ジョイン

同義語：結(位相)join

概要

定義

以下 $I:=[0,1]$ とし、直積には直積位相、直和 $\sqcup$ には直和位相、商には商位相（商空間）を入れる。

ジョイン

$X,Y$ を位相空間とする。直和 $X\times Y\times I\ \sqcup\ X\ \sqcup\ Y$ の上で、
$$ (x,y,0)\sim x,\qquad(x,y,1)\sim y\qquad(x\in X,\ y\in Y) $$
で生成される同値関係 $\sim$ による商空間を $X$ と $Y$ のジョイン（join、結）といい、$X\ast Y$ と書く。商写像を $q\colon X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y\to X\ast Y$ と書き、$(x,y,t)$ の類を $[x,y,t]$ と書く。$Y=\emptyset$ のときは $X\times Y\times I=\emptyset$ なので $X\ast\emptyset=X$ であり、同様に $\emptyset\ast Y=Y$ である。並置記法 $XY$ でジョインを表す文献もある。

標準的な記述

$X,Y$ がともに空でないとき、$X\times Y\times I$ の上の
$$ (x,y,0)\approx(x,y',0),\qquad(x,y,1)\approx(x',y,1)\qquad(x,x'\in X,\ y,y'\in Y) $$
で生成される同値関係 $\approx$ による商空間を $J$ とすると、包含 $X\times Y\times I\to X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y$ は同相写像 $J\to X\ast Y$ を誘導する。この同一視のもとで $x\in X$ は $[x,y,0]$（$y$ によらない）、$y\in Y$ は $[x,y,1]$（$x$ によらない）に対応し、$X\ast Y$ は「$X$ の各点と $Y$ の各点を線分 $\{[x,y,t]\mid t\in I\}$ で結んだ空間」である。

$p\colon X\times Y\times I\to J$ を商写像とする。合成 $X\times Y\times I\to X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y\xrightarrow{q}X\ast Y$ は連続であり、$X,Y\ne\emptyset$ なので $\sim$ の各同値類は $X\times Y\times I$ の点を含み、この合成は全射である。また $\sim$ を $X\times Y\times I$ に制限した関係は $\approx$ である（$(x,y,0)\sim x\sim(x,y',0)$ であり、$X\sqcup Y$ の点を経由しない同一視は起こらない）。よって商位相の普遍性により連続な全単射 $\psi\colon J\to X\ast Y$ が誘導される。逆写像の連続性を示す。$y_0\in Y$、$x_0\in X$ を固定し、$\theta\colon X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y\to J$ を、$X\times Y\times I$ 上では $p$、$X$ 上では $x\mapsto p(x,y_0,0)$、$Y$ 上では $y\mapsto p(x_0,y,1)$ と定める。各成分は連続写像の合成なので $\theta$ は直和位相について連続であり、$\theta(x,y,0)=p(x,y,0)=p(x,y_0,0)=\theta(x)$、$\theta(x,y,1)=p(x,y,1)=p(x_0,y,1)=\theta(y)$ なので $\theta$ は $\sim$ と両立し、連続写像 $\bar\theta\colon X\ast Y\to J$ を誘導する。$\bar\theta\circ\psi$ と $\psi\circ\bar\theta$ は $X\times Y\times I$ の点の類の上で恒等であり、$J$ と $X\ast Y$ のすべての点はそのような類なので、$\bar\theta=\psi^{-1}$ である。$\square$

以下、$X,Y\ne\emptyset$ のときは $X\ast Y$ を join-prop-standard の $J$ と同一視し、$p\colon X\times Y\times I\to X\ast Y$ を商写像とする。

