ハンドル分解
概要
ハンドル分解（handle decomposition）とは、コンパクトな多様体を、空集合から始めて $\lambda$ ハンドル $D^\lambda\times D^{n-\lambda}$ を境界に 1 つずつ貼り付けていく列として表したものである。Morse 関数の劣位集合 $\{f\le a\}$ は、臨界値を越えないあいだは形が変わらず、指数 $\lambda$ の臨界点を越えるたびに $\lambda$ ハンドルが 1 つ付く。このため閉多様体はハンドル分解をもつ。ハンドルを 1 つ付けると相対ホモロジーは $\lambda$ 次元の $\mathbb{Z}$ だけなので、Euler 標数はハンドルの個数の交代和に等しく、奇数次元の閉多様体では $0$ になる。
前提知識: Morse関数, Morse関数の存在, ベクトル場の流れ, 相対ホモロジーと長完全列
コンパクトな多様体を、簡単な部品を 1 つずつ貼り合わせて組み立てたい。部品に使うのは $n$ 次元の円板を $D^\lambda\times D^{n-\lambda}$ という積の形に見たもので、これを $\lambda$ 次元のハンドル（handle）という。$\lambda$ ハンドルは、$\lambda$ 次元の円板 $D^\lambda$ に厚み $D^{n-\lambda}$ を付けたものであり、その境界の一部 $S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}$ でいまある多様体の境界に貼り付ける。$0$ ハンドルは新しい円板を置くこと、$1$ ハンドルは 2 か所を橋でつなぐこと、$n$ ハンドルは境界の球面に蓋をすることにあたる。多様体をハンドルの貼り付けの列として表したものをハンドル分解（handle decomposition）という。
ハンドル分解は Morse関数 から自然に得られる。Morse 関数 $f$ の値を下から上げていき、劣位集合 $M^a:=\{f\le a\}$ を見ていくと、臨界値を越えないあいだは $M^a$ の形は変わらず、指数 $\lambda$ の臨界点を 1 つ越えるたびに $\lambda$ ハンドルが 1 つ付く。立てたトーラスの高さ関数なら、谷底で円板（$0$ ハンドル）が現れ、2 つの峠で帯（$1$ ハンドル）が 2 本付き、山頂で蓋（$2$ ハンドル）が閉じる。この記事では、臨界点のない区間で劣位集合が変わらないことと、臨界点を越えるとハンドルが付くことを証明し、ハンドルの個数から Euler 標数が $\chi(M)=\sum_\lambda(-1)^\lambda h_\lambda$ と計算できることを証明する。
定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で、「滑らか」は $C^\infty$ 級を指す。$D^k\subset\mathbb{R}^k$ を閉単位球体、$S^{k-1}=\partial D^k$ を単位球面とし、$S^{-1}:=\emptyset$ と約束する。$0\le\lambda\le n$ について $\mu:=n-\lambda$ とおき、$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^\mu$ の点を $(x,y)$ と書く（$\mu=0$ なら $y$ の成分はなく、以下の式は $y$ を省いて読む）。
ハンドルは $D^\lambda\times D^\mu$ と思うのが直観的だが、そのまま貼ると角ができる。この記事では、角を作らない貼り付け（Kos93 Ch. VI §6、pp. 103–105）を使い、ハンドルを「$\mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^\mu$ の分け方を指定した円板 $D^n$」として扱う。$D^\lambda\times D^\mu$ の角を丸めたものが $D^n$ だと思えばよい。
$0\le\lambda\le n$ とする。円板 $D^n\subset\mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^\mu$ を $n$ 次元の $\lambda$ ハンドルといい、$H^\lambda$ と書く。$\lambda$ をその指数という。次の名前を使う。
- 芯（core）$\{(x,0)\in D^n\}$、余芯（cocore）$\{(0,y)\in D^n\}$。
- 貼り付け球面 $S_\lambda:=\{(x,0)\mid\lvert x\rvert=1\}\cong S^{\lambda-1}$（$\partial D^n$ に含まれる）と、帯球面 $\{(0,y)\mid\lvert y\rvert=1\}\cong S^{\mu-1}$。
- 貼り付け球面の管 $T:=\{(x,y)\in D^n\mid\lvert x\rvert^2>\frac12\}$ と、$T\setminus S_\lambda$ の上の写像
$$ \alpha(x,y):=\Bigl(\frac{x}{\lvert x\rvert}\Bigl(\frac32-\lvert x\rvert^2\Bigr)^{1/2},\ y\Bigl(\frac{\lvert x\rvert^2-\frac12}{1-\lvert x\rvert^2}\Bigr)^{1/2}\Bigr). $$
$\alpha$ は $T\setminus S_\lambda$ をそれ自身に写し、$\alpha\circ\alpha=\mathrm{id}$ なので、$T\setminus S_\lambda$ の微分同相写像である。
詳細
$T\setminus S_\lambda$ の点では $\lvert x\rvert< 1$ である（$\lvert x\rvert=1$ なら $\lvert y\rvert^2\le1-\lvert x\rvert^2=0$ で $S_\lambda$ の点になる）。$\alpha(x,y)$ の $x$ 成分の長さの 2 乗は $\frac32-\lvert x\rvert^2\in(\frac12,1)$ で、$y$ 成分の長さの 2 乗は $\lvert y\rvert^2(\lvert x\rvert^2-\frac12)/(1-\lvert x\rvert^2)\le\lvert x\rvert^2-\frac12$ なので、$\alpha$ は $T\setminus S_\lambda$ をそれ自身に写す。もう一度 $\alpha$ を施すと $x$ 成分の長さの 2 乗は $\frac32-(\frac32-\lvert x\rvert^2)=\lvert x\rvert^2$ に戻り、$y$ 成分に掛かる 2 つの係数は互いに逆数なので、$\alpha\circ\alpha=\mathrm{id}$ である。
$\alpha$ は、貼り付け球面のすぐ近く（$\lvert x\rvert^2$ が $1$ に近い）と管の奥（$\lvert x\rvert^2$ が $\frac12$ に近い）を入れ替える。
