ループ空間

$\varepsilon$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、$\varepsilon(0)=\varepsilon(1)=1$ 以外に同一視はない。よって $\sigma\mapsto\sigma\circ\varepsilon$ は $\mathrm{Map}_*(S^1,X)$ から $\Omega X$ への全単射である。連続性は コンパクト開位相 の命題「固定した写像との合成」による。逆写像の連続性：$L\subset S^1$ がコンパクト、$U\subset X$ が開なら、$\varepsilon^{-1}(L)$ は $I$ の閉集合なのでコンパクトであり、$\varepsilon$ が全射であることから「$\sigma(L)\subset U$」と「$\sigma\circ\varepsilon(\varepsilon^{-1}(L))\subset U$」は同値である。よって準開基の元 $W(L,U)$ の像は $W(\varepsilon^{-1}(L),U)\cap\Omega X$ で、開集合である。$\square$

$\lambda_\omega(\alpha):=\omega\cdot\alpha$ とおく。loop-thm-h-group の証明のホモトピーで $\omega$ を固定すれば、$\lambda_{\bar\omega}\circ\lambda_\omega(\alpha)=\bar\omega\cdot(\omega\cdot\alpha)\simeq(\bar\omega\cdot\omega)\cdot\alpha\simeq c\cdot\alpha\simeq\alpha$ が $\alpha$ について連続なホモトピーとして得られる。ここで $(\bar\omega\cdot\omega)\cdot\alpha\simeq c\cdot\alpha$ には $K(\bar\omega,s)\cdot\alpha$ を使う。逆向きの合成も同様である。$\lambda_\omega(c)=\omega\cdot c$ は $R_{\varphi_2}(\omega,\cdot)$ で $\omega$ と結ばれる。$\square$

$T$ は局所コンパクト Hausdorff なので、loop-lem-continuity と同じく、写像 $Z\to T\times X^T$、$z\mapsto(\lambda_z,\gamma_z)$ が連続であることは、$z\mapsto\lambda_z$ と $(z,t)\mapsto\gamma_z(t)$ が連続であることと同値である（コンパクト開位相 の定理「指数法則」）。以下この注意を「指数法則」と呼ぶ。

1：$(\lambda,\gamma,\mu,\delta,t)\mapsto(\gamma*\delta)(t)$ は、閉集合 $t\le\lambda$ と $t\ge\lambda$ の上でそれぞれ評価写像の合成として連続で（$T$ は局所コンパクト Hausdorff なので評価写像は連続）、$t=\lambda$ では $\gamma(\lambda)=x_0=\delta(0)$ で一致するので連続である。長さの和も連続なので、指数法則から積は連続である。$t\ge\lambda+\mu$ で値は $x_0$ なので積は $Q_X$ に入る。三つの元の積は、どちらの括弧の付け方でも、長さ $\lambda+\mu+\nu$ と、区間 $[0,\lambda]$、$[\lambda,\lambda+\mu]$、$[\lambda+\mu,\infty)$ でそれぞれ $\gamma(t)$、$\delta(t-\lambda)$、$\varepsilon(t-\lambda-\mu)$ をとる道になり、等しい。$u(\mu,\delta)$ は $t\ge0$ で $\delta(t)$ なので $(\mu,\delta)$ に等しく、$(\lambda,\gamma)u$ は $t\ge\lambda$ で $x_0=\gamma(t)$ なので $(\lambda,\gamma)$ に等しい。

2：$(\lambda,\gamma,s)\mapsto\gamma(\lambda s)$ は連続で、$s=0,1$ で $x_0$ をとるので、loop-lem-continuity により $r$ は連続であり、$r(u)=c$ である。$J$ の連続性も同様で、$t\ge1$ で値は $\omega(1)=x_0$ なので $J(\omega)\in Q_X$ であり、$rJ(\omega)(s)=\omega(s)$ である。$a\in I$ について $\ell:=(1-a)\lambda+a$ とおき、$\ell>0$ なら $q:=\lambda\min(t/\ell,1)$、$\ell=0$ なら $q:=0$ として$$H_a(\lambda,\gamma):=\bigl(\ell,\ t\mapsto\gamma(q)\bigr)$$と定める。$\ell=0$ となるのは $\lambda=a=0$ のときだけで、つねに $0\le q\le\lambda$ なので、$(\lambda,a,t)\mapsto q$ は $\ell=0$ の点でも連続である。よって $H\colon Q_X\times I\to Q_X$ は連続である。$t\ge\ell$ なら $q=\lambda$ で値は $\gamma(\lambda)=x_0$ なので $H_a(\lambda,\gamma)\in Q_X$ である。$a=0$ では $q=\min(t,\lambda)$ で、$\gamma$ は $\lambda$ 以降 $x_0$ なので $H_0=\mathrm{id}$ であり（$\lambda=0$ でも $\gamma$ は定値 $x_0$）、$a=1$ では $\ell=1$、$q=\lambda\min(t,1)$ なので $H_1=J\circ r$ である。このホモトピーは $H_a(u)=(a,c)$ を満たし、$u$ を止めない。

3：$V_a(m,n):=r\bigl(H_a(m)H_a(n)\bigr)$ とおく。$V_0(m,n)=r(mn)$ である。$a=1$ では $H_1(m)$、$H_1(n)$ はどちらも長さ $1$ なので、積は長さ $2$ で、$r$ をとると $s\le\frac12$ で $r(m)(2s)$、$s\ge\frac12$ で $r(n)(2s-1)$、すなわち $V_1(m,n)=r(m)\cdot r(n)$ である。$V_a(u,u)=r((2a,c))=c$ なので、$V$ は基点付きホモトピーである。$\square$