Euclid空間内の結

$X,Y\subset\mathbb{R}^N$ を互いに交わらない閉集合とする。部分集合
$$ Z:=\{(1-t)x+ty\mid x\in X,\ y\in Y,\ t\in I\}\subset\mathbb{R}^N $$
が、$t\in(0,1)$ の点についての表示の一意性、すなわち「$(1-t)x+ty=(1-t')x'+t'y'$、$t\in(0,1)$ ならば $(x,y,t)=(x',y',t')$」を満たすとき、$X$ と $Y$ は結可能（joinable）であるといい、$Z$ を $X$ と $Y$ の（Euclid空間内の）結といい、やはり $X\ast Y$ と書く（Kat88 の流儀）。結可能なとき、$X\ast Y$ は $X$ と $Y$ の点を結ぶ線分の合併であり、異なる線分は端点以外で交わらない。$X,Y$ がコンパクト（コンパクト空間）なら、この結は join-def のジョインと同相である（join-prop-geometric）。

直感

ジョインは「$X$ の各点と $Y$ の各点を線分で結ぶ」ことで得られる空間である。径数 $t$ は線分上の位置を表し、$t=0$ で $X$ 側の端点、$t=1$ で $Y$ 側の端点に退化する。$Y$ が一点なら $X$ のすべての点を一つの頂点に結んだ錐(位相) $CX$ が、$Y$ が 2 点なら $X$ の両側に頂点を一つずつ生やした懸垂 $SX$ が得られる（join-ex-cone-suspension）。単体（単体複体）の言葉では、互いに交わらない二つの面の結がそれらを張る単体であり（join-ex-simplex）、球面どうしのジョインはより高い次元の球面になる（join-prop-sphere）。ジョインは「両方の空間を同時に錐にして貼り合わせる」操作でもあり、$C(X\ast Y)\cong CX\times CY$（join-prop-cone）が成り立つ。

例

錐と懸垂

一点空間 $\{v\}$ とのジョイン $X\ast\{v\}$（$X\ne\emptyset$）は $X$ の錐 $CX=(X\times I)/(X\times\{1\})$ である。実際 join-prop-standard により $X\ast\{v\}$ は $X\times\{v\}\times I\cong X\times I$ を $(x,v,1)\approx(x',v,1)$ で割った空間であり（$t=0$ の同一視は $Y$ が一点なので自明）、これは $X\times\{1\}$ を一点に潰した空間、すなわち錐(位相)の記事の定義（頂点を $s=1$ 側にとる流儀）による $CX$ そのものである。頂点は $v$ に、底面は $X$ に対応する。
2 点離散空間 $S^0=\{v_+,v_-\}$ とのジョイン $X\ast S^0$ は、二つの錐 $X\ast\{v_+\}$、$X\ast\{v_-\}$ を底面 $X$ で貼り合わせた空間、すなわち $X\times[-1,1]$ の $X\times\{1\}$ と $X\times\{-1\}$ をそれぞれ一点に潰した $X$ の懸垂 $SX$ である。$X\ast S^0\cong SX$ は join-prop-sphere の証明と同じ極座標の写像で確かめられる。$X$ がコンパクト Hausdorff なら、結合律（join-thm-associative）と $S^{n-1}\cong S^0\ast\cdots\ast S^0$（$S^0$ が $n$ 個、join-prop-sphere）により $S^{n-1}\ast X\cong S^0\ast\cdots\ast S^0\ast X$ は $X$ の $n$ 重懸垂 $S^nX$ である（Hat02 Chapter 0）。

球面どうしのジョイン

$S^0\ast S^0\cong S^1$ である：4 点 $\{v_+,v_-\}\ast\{w_+,w_-\}$ を結ぶ 4 本の線分が四角形の周をなす。一般に $S^m\ast S^n\cong S^{m+n+1}$ であり（join-prop-sphere）、$S^{n-1}\ast S^0\cong S^n$ は懸垂 $SS^{n-1}\cong S^n$ にほかならない。また Euclid 空間内の結として、$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ と原点 $\{0\}$ は結可能で、$S^n\ast\{0\}=\{(1-t)x\mid x\in S^n,\ t\in I\}$ は閉球体 $D^{n+1}$ である。これは $CS^n\cong D^{n+1}$（錐(位相)の記事の命題「球面の錐は円板」）と整合する。