$M$ をコンパクトな $n$ 次元の境界付き多様体（空でもよい）とする。$\lambda\ge1$ のとき、貼り付けの写像とは、境界付き多様体 $T$ から $M$ の開集合の上への微分同相写像 $\hat h\colon T\to\hat h(T)\subset M$ のことである。境界の点は境界の点に写るので、$\hat h(S_\lambda)\subset\partial M$ である。$\hat h(S_\lambda)$ を $M$ の中の貼り付け球面という。$M$ から貼り付け球面を除いたものと、$D^n$ から $S_\lambda$ を除いたものの非交和で、$z\in T\setminus S_\lambda$ と $\hat h(\alpha(z))$ を同一視した商空間を
$$
M\cup_{\hat h}H^\lambda:=\Bigl(\bigl(M\setminus\hat h(S_\lambda)\bigr)\sqcup\bigl(D^n\setminus S_\lambda\bigr)\Bigr)\Big/\bigl(z\sim\hat h(\alpha(z))\bigr)
$$
と書き、$M$ に $\lambda$ ハンドルを $\hat h$ で付けた多様体という。$\lambda=0$ のときは $M\cup H^0:=M\sqcup D^n$（非交和）とする。
2 つの部分 $M\setminus\hat h(S_\lambda)$、$D^n\setminus S_\lambda$ はどちらも境界付き多様体で、同一視 $\hat h\circ\alpha$ は開集合 $T\setminus S_\lambda$ から開集合 $\hat h(T)\setminus\hat h(S_\lambda)$ への微分同相写像なので、商空間は 2 つの開集合を微分同相写像で貼った滑らかな境界付き多様体になる（Hausdorff であることは Kos93 Ch. VI §6、p. 104 の構成による。この記事の thm-hd-critical の場面では、証明の中で具体的な微分同相写像を作るので直接わかる）。$\alpha$ が管の近くと奥を入れ替えるので、$M$ の貼り付け球面は取り除かれ、そのかわりにハンドルの太い余芯 $K_\lambda:=\{(x,y)\in D^n\mid\lvert x\rvert^2\le\frac12\}$ が加わる。実際、商空間の中で $M\setminus\hat h(S_\lambda)$ の像は $K_\lambda$ の像の補集合である（$D^n\setminus S_\lambda$ の点で $K_\lambda$ に入らないものは $T\setminus S_\lambda$ の点で、$M$ の点と同一視される）。
$D^\lambda\times D^\mu$ をその境界の一部 $S^{\lambda-1}\times D^\mu$ に沿って $\partial M$ に貼った位相的な商空間は、$M\cup_{\hat h}H^\lambda$ と同相である（Kos93 Ch. VI §8 (8.1) Proposition、pp. 110–111）。この商空間には角があり、角を解消して滑らかな構造を入れる構成もある（Ben19 §7.6 と Proposition 7.15、p. 150。角の解消は 角の解消）。この記事では 2 つの構成の滑らかな構造の関係は扱わず、以下はすべて上の定義による。
コンパクトな $n$ 次元の多様体 $M$ のハンドル分解とは、コンパクトな境界付き多様体の列
$$
\emptyset=M_{-1},\ M_0,\ M_1,\ \dots,\ M_k
$$
で、各 $i$ について $M_i$ が $M_{i-1}$ にあるハンドル $H^{\lambda_i}$ を付けた多様体と微分同相であり、$M_k$ が $M$ と微分同相であるものをいう。指数 $\lambda$ のハンドルの個数を $h_\lambda$ と書く。
$M_{-1}=\emptyset$ には $\lambda\ge1$ のハンドルは付けられない（貼り付け写像の行き先がない）ので、$\lambda_0=0$ である。
- 球面：$S^n$ は上半球と下半球の和で、どちらも $D^n$ と微分同相である。下半球を $0$ ハンドル $M_0=D^n$ とみると、上半球は境界の球面全体に貼る $n$ ハンドルであり、$S^n$ は $h_0=h_n=1$ のハンドル分解をもつ（ex-hd-morse-examples の 1 でも Morse 関数から得る）。
- 円板に $1$ ハンドル：$n=2$ とし、$D^2$ の境界の円周の 2 つの弧に $1$ ハンドル $D^1\times D^1$（帯）を付ける。帯の両端を同じ向きで貼れば円環 $S^1\times[0,1]$ ができ、ひねって貼れば Möbius の帯ができる。どちらもハンドルの個数は $h_0=h_1=1$ である。ハンドルの個数だけでは多様体は決まらず、貼り付け写像が情報をもつ。
Morse 関数の劣位集合
以下、$M$ を境界のない $n$ 次元の多様体、$f\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とし、
$$
M^a:=f^{-1}\bigl((-\infty,a]\bigr),\qquad M_{[a,b]}:=f^{-1}\bigl([a,b]\bigr)
$$
と書く。$a$ が $f$ の正則値なら $M^a$ は境界 $f^{-1}(a)$ をもつ境界付き多様体である（境界付き多様体 の定理「正則な劣位集合は境界付き多様体」を $f-a$ に使う）。
$a< b$ とし、$M_{[a,b]}$ はコンパクトで $f$ の臨界点を含まないとする。
- $M$ の微分同相写像 $\Phi$ で $\Phi(M^b)=M^a$ となるものがある。
- 微分同相写像 $F\colon f^{-1}(a)\times[a,b]\to M_{[a,b]}$ で $f(F(x,s))=s$ となるものがある。
- $M^a$ は $M^b$ の強変形レトラクトである。
証明の考え方は、$f$ の値をちょうど速さ $1$ で増やすベクトル場を作り、その流れで $M^b$ を $M^a$ まで押し下げることである。
段 1（ベクトル場）．$K:=M_{[a,b]}$ とおく。各 $p\in K$ で $df_p\ne0$ なので、$p$ のまわりの座標近傍 $U_p$ を $df$ がその上で $0$ にならないようにとり、座標 $u$ で
$$
X_p:=\sum_i\frac{\partial f/\partial u_i}{\sum_k(\partial f/\partial u_k)^2}\,\frac{\partial}{\partial u_i}
$$
とおくと、$U_p$ の上で $X_pf=1$ である。$K$ はコンパクトなので有限個の $U_{p_1},\dots,U_{p_m}$ で覆える。$U_0:=M\setminus K$ を加えた開被覆に従属する 1の分割 $\psi_0,\psi_1,\dots,\psi_m$ をとり、$K$ の近傍で $1$、台がコンパクトな隆起関数 $\chi$（隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」）を掛けて
