Thomのジェット横断性定理

$a\in A$ について、$\sigma(a)\in U$、$\tau(a)\in V$ となる座標近傍をとる。$A$ は局所コンパクトなので、$a$ の $A$ での開近傍 $O_a$ で、$A$ での閉包 $C_a$ がコンパクトで $J^r(U,V)$ に含まれるものがある。$C_a$ は Hausdorff 空間 $J^r(M,N)$ のコンパクト集合なので閉集合である。$A$ は第 2 可算なので Lindelöf であり、可算個の $O_a$ で覆える。$\square$

要点：横断性は「ある沈め込みとの合成の微分が全射」という開条件であり、$j^rg$ の微分は $g$ の $r+1$ 階までの微分で決まる。$C^{r+1}$ で近い写像の列で横断性が壊れる点の列をとると、極限の点で $f$ の横断性に反する。

滑らかな場合に帰着． $f\in C^s(M,N)$ の開近傍 $\mathcal{N}$ をとる。写像空間のWhitney位相(強C^r位相)の記事の定理「$C^s$ 級写像の稠密性」により $\mathcal{N}$ は $C^\infty$ 級写像を含むので、$f$ は $C^\infty$ 級としてよい。
摂動の族． $E:=K\cap f^{-1}(\tau(C))$ はコンパクトで $U\cap f^{-1}(V)$ に含まれる。$C^\infty$ 級関数 $\lambda\colon M\to[0,1]$ で、$E$ の開近傍 $W$ の上で $1$ になり、台がコンパクトで $U\cap f^{-1}(V)$ に含まれるものをとる（1の分割の記事の定理「滑らかな Urysohn の補題」）。$\mathcal{P}$ を次数 $r$ 以下の多項式写像 $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ の空間（有限次元のベクトル空間）とし、$b\in\mathcal{P}$ について
$$ f_b:=\psi^{-1}\circ\bigl(\psi\circ f+\lambda\cdot(b\circ\varphi)\bigr)\quad(U\cap f^{-1}(V)\text{ の上}),\qquad f_b:=f\quad(\text{その外}) $$
とおく。$b$ が十分小さい開球 $B\subset\mathcal{P}$ に入れば $f_b$ は定義されて $C^\infty$ 級である。
族のジェットは沈め込み． $W$ の上では $\lambda=1$ なので、$\Phi(b,x):=j^r_xf_b$ は座標で
$$ \Phi(b,x)=\bigl(y,\ (F+b)(y),\ D(F+b)(y),\ \dots,\ D^r(F+b)(y)\bigr),\qquad y=\varphi(x) $$
である。$x$ を止めると $\beta\mapsto(\beta(y),D\beta(y),\dots,D^r\beta(y))$ は $\mathcal{P}$ から $\mathbb{R}^n\times P^r$ への線形写像で、単射（$r$ 階までの微分が $y$ で消える次数 $r$ 以下の多項式は $0$。Taylor 展開による）であり、両辺の次元は等しいので全単射である（ジェットの記事の命題「Taylor 多項式による表示」）。$x$ 方向の微分の第 1 成分は $d\varphi_x$ で全単射なので、$\Phi\colon B\times W\to J^r(M,N)$ の微分は全射、すなわち $\Phi$ は沈め込みであり、とくに $A$ に横断的である。横断性定理の記事の定理「パラメータ族の横断性定理」により、測度零集合の外のすべての $b\in B$ について $j^rf_b|_W$ は $A$ に横断的である。
$W$ の外． $K\setminus W$ はコンパクトで、$f(K\setminus W)$ は $\tau(C)$ と交わらない。$b$ が小さければ $f_b$ は $f$ に一様に近いので $f_b(K\setminus W)$ も $\tau(C)$ と交わらず、$K\setminus W$ の点 $x$ では $j^r_xf_b\notin C$ である。$K$ の外の点では $\sigma(C)=K$ なので $j^r_xf_b\notin C$ である。
結論． $f_b$ は $f$ と $\lambda$ の台の外で一致し、$b\to0$ で $\psi f_b\varphi^{-1}-\psi f\varphi^{-1}=(\lambda\circ\varphi^{-1})\,b$ の各階の微分は台の上で一様に $0$ に近づくので、写像空間のWhitney位相(強C^r位相)の記事の補題「局所的な変形」（$s=\infty$ では、同記事の命題「近傍の基本系」により $\mathcal{N}$ が含む有限の階数 $k$ の基本近傍 $\mathcal{N}^k(f;\Delta,\varepsilon)\cap C^\infty(M,N)$ に当てる）により、$b$ が小さければ $f_b\in\mathcal{N}$ である。測度零集合の補集合は稠密なので、そのような $b$ で $j^rf_b|_W\pitchfork A$ となるものがとれ、前段により $f_b\in\mathcal{T}^s(A;K,C)$ である。$\square$