単体の結

$\mathbb{R}^N$ のアフィン独立な点 $e_0,\ldots,e_{m+n+1}$ をとり、$X:=\operatorname{conv}\{e_0,\ldots,e_m\}$（$m$ 単体。$\operatorname{conv}$ は凸包）、$Y:=\operatorname{conv}\{e_{m+1},\ldots,e_{m+n+1}\}$（$n$ 単体）とする。$X,Y$ は交わらないコンパクト集合であり、$Z=\{(1-t)x+ty\}$ は $\operatorname{conv}\{e_0,\ldots,e_{m+n+1}\}$（$(m+n+1)$ 単体）に一致する。表示の一意性は重心座標の一意性から従う：$z=(1-t)x+ty$ の重心座標は $x$ の重心座標を $(1-t)$ 倍、$y$ の重心座標を $t$ 倍したものであり、$t\in(0,1)$ なら $z$ の重心座標から $t$（$e_{m+1},\ldots,e_{m+n+1}$ の成分の和）、$x$、$y$ が復元される。よって $X,Y$ は結可能で、$\Delta^m\ast\Delta^n\cong\Delta^{m+n+1}$ である。たとえば $\mathbb{R}^4$ 内の互いに交わらない線分 $\{(s,1-s,0,0)\}$ と $\{(0,0,s,1-s)\}$（$s\in I$）の結は 3 単体である。単体複体 $K,L$ が交わらず結可能な位置にあるとき、$K$ の単体と $L$ の単体の結全体が単体複体 $K\ast L$ をなし、その多面体は $|K|\ast|L|$ である。

反例：結可能でない対

$X=\{0,1\}$、$Y=\{2\}$ を $\mathbb{R}$ の部分集合とすると、$X,Y$ は互いに交わらない閉集合であるが結可能でない。実際 $Z=[0,2]$ であり、点 $3/2$ は $(1-t)\cdot1+t\cdot2$（$t=1/2$）とも $(1-t)\cdot0+t\cdot2$（$t=3/4$）とも書けるので表示の一意性が破れる。満たす性質は「互いに交わらない閉集合であること」、満たさない性質は「結可能であること」であり、破れる含意は「交わらない閉集合の対は結可能である」である。線分 $[0,2]$ と $[1,2]$ が端点以外で重なることが原因である。一方、抽象的なジョイン $X\ast Y$（join-def）は任意の $X,Y$ に対して定義され、この例では 2 本の線分を一端で貼り合わせた空間、すなわち閉区間と同相である。結可能性は $\mathbb{R}^N$ 内の位置に関する条件であり、$X,Y$ を十分高い次元の互いに交わらない部分空間（たとえば $\mathbb{R}^N\times\{0\}\times\{0\}$ と $\{0\}\times\mathbb{R}^N\times\{1\}$）に置き直せばつねに結可能になる。

性質

端の空間と内部

$X,Y\ne\emptyset$ とする。

$i_X\colon X\to X\ast Y$、$x\mapsto[x,y,0]$ と $i_Y\colon Y\to X\ast Y$、$y\mapsto[x,y,1]$ は閉集合の上への埋め込み（像への同相写像で像が閉集合）であり、$i_X(X)\cap i_Y(Y)=\emptyset$ である。
$p$ の $X\times Y\times(0,1)$ への制限は、開集合 $X\ast Y\setminus(i_X(X)\cup i_Y(Y))$ の上への同相写像である。

$y_0\in Y$ を固定すると $i_X$ は $x\mapsto(x,y_0,0)$ と $p$ の合成なので連続であり、$[x,y_0,0]=[x',y_0,0]$ なら $x=x'$ なので単射である。$A\subset X$ を閉集合とすると $p^{-1}(i_X(A))=A\times Y\times\{0\}$ は $X\times Y\times I$ の閉集合なので、商位相の定義により $i_X(A)$ は $X\ast Y$ の閉集合である。よって $i_X$ は閉写像であり、連続な単射閉写像は像への同相写像である。$A=X$ として像は閉集合である。$i_Y$ も同様である。$\approx$ は $t=0$ の点と $t=1$ の点を同一視しないので、$i_X(X)$ と $i_Y(Y)$ は交わらない。
$t\in(0,1)$ の点 $(x,y,t)$ の同値類は一点なので、$p$ は $X\times Y\times(0,1)$ 上で単射である。$W\subset X\times Y\times(0,1)$ が $X\times Y\times I$ の開集合ならば $p^{-1}(p(W))=W$ なので $p(W)$ は開集合である。よって $p|_{X\times Y\times(0,1)}$ は連続な単射開写像、すなわち像への同相写像であり、$W=X\times Y\times(0,1)$ とすれば像 $X\ast Y\setminus(i_X(X)\cup i_Y(Y))$ は開集合である。$\square$