$$
X:=\chi\sum_{j=1}^m\psi_jX_{p_j}
$$
とおく。$X$ は台がコンパクトな滑らかなベクトル場で、$Xf=\chi\sum_{j\ge1}\psi_j$ なので、$M$ 全体で $0\le Xf\le1$、$K$ の上では $\psi_0=0$ より $Xf=1$ である。台がコンパクトなので $X$ は完備であり（ベクトル場の流れ の定理「完備性の判定」(R2)）、その流れ $\Psi_t$ は $M$ の微分同相写像の 1 径数族である。
段 2（値の動き）．$x\in M$ について $\phi_x(t):=f(\Psi_t(x))$ とおくと $\phi_x'(t)=(Xf)(\Psi_t(x))$ なので、$\phi_x$ は非減少で、$\phi_x(t)\in[a,b]$ となる $t$ では $\phi_x'(t)=1$ である。このことから、次が従う。
(イ) $x\in K$ なら、$a-f(x)\le t\le b-f(x)$ で $\phi_x(t)=f(x)+t$ である。
詳細
$t\ge0$ の側を示す（$t\le0$ も同様）。$T:=\sup\{t\in[0,b-f(x)]\mid[0,t]\text{ の上で }\phi_x(s)=f(x)+s\}$ とおく。連続性から $\phi_x(T)=f(x)+T\in[a,b]$ である。$T< b-f(x)$ とすると $\phi_x(T)< b$ で、$\phi_x$ は非減少なので $T$ の少し右でも $\phi_x\in[a,b)$ であり、そこで $\phi_x'=1$ なので $\phi_x(s)=f(x)+s$ が $T$ の右まで続き、$T$ の定め方に反する。
(ロ) $f(x)\le b$ であることと $f(\Psi_{a-b}(x))\le a$ であることは同値である。
詳細
$\phi:=\phi_x$ とおく。$\phi(0)\le b$ かつ $\phi(a-b)>a$ なら、非減少性から $[a-b,0]$ で $a< \phi\le b$、したがって $\phi'=1$ で $\phi(0)=\phi(a-b)+(b-a)>b$ となり矛盾する。逆に $\phi(a-b)\le a$ かつ $\phi(0)>b$ なら、$\phi$ は連続で非減少なので $\{t\in[a-b,0]\mid a\le\phi(t)\le b\}$ は区間 $[t_1,t_2]$ で、$\phi(t_1)=a$、$\phi(t_2)=b$、$t_2< 0$ である。その上で $\phi'=1$ なので $t_2-t_1=b-a$ となるが、$t_1\ge a-b$、$t_2< 0$ より $t_2-t_1< b-a$ であり矛盾する。
段 3（結論）．1：(ロ) により $\Phi:=\Psi_{a-b}$ は $M^b$ をちょうど $M^a$ の上へ写す。2：$a$ は正則値なので $f^{-1}(a)$ は部分多様体である。$F(x,s):=\Psi_{s-a}(x)$ とおくと、(イ) により $f(F(x,s))=s$ である。逆写像は $y\mapsto\bigl(\Psi_{a-f(y)}(y),f(y)\bigr)$ で（(イ) により $f(\Psi_{a-f(y)}(y))=a$）、どちらも流れが滑らかなので滑らかである。3：$0\le\tau\le1$ について、$f(x)\le a$ なら $r_\tau(x):=x$、$a\le f(x)\le b$ なら $r_\tau(x):=\Psi_{\tau(a-f(x))}(x)$ とおく。$f(x)=a$ で 2 つの式は一致するので $r$ は $M^b\times[0,1]$ の上で連続であり、(イ) により $r_\tau(M^b)\subset M^b$、$r_0=\mathrm{id}$、$r_1(M^b)=M^a$ で、$M^a$ の点は動かない。$\square$
$M$ の上に Riemann 計量があれば $X=\nabla f/\lvert\nabla f\rvert^2$ と書けるベクトル場を、ここでは座標と 1 の分割で直接作った（Hir76 Ch. 6 Theorem 2.2、p. 153、Mil63 Theorem 3.1、p. 12 は勾配を使う）。臨界点を越えるときに何が起きるかは、次の定理が述べる。
$p$ を $f$ の非退化臨界点、$\lambda$ をその指数、$c:=f(p)$ とし、$\varepsilon>0$ について $M_{[c-\varepsilon,c+\varepsilon]}$ はコンパクトで $p$ 以外に臨界点を含まないとする。
- $\lambda\ge1$ なら、$M^{c-\varepsilon}$ への貼り付けの写像 $\hat h$ があって、$M^{c+\varepsilon}$ は $M^{c-\varepsilon}\cup_{\hat h}H^\lambda$ と微分同相である。
- $\lambda=0$ なら、$M^{c+\varepsilon}$ は $M^{c-\varepsilon}\sqcup D^n$ と微分同相である。
証明の考え方は、$p$ の近くだけで $f$ を下げた関数 $F$ を作り、$M^{c+\varepsilon}$ を thm-hd-regular で $\{F\le c-\varepsilon\}$ まで押し下げてから、$\{F\le c-\varepsilon\}$ と $M^{c-\varepsilon}\cup_{\hat h}H^\lambda$ の間の微分同相写像を Morse 座標で具体的に書くことである（Kos93 Ch. VII (2.2.2)–(2.2.7)、pp. 128–130 の形による）。
$f$ を $f-c$ に替えて $c=0$ とする。$\xi:=\lvert x\rvert^2$、$\eta:=\lvert y\rvert^2$ と書く。
段 0（$\varepsilon$ を小さくする）．Morse関数 の定理「Morseの補題」により、$p$ のまわりの座標 $(x,y)$ で $f=-\xi+\eta$ となるものがある。thm-hd-regular により、座標の像が閉球 $\{\xi+\eta\le5\varepsilon\}$ を含むまで $\varepsilon$ を小さくしてよい。
詳細
$0<\varepsilon'\le\varepsilon$ を、座標の像が閉球 $\{\xi+\eta\le5\varepsilon'\}$ を含むようにとる。thm-hd-regular を区間 $[\varepsilon',\varepsilon]$ と $[-\varepsilon,-\varepsilon']$ に使うと、$M^\varepsilon\cong M^{\varepsilon'}$ と微分同相写像 $\Theta\colon M^{-\varepsilon'}\to M^{-\varepsilon}$ を得る。$\Theta\circ\hat h$ は $M^{-\varepsilon}$ への貼り付けの写像で、定義から $M^{-\varepsilon'}\cup_{\hat h}H^\lambda\cong M^{-\varepsilon}\cup_{\Theta\circ\hat h}H^\lambda$ なので、$\varepsilon$ を $\varepsilon'$ に替えてよい。