1．lem-tjt-pieces の $C_\ell$ について $K_\ell:=\sigma(C_\ell)$ とおく。$j^rf(x)\in A$ となる点は、$j^rf(x)$ を内部に含むある $C_\ell$ について $x\in K_\ell$、$j^rf(x)\in C_\ell$ を満たすので、
$$ \mathcal{T}^s(A)=\bigcap_\ell\mathcal{T}^s(A;K_\ell,C_\ell) $$
である。右辺の各集合は prop-tjt-open により開集合、prop-tjt-dense により稠密なので、$\mathcal{T}^s(A)$ は残留集合であり、写像空間のWhitney位相(強C^r位相)の記事の定理「強位相の Baire 性」により稠密である。
2．$f\in\mathcal{T}^s(A)$ とし、写像空間のWhitney位相(強C^r位相)の記事の補題「座標の組の存在」で $f$ に合う座標の組 $\Delta=\{(U_i,\varphi_i,V_i,\psi_i,K_i)\}$（$K_i$ は $M$ を覆う）をとる。$A$ は閉集合なので、prop-tjt-open の最後の主張を $K:=K_i$、$C:=A$ に当てて $\delta_i>0$ を得る。$\delta:=\{\delta_i\}$ とおくと、$\mathcal{N}^{r+1}(f;\Delta,\delta)$ の元 $g$（$s=\infty$ では $C^\infty$ 級のもの）はすべての $\mathcal{T}^s(A;K_i,A)$ に入り、$\bigcup K_i=M$ なので $g\in\mathcal{T}^s(A)$ である。$\Delta$ は局所有限なので、これは $C^s_S(M,N)$ での $f$ の近傍である。$\square$

残留集合の有限個の共通部分は残留集合であり（可算個の稠密開集合の可算個の和をとる）、開集合の有限個の共通部分は開集合である。thm-tjt-main による。$\square$

$T_0\in L_\rho$ とする。行と列の並べ替え（$\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^k,\mathbb{R}^n)$ の線形同型で、階数を保つ）を施して、$T_0$ の左上の $\rho\times\rho$ 小行列が正則としてよい。左上の小行列 $T_{11}$ が正則な $T$ の全体 $O$ は開集合で、$T=\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}$ と区分けすると
$$ \begin{pmatrix}I&0\\-T_{21}T_{11}^{-1}&I\end{pmatrix}T\begin{pmatrix}I&-T_{11}^{-1}T_{12}\\0&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}-T_{21}T_{11}^{-1}T_{12}\end{pmatrix} $$
なので、$\operatorname{rank}T=\rho+\operatorname{rank}(T_{22}-T_{21}T_{11}^{-1}T_{12})$ である。よって $L_\rho\cap O=\Psi^{-1}(0)$、$\Psi(T):=T_{22}-T_{21}T_{11}^{-1}T_{12}$（$(n-\rho)\times(k-\rho)$ 行列）である。$\Psi$ は $C^\infty$ 級で、$T_{22}$ の方向の微分は恒等写像なので沈め込みであり、正則値定理により $L_\rho\cap O$ は余次元 $(n-\rho)(k-\rho)$ の部分多様体である。$\square$

1．cor-tjt-finite を $\Sigma_0,\dots,\Sigma_{\min\{m,n\}}$ に当て、$f$ を、すべての $\rho$ で $j^1f\pitchfork\Sigma_\rho$ となるものとする。$S_\rho(f)=(j^1f)^{-1}(\Sigma_\rho)$ なので、横断性定理の記事の定理「横断的な逆像は部分多様体」により、空でなければ余次元 $(m-\rho)(n-\rho)$ の部分多様体である。
2．$\rho\le m-1$ なら $(m-\rho)(n-\rho)\ge n-m+1>m$ である。$j^1f\pitchfork\Sigma_\rho$ で $j^1f(x)\in\Sigma_\rho$ となる点 $x$ があれば、$\dim d(j^1f)_x(T_xM)+\dim\Sigma_\rho\le m+\dim\Sigma_\rho< \dim J^1(M,N)$ となって横断性に反する。よって $j^1f\pitchfork\Sigma_\rho$（$\rho=0,\dots,m-1$）となる $f\in C^s(M,N)$ では $j^1f(M)$ はこれらと交わらず、$f$ ははめ込みである。cor-tjt-finite（$r=1< s$）により、その全体は残留集合で、稠密である。$\square$