関手性と可換性

連続写像 $f\colon X\to X'$、$g\colon Y\to Y'$ に対し、$f\ast g\colon X\ast Y\to X'\ast Y'$、$[x,y,t]\mapsto[f(x),g(y),t]$（$X$ 上では $f$、$Y$ 上では $g$）は矛盾なく定義された連続写像であり、$(f'\circ f)\ast(g'\circ g)=(f'\ast g')\circ(f\ast g)$、$\operatorname{id}_X\ast\operatorname{id}_Y=\operatorname{id}_{X\ast Y}$ が成り立つ。
$[x,y,t]\mapsto[y,x,1-t]$（$X$ 上、$Y$ 上では恒等）は同相写像 $X\ast Y\cong Y\ast X$ を与える。

$X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y\to X'\ast Y'$ を、$(x,y,t)\mapsto q'(f(x),g(y),t)$、$x\mapsto q'(f(x))$、$y\mapsto q'(g(y))$ で定めると、直和の各成分上で連続写像の合成なので連続であり、$(x,y,0)\mapsto q'(f(x),g(y),0)=q'(f(x))$、$(x,y,1)\mapsto q'(g(y))$ なので $\sim$ と両立する。商位相の普遍性により $f\ast g$ が誘導される。合成則と恒等写像の保存は代表元の上で明らかである。
$\Phi\colon X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y\to Y\times X\times I\sqcup Y\sqcup X$ を $(x,y,t)\mapsto(y,x,1-t)$、$x\mapsto x$、$y\mapsto y$ で定めると $\Phi$ は同相写像であり、$X\ast Y$ の同値関係の生成元 $(x,y,0)\sim x$、$(x,y,1)\sim y$ を $Y\ast X$ の生成元 $(y,x,1)\sim x$、$(y,x,0)\sim y$ にちょうど写す。よって $\Phi$ は連続な全単射 $X\ast Y\to Y\ast X$ を誘導し、$\Phi^{-1}$（同じ形の写像）が誘導する写像がその逆写像である。$\square$

コンパクト性

$X,Y$ がともにコンパクト空間ならば $X\ast Y$ もコンパクトである。

$X\times Y\times I$ はコンパクト空間の有限直積なのでコンパクトであり（Mun00 §26 Theorem 26.7）、有限個のコンパクト空間の直和 $X\times Y\times I\sqcup X\sqcup Y$ もコンパクトである。$X\ast Y$ はその連続像なのでコンパクトである。$\square$

錐との関係

$X,Y$ を空でないコンパクトHausdorff空間とする。このとき $C(X\ast Y)\cong CX\times CY$ である。ここで $C$ は錐(位相)の記事の意味の錐（頂点は $s=1$ 側）である。