以下、$U_0$ を開球 $\{\xi+\eta<5\varepsilon\}$ に写る $p$ の近傍とし、$U_0$ の点を座標 $(x,y)$ と同一視する。
段 1（$f$ を下げた関数）．滑らかな関数 $\beta\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ で
$$ \beta(0)>\varepsilon,\qquad t\ge2\varepsilon\text{ で }\beta(t)=0,\qquad-1<\beta'\le0,\qquad\beta(0)\le\tfrac32\varepsilon $$
となるものをとる（$-\beta'$ を、$(-\infty,\frac32\varepsilon]$ で $\frac34$、$[\frac74\varepsilon,\infty)$ で $0$、値が $[0,\frac34]$ の滑らかな関数にとり、$\beta(t):=\int_t^\infty(-\beta')$ とすれば、$\beta(0)\ge\frac98\varepsilon$）。$U_0$ の上で $F:=f-\beta(\xi+2\eta)$、$U_0$ の外で $F:=f$ とおく。$\beta(\xi+2\eta)$ はコンパクト集合 $\{\xi+2\eta\le2\varepsilon\}\subset U_0$ の外で $0$ なので、$F$ は滑らかで、$F\le f$ である。
段 2（$F$ の性質）．(a) $\{F\le\varepsilon\}=M^\varepsilon$、(b) $F$ の臨界点は $f$ の臨界点と同じで、$F(p)=-\beta(0)<-\varepsilon$ である。
詳細
(a) $F\le f$ から $\supset$ で、$F(z)\le\varepsilon$ かつ $F(z)\ne f(z)$ なら $\xi+2\eta<2\varepsilon$ なので $f(z)=-\xi+\eta\le\eta<\varepsilon$ である。(b) $U_0$ の上で $dF=-(1+\beta')\,d\xi+(1-2\beta')\,d\eta$、$d\xi=2\sum_ix_i\,dx_i$、$d\eta=2\sum_jy_j\,dy_j$ で、係数 $-(1+\beta')< 0$、$1-2\beta'\ge1$ はどちらも $0$ でないので、$dF=0$ は $x=0$ かつ $y=0$ と同値である。$U_0$ の外では $F=f$ である。
(c) (a) と $F\le f$ から $F^{-1}[-\varepsilon,\varepsilon]\subset M_{[-\varepsilon,\varepsilon]}$ で、これはコンパクト集合の閉集合なのでコンパクトであり、(b) により $F$ の臨界点を含まない。thm-hd-regular により、$M^\varepsilon=\{F\le\varepsilon\}$ は $N:=\{F\le-\varepsilon\}$ と微分同相である。
段 3（$N$ の切り口）．$\lvert q\rvert^2< 2\varepsilon$ の $q\in\mathbb{R}^\lambda$ について、$N$ の $x=q$ での切り口 $\{y\mid(q,y)\in N\}$ は、$U_0$ に含まれる半径 $r(q)>0$ の閉円板であり、$r$ は滑らかで、$\frac43\varepsilon\le\lvert q\rvert^2< 2\varepsilon$ なら $r(q)=(\lvert q\rvert^2-\varepsilon)^{1/2}$ である。
詳細
$G(\eta):=-\lvert q\rvert^2+\eta-\beta(\lvert q\rvert^2+2\eta)$ とおくと $G'=1-2\beta'\ge1$ である。$\beta'>-1$ から $\beta(\lvert q\rvert^2)\ge\beta(0)-\lvert q\rvert^2>\varepsilon-\lvert q\rvert^2$ なので $G(0)< -\varepsilon$ であり、$G(\eta)\ge-\lvert q\rvert^2+\eta-\frac32\varepsilon$ なので、$G(\eta_0)=-\varepsilon$ となる $\eta_0=\eta_0(q)$ がただ 1 つあって $0<\eta_0<\lvert q\rvert^2+\frac12\varepsilon<\frac52\varepsilon$ である。切り口は $\{\eta\le\eta_0\}$ で、$\lvert q\rvert^2+\eta_0<5\varepsilon$ なので $U_0$ に含まれる。$G'\ne0$ なので陰関数定理により $\eta_0$ は $\lvert q\rvert^2$ の滑らかな関数で、$r:=\eta_0^{1/2}$ も滑らかである。$\lvert q\rvert^2\ge\frac43\varepsilon$ なら $\eta_1:=\lvert q\rvert^2-\varepsilon$ で $\lvert q\rvert^2+2\eta_1\ge2\varepsilon$、したがって $G(\eta_1)=-\varepsilon$ なので $\eta_0=\eta_1$ である。
$M^{-\varepsilon}$ の切り口は、$\varepsilon\le\lvert q\rvert^2< 2\varepsilon$ なら半径 $(\lvert q\rvert^2-\varepsilon)^{1/2}$ の閉円板、$\lvert q\rvert^2< \varepsilon$ なら空である。$\Sigma:=\{(x,0)\in U_0\mid\xi=\varepsilon\}$ とおく。
段 4（$\lambda\ge1$：3 つの写像）．次の写像を考える。
$$ \sigma(x,y):=\Bigl(x,\ y\,\frac{r(x)}{(\xi-\varepsilon)^{1/2}}\Bigr),\qquad\tau(x,y):=\Bigl(\sqrt{2\varepsilon}\,x,\ y\,\frac{r(\sqrt{2\varepsilon}\,x)}{(1-\xi)^{1/2}}\Bigr),\qquad\hat h(x,y):=\sqrt{2\varepsilon}\Bigl(\frac{x}{\lvert x\rvert}\Bigl(\frac32-\xi\Bigr)^{1/2},\ y\Bigr). $$
