2z\ne0$ である。

段 6（矛盾）．$f$ は胞体写像なので、写像錐(位相) の記事の注意「流儀と被約写像錐」により、写像錐 $C_f$ は $\widetilde C_f\cong A\wedge K$ とホモトピー同値である。$f=2\cdot\mathrm{id}_M$ が定値写像 $e$ とホモトピックだと仮定する（基点を止めないホモトピーでよい。$M$ は弧状連結なので、$e$ の値は基点としてよい）。$(CM,M)$ は CW 対なので、接着写像をホモトピックな写像に取り替えても貼った空間のホモトピー型は変わらず（Hat02 Proposition 0.18, p. 16）、$C_f\simeq C_e$ である。$C_e$ は、錐 $CM$ の底 $M\times\{0\}$ を $M$ の基点につぶして貼った空間なので、$M$ と懸垂 $SM$ の一点和 $M\vee SM$ である。$\tilde H^n(SM)\cong\tilde H^{n-1}(M)=0$（懸垂 の記事の注意「係数とコホモロジー」）なので、$SM$ をつぶすレトラクション $\rho\colon M\vee SM\to M$ について、$w\in H^n(M\vee SM)$ と $\rho^*(w|_M)$ は二つの成分への制限が等しく、$w=\rho^*(w|_M)$ である。よって $Sq^2w=\rho^*Sq^2(w|_M)$ で、$Sq^2(w|_M)\in H^{n+2}(M)=0$（$M$ は $n+1$ 次元）なので $Sq^2w=0$ である。ホモトピー同値 $h\colon A\wedge K\to M\vee SM$ は $H^n$ と $H^{n+2}$ に $Sq^2$ と可換な同型を誘導するので、$A\wedge K$ でも次数 $n$ の $Sq^2$ はすべて $0$ になり、段 5 に反する。$\square$