$\ell\colon I\to I\times I$ を $\ell(t):=(0,1-2t)$（$0\le t\le1/2$）、$(2t-1,0)$（$1/2\le t\le1$）で定める。$\ell$ は連続な単射で、$\ell(0)=(0,1)$、$\ell(1/2)=(0,0)$、$\ell(1)=(1,0)$ であり、像は正方形 $I\times I$ の二辺 $\{0\}\times I\cup I\times\{0\}$（L 字形）である。$(\alpha,\beta)(t,s):=(1-s)\ell(t)+s(1,1)$ とおく。これは連続で、$I\times I$ の各点 $(a,b)$ は、$s:=\min\{a,b\}$ とおくと $s=1$ なら $(1,1)$、$s<1$ なら $(a-s,b-s)/(1-s)$ が L 字形上の点なのでその $\ell$ による逆像を $t$ として、$(a,b)=(\alpha,\beta)(t,s)$ とただ一通りに書ける（$s<1$ のとき $t$ は $\ell$ の単射性から一意）。
$\Psi\colon X\times Y\times I\times I\to CX\times CY$ を $\Psi(x,y,t,s):=([x,\alpha(t,s)],[y,\beta(t,s)])$ で定める。各成分は連続写像の合成なので $\Psi$ は連続である。$t=0$ では $(\alpha,\beta)=(s,1)$ なので $\Psi(x,y,0,s)=([x,s],v_Y)$ は $y$ によらず、$t=1$ では $(\alpha,\beta)=(1,s)$ なので $\Psi(x,y,1,s)=(v_X,[y,s])$ は $x$ によらず、$s=1$ では $\Psi=(v_X,v_Y)$ である。ここで $v_X,v_Y$ は頂点である。したがって $\Psi$ は、まず $X\ast Y$ の同値関係と両立し、次に錐の同値関係（$(X\ast Y)\times\{1\}$ を一点に潰す）と両立する。$C(X\ast Y)$ は $X\times Y\times I\times I\xrightarrow{p\times\operatorname{id}_I}(X\ast Y)\times I\to C(X\ast Y)$ という二つの写像の合成による商空間であり、$I$ は局所コンパクト空間かつ Hausdorff なので $p\times\operatorname{id}_I$ は商写像（Whitehead の補題、錐(位相)の記事の注意「Whiteheadの補題の扱い」）、商写像の合成は商写像である。よって $\Psi$ は連続写像 $\bar\Psi\colon C(X\ast Y)\to CX\times CY$ を誘導する。
$\bar\Psi$ は全射である：$([x,a],[y,b])$ に対し上のように $(t,s)$ をとれば $\Psi(x,y,t,s)$ がこれに等しい（$a=1$ または $b=1$ の場合も含め、頂点の表示 $[x,1]=v_X$ を用いればよい）。$\bar\Psi$ は単射である：$\Psi(x,y,t,s)=\Psi(x',y',t',s')$ とすると $(\alpha,\beta)$ の値が等しい。$s=\min\{\alpha,\beta\}$ は $(\alpha,\beta)$ から決まるので $s=s'$ である。$s=1$ なら両者は錐の頂点の類である。$s<1$ なら上で見たように $t$ も $(\alpha,\beta)$ から一意に決まるので $(t,s)=(t',s')$ である。このとき $t\in(0,1)$ なら $\alpha,\beta<1$ なので $x=x'$、$y=y'$ である。$t=0$ なら $\alpha=s<1$ から $x=x'$ であり、$[x,y,0]=[x,y',0]$ なので同じ類である。$t=1$ も同様である。
$C(X\ast Y)$ はコンパクトである（join-prop-compact と錐(位相)の記事の命題「コンパクト性とHausdorff性」）。$CX\times CY$ は同じ命題により Hausdorff 空間の直積で Hausdorff である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）ので、$\bar\Psi$ は同相写像である。$\square$

コンパクトHausdorff空間のジョイン

$X,Y$ がコンパクト Hausdorff 空間ならば $X\ast Y$ もコンパクト Hausdorff 空間である。

コンパクト性は join-prop-compact による。$X$ または $Y$ が空なら $X\ast Y$ は $Y$ または $X$ なので Hausdorff である。ともに空でないとき、錐(位相)の記事の命題「底面の埋め込みと頂点の補集合」により $X\ast Y$ は $C(X\ast Y)$ の部分空間と同相であり、join-prop-cone により $C(X\ast Y)\cong CX\times CY$ は Hausdorff なので、その部分空間 $X\ast Y$ も Hausdorff である。$\square$