$\sigma$ は $M^{-\varepsilon}\setminus\Sigma$ の点で $U_0$ に入り $\xi< 2\varepsilon$ のものに使い、それ以外の点では $\sigma:=\mathrm{id}$ とする。$\tau$ は $D^n\setminus S_\lambda$ の上、$\hat h$ は管 $T$ の上で定める。
詳細
(i) $\sigma$ は $M^{-\varepsilon}\setminus\Sigma$ から、$N$ の開集合 $N\setminus\{z\in U_0\mid\xi\le\varepsilon\}$ の上への微分同相写像である。実際、$\frac43\varepsilon\le\xi< 2\varepsilon$ では段 3 により 2 つの定義が一致し、式の側の定義域の点は $\eta\le\xi-\varepsilon<\varepsilon$ をみたしコンパクト集合 $\{\xi\le2\varepsilon,\ \eta\le\varepsilon\}\subset U_0$ に入るので、$\sigma$ は滑らかである。$\varepsilon<\lvert q\rvert^2< 2\varepsilon$ では $M^{-\varepsilon}$ の切り口（半径 $(\lvert q\rvert^2-\varepsilon)^{1/2}$）を $N$ の切り口（半径 $r(q)$）の上へ相似に写し、$U_0$ の外と $\xi\ge2\varepsilon$ の点では $F=f$ なので $N$ と $M^{-\varepsilon}$ は一致する。逆写像 $(x,y)\mapsto(x,y(\xi-\varepsilon)^{1/2}/r(x))$ も滑らかである。取り除いた $N\cap\{z\in U_0\mid\xi\le\varepsilon\}$ は切り口の円板の和で、コンパクト集合 $\{\xi\le\varepsilon,\ \eta\le\frac52\varepsilon\}$ の閉集合なので、その補集合は $N$ の開集合である。
(ii) $\tau$ は $D^n\setminus S_\lambda$ から $N$ の開集合 $N\cap\{z\in U_0\mid\xi< 2\varepsilon\}$ の上への微分同相写像である。$D^n\setminus S_\lambda$ の $x$ での切り口は半径 $(1-\xi)^{1/2}$ の円板で（$\xi< 1$）、$\tau$ はそれを $N$ の $q=\sqrt{2\varepsilon}x$ での切り口の上へ相似に写す。
(iii) $T\setminus S_\lambda$ の上で $\hat h=\sigma^{-1}\circ\tau\circ\alpha$ である。$\alpha(x,y)$ の $x$ 成分を $\sqrt{2\varepsilon}$ 倍した $q$ は $\lvert q\rvert^2=2\varepsilon(\frac32-\xi)$ をみたし、$\lvert q\rvert^2-\varepsilon=2\varepsilon(1-\xi)\in(0,\varepsilon)$、$1-\lvert\alpha_x\rvert^2=\xi-\frac12$ なので、$\tau(\alpha(x,y))=\bigl(q,\ y\,r(q)/(1-\xi)^{1/2}\bigr)$ であり、$\sigma^{-1}$ を施すと $y$ 成分は $y\,r(q)(1-\xi)^{-1/2}\cdot(2\varepsilon(1-\xi))^{1/2}/r(q)=\sqrt{2\varepsilon}\,y$ になる。
(iv) $\hat h$ は $T$ から $M^{-\varepsilon}$ の開集合 $T':=\{z\in M^{-\varepsilon}\cap U_0\mid\xi< 2\varepsilon\}$ の上への微分同相写像で、$\hat h(S_\lambda)=\Sigma$ である。実際、$(q,w)=\hat h(x,y)$ は $\lvert q\rvert^2=2\varepsilon(\frac32-\xi)\in[\varepsilon,2\varepsilon)$、$\lvert w\rvert^2=2\varepsilon\eta\le2\varepsilon(1-\xi)=\lvert q\rvert^2-\varepsilon$ をみたして $T'$ に入り、逆写像は $(q,w)\mapsto\bigl(\frac{q}{\lvert q\rvert}(\frac32-\frac{\lvert q\rvert^2}{2\varepsilon})^{1/2},\ w/\sqrt{2\varepsilon}\bigr)$ である。$\xi=1$、$y=0$ の点は $\lvert q\rvert^2=\varepsilon$、$w=0$ の点に写る。
(iv) により $\hat h$ は $M^{-\varepsilon}$ への貼り付けの写像で、$M^{-\varepsilon}$ の中の貼り付け球面は $\Sigma$ である。
段 5（$\lambda\ge1$：微分同相写像）．$g\colon M^{-\varepsilon}\cup_{\hat h}H^\lambda\to N$ を、$M^{-\varepsilon}\setminus\Sigma$ の上で $\sigma$、$D^n\setminus S_\lambda$ の上で $\tau$ と定める。$z\in T\setminus S_\lambda$ と同一視される点 $\hat h(\alpha(z))$ では、(iii) と $\alpha\circ\alpha=\mathrm{id}$ から $\sigma(\hat h(\alpha(z)))=\tau(\alpha(\alpha(z)))=\tau(z)$ なので、$g$ は well-defined である。$\sigma$ の像と $\tau$ の像は $N$ を覆うので（$\{\xi\le\varepsilon\}$ の部分は $\tau$ の像に入る）、$g$ は全射である。$\sigma(m)=\tau(z)$ なら、その点で $\xi=2\varepsilon\lvert z_x\rvert^2>\varepsilon$ なので $\lvert z_x\rvert^2>\frac12$、すなわち $z\in T\setminus S_\lambda$ であり、$\sigma(\hat h(\alpha(z)))=\tau(z)=\sigma(m)$ と $\sigma$ の単射性から $m=\hat h(\alpha(z))$、つまり $m$ と $z$ は同一視された同じ点である。よって $g$ は単射である。$g$ は 2 つの開集合の上でそれぞれ $N$ の開集合への微分同相写像なので、$g$ は微分同相写像である（このことから、この場合の商空間が Hausdorff であることもわかる）。段 2 (c) と合わせて $M^\varepsilon\cong N\cong M^{-\varepsilon}\cup_{\hat h}H^\lambda$ である。$\lambda=n$ のときは $y$ の成分がなく、切り口は 1 点で $\sigma=\mathrm{id}$、$\tau(x)=\sqrt{2\varepsilon}\,x$ となり、同じ議論が成り立つ。
段 6（$\lambda=0$）．$x$ の成分はなく $f=\eta$ である。$U_0$ の上で $f\ge0>-\varepsilon$ なので $M^{-\varepsilon}\cap U_0=\emptyset$ で、段 3 と同じ計算により $N\cap U_0=\{\eta\le\eta_0\}$（$\eta-\beta(2\eta)=-\varepsilon$ の解 $\eta_0>0$）は $D^n$ と微分同相な閉円板 $D$ である。$U_0$ の外では $F=f$ なので $N\setminus U_0=M^{-\varepsilon}$ であり、$D=N\cap U_0$ は $N$ の開かつ閉な部分集合である。よって $M^\varepsilon\cong N=M^{-\varepsilon}\sqcup D\cong M^{-\varepsilon}\sqcup D^n$ である。$\square$
ハンドルの芯は $\tau$ で、$p$ に向かって $f$ が増えていく $x$ 方向の円板に写る。Mil63 §3 の Remark（p. 17）はこの領域をハンドルと呼び、Theorem 3.2（p. 14）でそのホモトピー型を調べている。同境の言葉での形は Mil65 Theorem 3.13（p. 31）、Ben19 Proposition 9.3（p. 179）にある。
境界のないコンパクトな $n$ 次元の多様体 $M$ は、ハンドル分解をもつ。さらに、$f$ が $M$ の上の Morse 関数で指数 $\lambda$ の臨界点を $c_\lambda$ 個もつなら、$h_\lambda=c_\lambda$（$\lambda=0,\dots,n$）となるハンドル分解がある。
Morse関数の存在 の定理「コンパクトな多様体での開稠密性」により $M$ には Morse 関数がある。与えられた Morse 関数 $f$ について、同記事の命題「臨界値を分ける」により、臨界点とその指数を変えずに臨界値が互いに異なるように取り替えられる。臨界値を $c_1< c_2< \dots< c_m$、臨界点を $p_1,\dots,p_m$、指数を $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ とし、正則値 $a_0< c_1< a_1< c_2< \dots< c_m< a_m$ を $a_0< \min f$、$a_m> \max f$ となるようにとる。$M^{a_0}=\emptyset$、$M^{a_m}=M$ である。$M$ はコンパクトなので $M_{[a_{i-1},a_i]}$ はコンパクトで、臨界点は $p_i$ だけである。$\varepsilon>0$ を $[c_i-\varepsilon,c_i+\varepsilon]\subset(a_{i-1},a_i)$ ととると、thm-hd-regular により $M^{a_{i-1}}\cong M^{c_i-\varepsilon}$、$M^{c_i+\varepsilon}\cong M^{a_i}$ であり、thm-hd-critical により $M^{c_i+\varepsilon}\cong M^{c_i-\varepsilon}\cup_{\hat h}H^{\lambda_i}$（$\lambda_i=0$ なら $M^{c_i-\varepsilon}\sqcup D^n$）である。微分同相写像 $\Theta\colon M^{c_i-\varepsilon}\to M^{a_{i-1}}$ で貼り付けの写像を $\Theta\circ\hat h$ に移せば、$M^{a_i}\cong M^{a_{i-1}}\cup_{\Theta\circ\hat h}H^{\lambda_i}$ となる。よって $M_{i-1}:=M^{a_i}$（$i=0,\dots,m$）とおくと、$M_{-1}=M^{a_0}=\emptyset$、$M_{m-1}=M^{a_m}=M$ で、$M_{i-1}$ は $M_{i-2}$ に $\lambda_i$ ハンドルを付けたものと微分同相である。これはハンドル分解で、$\lambda$ ハンドルの個数は指数 $\lambda$ の臨界点の個数に等しい。$\square$
境界付き多様体 $W$ で $\partial W=V_0\sqcup V_1$ の場合も、Morse関数の存在 の定理「境界付き多様体の上の Morse 関数」の関数を使って同じ議論をすると、$V_0\times[0,1]$ から始めてハンドルを付けて $W$ を作る分解（相対的なハンドル分解）が得られる（Kos93 Ch. VII (1.1) Theorem・(1.2) Corollary、p. 126、Ben19 Corollary 9.5、p. 182）。
ハンドルと Euler 標数
ハンドルを 1 つ付けると、ホモロジーは「$\lambda$ 次元に $\mathbb{Z}$ が 1 つ」だけ変わる。これを相対ホモロジーで正確に述べる。ホモロジーは整数係数の特異ホモロジーである。
$M$ をコンパクトな境界付き多様体、$\lambda\ge1$、$X:=M\cup_{\hat h}H^\lambda$ とし、$K\subset X$ を太い余芯 $K_\lambda$ の像とする。
- $X\setminus K$ は $M\setminus\hat h(S_\lambda)$ と同相で、包含写像 $M\setminus\hat h(S_\lambda)\to M$ はホモトピー同値である。
- $H_k(X,X\setminus K)\cong\mathbb{Z}$（$k=\lambda$）、$0$（$k\ne\lambda$）である。
$\lambda=0$ のとき、$X=M\sqcup D^n$ について $H_k(X,M)\cong H_k(D^n)$ は $k=0$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。
$\lambda=0$ の場合．特異単体の像は連結なので $M$ と $D^n$ の一方に入り、$H_k(X,M)\cong H_k(D^n)$ である。$D^n$ は可縮なので主張が従う。
以下 $\lambda\ge1$ とし、$S:=S_\lambda$、$\iota\colon D^n\setminus S\to X$ をハンドルの部分の像への写像とする。$\iota$ は単射で（ハンドルの 2 点が同じ $M$ の点と同一視されることはない。$\hat h\circ\alpha$ は単射）、開集合を開集合に写すので、像 $\iota(D^n\setminus S)$ の上への同相写像である。
1．定義の後で見たとおり、$M\setminus\hat h(S)$ から $X$ への写像は $X\setminus K$ の上への同相写像である。ホモトピー同値は、カラーに沿って境界から少し押し込む変形で $M$ と $M\setminus\hat h(S)$ を同じ部分集合に縮めて示す。