球面のジョイン公式

$m,n\ge0$ に対し $S^m\ast S^n\cong S^{m+n+1}$ である。

$S^m\subset\mathbb{R}^{m+1}$、$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ とし、$\mathbb{R}^{m+n+2}=\mathbb{R}^{m+1}\times\mathbb{R}^{n+1}$ とみなす。
$$ \Phi\colon S^m\times S^n\times I\to S^{m+n+1},\qquad\Phi(x,y,t):=\Bigl(\cos\frac{\pi t}{2}\,x,\ \sin\frac{\pi t}{2}\,y\Bigr) $$
は連続で、$\|\Phi(x,y,t)\|^2=\cos^2\frac{\pi t}{2}+\sin^2\frac{\pi t}{2}=1$ なので $S^{m+n+1}$ に値をとる。$t=0$ では $\Phi=(x,0)$ で $y$ によらず、$t=1$ では $\Phi=(0,y)$ で $x$ によらないので、$\Phi$ は $\approx$ と両立し、連続写像 $\bar\Phi\colon S^m\ast S^n\to S^{m+n+1}$ を誘導する。
全射性：$(u,v)\in S^{m+n+1}$（$u\in\mathbb{R}^{m+1}$、$v\in\mathbb{R}^{n+1}$、$\|u\|^2+\|v\|^2=1$）に対し、$t:=\frac{2}{\pi}\arccos\|u\|\in I$ とおくと $\cos\frac{\pi t}{2}=\|u\|$、$\sin\frac{\pi t}{2}=\|v\|$ である。$u,v\ne0$ なら $x:=u/\|u\|$、$y:=v/\|v\|$ について $\Phi(x,y,t)=(u,v)$ であり、$v=0$ なら $t=0$ で $x:=u$、$y$ は任意、$u=0$ なら $t=1$ で $y:=v$、$x$ は任意とすればよい。
単射性：$\Phi(x,y,t)=\Phi(x',y',t')$ とする。第 1 成分のノルムから $\cos\frac{\pi t}{2}=\cos\frac{\pi t'}{2}$、したがって $t=t'$ である。$t\in(0,1)$ なら $\cos\frac{\pi t}{2},\sin\frac{\pi t}{2}>0$ なので $x=x'$、$y=y'$ である。$t=0$ なら $x=x'$ で、$[x,y,0]=[x,y',0]$ である。$t=1$ も同様である。よって $\bar\Phi$ は単射である。
$S^m\ast S^n$ はコンパクト（join-prop-compact）、$S^{m+n+1}$ は Hausdorff なので、連続な全単射 $\bar\Phi$ は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）。$\square$

Euclid空間内の結との一致

$X,Y\subset\mathbb{R}^N$ を互いに交わらない空でないコンパクト集合とし、結可能であるとする。このとき写像 $[x,y,t]\mapsto(1-t)x+ty$ は、join-def のジョイン $X\ast Y$ から join-def-geometric の結 $Z$ への同相写像である。

$\Phi\colon X\times Y\times I\to Z$、$\Phi(x,y,t):=(1-t)x+ty$ は連続な全射であり、$t=0$ では $y$ に、$t=1$ では $x$ によらないので $\approx$ と両立し、連続な全射 $\bar\Phi\colon X\ast Y\to Z$ を誘導する。単射性を示す。$\Phi(x,y,t)=\Phi(x',y',t')=:z$ とする。$t\in(0,1)$ または $t'\in(0,1)$ なら、表示の一意性により $(x,y,t)=(x',y',t')$ である。$t,t'\in\{0,1\}$ のとき、$t=0$ かつ $t'=1$ なら $z=x=y'\in X\cap Y=\emptyset$ となり矛盾するので $t=t'$ であり、$t=t'=0$ なら $x=z=x'$ で $[x,y,0]=[x,y',0]$、$t=t'=1$ なら $y=y'$ で同じ類である。$X\ast Y$ はコンパクト（join-prop-compact）、$Z\subset\mathbb{R}^N$ は Hausdorff なので $\bar\Phi$ は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）。$\square$