詳細
カラー近傍定理 の定理「カラー近傍定理」のカラー $c\colon\partial M\times[0,1)\to M$ をとり、$\rho_s(t):=t+s\max\{\frac12-t,0\}$（$0\le s\le1$）として、カラーの中で $R_s(c(q,t)):=c(q,\rho_s(t))$、カラー $c(\partial M\times[0,\frac12])$ の外で $R_s:=\mathrm{id}$ とおく。$R$ は連続で、$R_0=\mathrm{id}$、$R_1(M)\subset M_{1/2}:=M\setminus c(\partial M\times[0,\frac12))$、$M_{1/2}$ の点は動かない。$s>0$ なら $R_s$ の像は $t>0$ の側にあり、$\hat h(S)\subset\partial M=\{t=0\}$ なので、$R_s$ は $M\setminus\hat h(S)$ をそれ自身に写す。よって $M_{1/2}$ は $M$ と $M\setminus\hat h(S)$ の両方の強変形レトラクトであり、包含 $M\setminus\hat h(S)\to M$ はホモトピー同値である。
2．$Z:=X\setminus\iota(D^n\setminus S)$ は閉集合で、$K\subset\iota(D^n\setminus S)$ なので $Z$ は開集合 $X\setminus K$ に含まれる。切除定理(特異ホモロジー) の定理「切除定理」の (1) と $\iota$ により
$$ H_k(X,X\setminus K)\cong H_k\bigl(\iota(D^n\setminus S),\ \iota(D^n\setminus S)\setminus K\bigr)\cong H_k(D^n\setminus S,\ T\setminus S) $$
である（$D^n\setminus S$ から $K_\lambda$ を除くと $T\setminus S$）。$D^n\setminus S$ は原点に向かって縮める変形 $z\mapsto(1-s)z$ で可縮である（$\lvert z\rvert\le1$ なので $s>0$ で $S$ に入らない）。$T\setminus S$ は $(x,y)\mapsto(x,(1-s)y)$ で $\{(x,0)\mid\frac12<\xi< 1\}$ に変形でき（$\xi$ は変わらず $1$ 未満なので $S$ に入らない）、これは $S^{\lambda-1}\times(\frac12,1)$ と同相なので、$T\setminus S$ は $S^{\lambda-1}$ とホモトピー同値である。相対ホモロジーと長完全列 の命題「被約ホモロジーの対の長完全列」により $H_k(D^n\setminus S,T\setminus S)\cong\tilde H_{k-1}(T\setminus S)\cong\tilde H_{k-1}(S^{\lambda-1})$ であり、球面のホモロジー（Mayer–Vietoris完全列 の記事の命題「球面のホモロジー」）から主張を得る。$\square$
$\lambda$ ハンドルを付けることは、ホモロジーの上では $\lambda$ 胞体を 1 つ付けることと同じ効果をもつ。実際、ハンドルを付けた多様体は $M$ に $\lambda$ 胞体を貼った空間とホモトピー同値である（Mil63 Theorem 3.2、p. 14 は Morse 関数の臨界点を越える場面でこれを示している。この記事では証明しない）。
コンパクトな多様体 $M$ がハンドル分解をもち、$\lambda$ ハンドルが $h_\lambda$ 個あるとする。$M$ の整数係数ホモロジー群は有限生成で、$k>n$ で $0$ であり、
$$
\chi(M)=\sum_{\lambda=0}^n(-1)^\lambda h_\lambda
$$
が成り立つ。
ハンドル分解 $M_{-1}=\emptyset,M_0,\dots,M_m$ について（この証明では次数の $k$ と区別して長さを $m$ と書く）、$i$ に関する帰納法で「$H_*(M_i)$ は有限生成で $n$ より上の次数で $0$、$\chi(M_i)=\sum_{j\le i}(-1)^{\lambda_j}$」を示す。$i=-1$ では明らかである。$M_i$ は $M_{i-1}$ に $\lambda_i$ ハンドルを付けた多様体 $X$ と微分同相なので、$X$ で考えてよい。$\lambda_i=0$ なら $A:=M_{i-1}$、$\lambda_i\ge1$ なら $A:=X\setminus K$ とおく。lem-hd-relative により、$A$ のホモロジーは $M_{i-1}$ のホモロジーと同型で（ホモトピー同値な空間のホモロジーは同型。特異ホモロジーのホモトピー不変性）、$H_k(X,A)$ は $k=\lambda_i$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。対 $(X,A)$ の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の定理「対の長完全列」）
$$
\cdots\to H_k(A)\to H_k(X)\to H_k(X,A)\to H_{k-1}(A)\to\cdots
$$
の完全性から、$H_k(X)$ は有限生成群 $H_k(A)$ の像と有限生成群 $H_k(X,A)$ の部分群の拡大なので有限生成であり、$k>n$ で $0$ である。この列は有限個の有限生成アーベル群の完全列なので、階数の交代和は $0$ である（多様体の二重化 の定理「二重化の Euler 標数」の証明の「詳細」）。したがって
$$
\chi(M_i)=\chi(A)+\sum_k(-1)^k\operatorname{rank}H_k(X,A)=\chi(M_{i-1})+(-1)^{\lambda_i}
$$
である。$i=m$ として主張を得る（微分同相な多様体のホモロジーは同型）。$\square$
右辺はハンドル分解ごとに違ってよいが、左辺は $M$ だけで決まる。したがって $\sum_\lambda(-1)^\lambda h_\lambda$ はハンドル分解の取り方によらない。thm-hd-existence と合わせると、境界のないコンパクトな多様体の上のどの Morse 関数についても、指数 $\lambda$ の臨界点の個数 $c_\lambda$ の交代和は Euler 標数 $\chi(M)$ に等しい。
境界のないコンパクトな多様体 $M$ の次元 $n$ が奇数なら、$\chi(M)=0$ である。
Morse 関数 $f$ をとる（Morse関数の存在）。Morse関数 の命題「指数と極値」の 2 により、$-f$ も Morse 関数で、同じ臨界点をもち、指数 $\lambda$ の点は指数 $n-\lambda$ の点になる。$f$ と $-f$ に上の段落の等式を使うと
$$
\chi(M)=\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda=\sum_\lambda(-1)^{n-\lambda}c_\lambda=(-1)^n\chi(M)
$$
であり、$n$ が奇数なら $\chi(M)=-\chi(M)$、すなわち $\chi(M)=0$ である。$\square$
$-f$ から得られるハンドル分解は、$f$ のハンドル分解を上下逆さまに見たもので、各 $\lambda$ ハンドル $D^\lambda\times D^{n-\lambda}$ を芯と余芯の役割を入れ替えて $n-\lambda$ ハンドルとみたものになる。これを双対ハンドル分解という（Kos93 Ch. VII (2.3) Proposition、p. 131。$\lambda$ ハンドルの貼り付け球面が、対応する $n-\lambda$ ハンドルの帯球面になる）。
例
- 球面：高さ関数は指数 $0$ と $n$ の臨界点を 1 つずつもつ（Morse関数 の例「2 次形式と球面の高さ関数」）ので、$S^n$ は $h_0=h_n=1$ のハンドル分解をもち、$\chi(S^n)=1+(-1)^n$ である。
- トーラス：立てたトーラスの高さ関数は指数 $0,1,1,2$ の臨界点をもつ（Morse関数 の例「立てたトーラスの高さ関数」）。$0$ ハンドル（円板）に $1$ ハンドル（帯）を 2 本付け、最後に $2$ ハンドルで蓋をする分解で、$\chi(T^2)=1-2+1=0$ である。
- 実射影空間：Morse関数 の命題「実射影空間の上の Morse 関数」の関数は指数 $0,1,\dots,n$ の臨界点を 1 つずつもつので、$\mathbb{RP}^n$ は各指数のハンドルを 1 つずつもつ分解をもち、$\chi(\mathbb{RP}^n)=\sum_{\lambda=0}^n(-1)^\lambda$ は $n$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ である。$\mathbb{RP}^2$ は、円板に $1$ ハンドルをひねって付けた Möbius の帯（ex-hd-basic の 2）に $2$ ハンドルで蓋をしたものになる。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $M_{[a,b]}$ がコンパクト | $M=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$、$f(x_1,x_2)=x_1$、$[a,b]=[-1,1]$ | $M^a$ と $M^b$ が微分同相 |
| $M_{[a,b]}$ に臨界点がない | $S^n$ の高さ関数、$[a,b]=[0,2]$ | $M^a$ と $M^b$ が微分同相 |
| 臨界点が非退化 | $\mathbb{R}$ 上の $f(x)=x^3$、$c=0$ | $M^{c+\varepsilon}$ は $M^{c-\varepsilon}$ にある $\lambda$ ハンドルを付けたもの |
| 貼り付け写像を指定する | $D^2$ に $1$ ハンドルを付けた円環と Möbius の帯 | ハンドルの個数が同じなら微分同相 |
1 行目：$f$ は臨界点をもたないが、$M_{[-1,1]}=\{\lvert x_1\rvert\le1\}\setminus\{0\}$ は有界でなく、コンパクトでない。$M=\mathbb{R}^2$ なら同じ $f$ で $M^{-1}$ と $M^1$ は微分同相だが、穴の開いた平面では、流れで押し下げる途中で原点に行き当たる点がある。$M^{-1}=\{x_1\le-1\}$ は凸集合で可縮であるが、$M^{1}=\{x_1\le1\}\setminus\{0\}$ は原点のまわりの円周を含み、$S^1$ とホモトピー同値である（原点を中心とする放射状の変形と、$x_1$ の方向の押し出しによる）。$H_1$ が異なるので、同相でもない。
2 行目：高さ関数 $h$ で $M^0$ は閉じた下半球（$D^n$ と微分同相で境界をもつ）、$M^2=S^n$ は境界をもたない。$h^{-1}([0,2])$ は北極（臨界点）を含む。
3 行目：$M^{\varepsilon}=(-\infty,\varepsilon^{1/3}]$ と $M^{-\varepsilon}=(-\infty,-\varepsilon^{1/3}]$ はどちらも半直線で、境界は 1 点である。$0$ ハンドルを付けると連結成分が増え、$1$ ハンドル $D^1$ を付けるには境界の 2 点が要るが境界は 1 点しかない（貼り付け写像 $S^0\to\partial M^{-\varepsilon}$ が単射にならない）。よって $M^\varepsilon$ はどの $\lambda$ ハンドルを付けた形にもならない。原点は退化臨界点で、指数は $0$（Hesse 形式は零形式）だが、越えても形は変わらない。
4 行目：円環は向き付け可能で境界が 2 成分、Möbius の帯は向き付け不可能で境界が 1 成分なので、微分同相でない（ex-hd-basic の 2）。
補足
- 並べ替えと相殺：ハンドル分解は、指数の小さいハンドルから順に付ける形に並べ替えられる（Mil65 Theorem 4.8、p. 44、Kos93 Ch. VII (1.1) Theorem、p. 126）。さらに、指数 $\lambda$ と $\lambda+1$ のハンドルの組で、後者の貼り付け球面が前者の帯球面とちょうど 1 点で横断的に交わるものは、打ち消して取り除ける。この相殺と Whitneyのトリック を組み合わせるのが h同境定理 の証明である（この記事では証明しない）。
- ホモトピー型と Morse 理論：各ハンドルを芯につぶすと、$M$ は $\lambda$ ハンドルごとに $\lambda$ 胞体を 1 つもつ CW複体 とホモトピー同値になる（Mil63 Theorem 3.5、p. 20）。これと胞体ホモロジーから、臨界点の個数と Betti 数の間の Morse の不等式が得られる（Kos93 Ch. VII §4、p. 135）。
- 文献：thm-hd-regular は Hir76 Ch. 6 Theorem 2.2（p. 153）、Mil63 Theorem 3.1（p. 12）、Ben19 Lemma 9.1（p. 177）、Lee13 Problem 13-24（pp. 347–348）にあり、thm-hd-existence の形は Ben19 §9.1–9.2（pp. 178–182）による。cor-hd-odd の議論は Ben19 Corollary 14.1（p. 238）にある。
関連項目
- 前提: Morse関数, Morse関数の存在, ベクトル場の流れ, 相対ホモロジーと長完全列
- 比較: CW複体, 境界に沿った貼り合わせと連結和, 角の解消
- 直後に読む: h同境定理
- 発展: Morse理論, Whitneyのトリック
参考文献
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