可縮性の遺伝

$X$ が可縮（可縮空間）ならば、任意の位相空間 $Y$ についてジョイン $X\ast Y$ は可縮である。

$Y=\emptyset$ なら $X\ast Y=X$ である。$Y\ne\emptyset$ とし（可縮な $X$ は空でない）、$H\colon X\times I\to X$ を $H(x,0)=x$、$H(x,1)=x_0$ を満たす収縮とする。
$K\colon(X\ast Y)\times I\to X\ast Y$ を $K([x,y,t],s):=[H(x,s),y,t]$ で定めたい。$t=0$ のとき右辺 $[H(x,s),y,0]$ は $y$ によらず、$t=1$ のとき $[H(x,s),y,1]=[x',y,1]$ は $x$ によらないので、対応は同値類の上で矛盾なく定まる。連続性：$(x,y,t,s)\mapsto p(H(x,s),y,t)$ は $X\times Y\times I\times I\to X\ast Y$ の連続写像であり、$p\times\operatorname{id}_I\colon X\times Y\times I\times I\to(X\ast Y)\times I$ は $I$ が局所コンパクト Hausdorff なので商写像である（Whitehead の補題、錐(位相)の記事の注意「Whiteheadの補題の扱い」）。この連続写像は $p\times\operatorname{id}_I$ の各ファイバー上で定値なので、商写像の普遍性により $K$ は連続である。$K_0=\operatorname{id}$ であり、$K_1([x,y,t])=[x_0,y,t]$ である。
次に $M\colon(X\ast Y)\times I\to X\ast Y$ を $M([x,y,t],s):=[x_0,y,(1-s)t]$ で定める。$t=0$ のとき右辺は $[x_0,y,0]=x_0$ で $x,y$ によらず、$t=1$ のとき $[x_0,y,1-s]$ は $x$ によらないので矛盾なく定まり、連続性は $K$ と同じ議論による。$M_0=K_1$、$M_1$ は値 $x_0$（$=[x_0,y,0]$）の定値写像である。ホモトピーの記事の命題「ホモトピー関係は同値関係」の推移律により $\operatorname{id}_{X\ast Y}\simeq M_1$ であり、$X\ast Y$ は可縮である。$\square$

結合律

$X,Y,Z$ がコンパクト Hausdorff 空間ならば $(X\ast Y)\ast Z\cong X\ast(Y\ast Z)$ である。この同相写像のもとで、両辺は $X\times Y\times Z\times\Delta^2$（$\Delta^2$ は 2 単体）を、重心座標 $(t_0,t_1,t_2)$ の $t_0=0$ の面で $x$ を忘れ、$t_1=0$ の面で $y$ を忘れ、$t_2=0$ の面で $z$ を忘れる同値関係で割った空間 $X\ast Y\ast Z$ と同一視される。

結合律の証明について

証明は Hat02 Chapter 0（join の項）に譲る。$(X\ast Y)\ast Z$ から $X\ast Y\ast Z$ への写像は $[\![x,y,t],z,u]\mapsto[x,y,z,((1-t)(1-u),t(1-u),u)]$ で与えられ、コンパクト Hausdorff の仮定のもとで join-prop-cone と同様に「コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射」として同相写像であることが分かる。局所コンパクト Hausdorff 空間まで仮定を弱めることもできる。

補足

記号と流儀

ジョインの記号は $X\ast Y$ が標準的であるが、自由積の記号と同じなので、文脈によっては並置 $XY$ や $X\star Y$ を用いる。錐(位相)の記事は $X\star\{\ast\}$ と書いている。join-def の $\sim$ を $X\times Y\times I$ の上の関係 $\approx$（join-prop-standard）で置き換えた定義を採用する文献も多く、その場合は $X$ または $Y$ が空のときを別に約束する必要がある。本記事の定義は $X\ast\emptyset=X$ を自動的に含む。

CW複体のジョイン

$X,Y$ がCW複体のとき、$X\ast Y$ には $X$ の胞体 $e^a$、$Y$ の胞体 $e^b$ から作られる胞体 $e^a\ast e^b$（次元 $a+b+1$）と $X,Y$ の胞体からなる CW 構造が入り、$X$ と $Y$ は部分複体になる。ただし直積 $X\times Y$ の場合と同じく、$X,Y$ の一方が局所有限でないときは商位相より CW 位相の方が細かくなりうる（Hat02 Chapter 0、および Theorem A.6 の直積の CW 構造の議論）。