$p$ の連続性は評価写像の連続性による。1：$a\in I$ について $D_a(\mu,\gamma):=\bigl((1-a)\mu,\ t\mapsto\gamma(\min(t,(1-a)\mu))\bigr)$ とおく。loop-prop-moore の証明の冒頭の指数法則により $D\colon P_X\times I\to P_X$ は連続で、$t\ge(1-a)\mu$ で値は一定なので $P_X$ に入る。$\gamma$ は $\mu$ 以降一定なので $D_0=\mathrm{id}$、$D_1=(0,c)=u$ であり、$D_a(u)=u$ である。

2：空間 $Z$、連続写像 $f\colon Z\to P_X$、$f(z)=(\mu_z,\gamma_z)$ と、$h(z,0)=p(f(z))$ を満たすホモトピー $h\colon Z\times I\to X$ をとる。$$L(z,a):=\bigl(\mu_z+a,\ \eta_{z,a}\bigr),\qquad\eta_{z,a}(t):=\begin{cases}\gamma_z(t)&(t\le\mu_z)\\ h\bigl(z,\min(t-\mu_z,a)\bigr)&(t\ge\mu_z)\end{cases}$$とおく。$t=\mu_z$ では $\gamma_z(\mu_z)=h(z,0)$ で一致し、$Z\times I\times T$ の閉集合 $t\le\mu_z$、$t\ge\mu_z$ の上でそれぞれ連続なので、$L\colon Z\times I\to P_X$ は連続である。$t\ge\mu_z+a$ で値は $h(z,a)$ と一定なので $L(z,a)\in P_X$ であり、$p(L(z,a))=h(z,a)$ である。$a=0$ では、$t\ge\mu_z$ で $h(z,0)=\gamma_z(\mu_z)=\gamma_z(t)$ なので $L(z,0)=f(z)$ である。$\square$

$X$ の積を $\mu_X$、単位元のホモトピーを $\mu_X(x,x_0)\simeq x$、$\mu_X(x_0,x)\simeq x$（基点付き）とする。$\mu_X(x_0,x_0)=x_0$ なので $\nu(\alpha,\beta)$ はループで、$\nu$ は loop-lem-continuity により連続である。連続写像 $F\colon\Omega X\times\Omega X\to\Omega X$ について $x\star_Fy:=F_*[\operatorname{sh}(a\otimes b)]$ と書く。$\operatorname{sh}$ は鎖写像なのでこれは類だけで決まる。$\star_\mu$ が Pontryagin 積である。

単位元。Eilenberg–Zilberの定理 の命題「shuffle 写像の結合律・次数付き可換性・単位」の 3 と、命題「shuffle 写像は正規化された自然な鎖写像」の自然性から、$x\star_F1=(F\circ j)_*x$（$j(\alpha):=(\alpha,c)$）である。$\mu\circ j(\alpha)=\alpha\cdot c$ は loop-thm-h-group の証明の $R_{\varphi_2}$ で恒等写像とホモトピックである。$\nu\circ j(\alpha)$ は $t\mapsto\mu_X(\alpha(t),x_0)$ で、単位元のホモトピーを各点に当てれば（基点を止めるので各時刻でループであり、loop-lem-continuity により連続）恒等写像とホモトピックである。よって $x\star_\mu1=x\star_\nu1=x$ で、左からも同様である。

交換法則。四つのループについて、$t\le\frac12$ で両辺とも $\mu_X(\alpha(2t),\gamma(2t))$、$t\ge\frac12$ で $\mu_X(\beta(2t-1),\delta(2t-1))$ となるので、写像として $\nu\circ(\mu\times\mu)=\mu\circ(\nu\times\nu)\circ\tau$（$\tau(\alpha,\beta,\gamma,\delta):=(\alpha,\gamma,\beta,\delta)$）である。斉次の輪体 $a_1,a_2,b_1,b_2$（次数 $p_1,p_2,q_1,q_2$）について、$S(w\otimes x\otimes y\otimes z):=\operatorname{sh}(\operatorname{sh}(w\otimes x)\otimes\operatorname{sh}(y\otimes z))$ とおく。同じ命題の 1（結合律）により $S=\operatorname{sh}(w\otimes\operatorname{sh}(\operatorname{sh}(x\otimes y)\otimes z))$ であり、$\tau=\mathrm{id}\times(s\times\mathrm{id})$（$s$ は成分の入れ替え）と自然性・同じ命題の 2 から$$\tau_\sharp S(a_1\otimes a_2\otimes b_1\otimes b_2)=(-1)^{p_2q_1}S(a_1\otimes b_1\otimes a_2\otimes b_2)$$である。自然性から $\nu_\sharp\operatorname{sh}(\mu_\sharp\operatorname{sh}(a_1\otimes a_2)\otimes\mu_\sharp\operatorname{sh}(b_1\otimes b_2))=\nu_\sharp(\mu\times\mu)_\sharp S(a_1\otimes a_2\otimes b_1\otimes b_2)$ なので、上の等式を合わせて$$(x_1\star_\mu x_2)\star_\nu(y_1\star_\mu y_2)=(-1)^{p_2q_1}(x_1\star_\nu y_1)\star_\mu(x_2\star_\nu y_2)$$を得る。

一致と可換性。$x\in H_p$、$y\in H_q$ とする。$(x_1,x_2,y_1,y_2)=(x,1,1,y)$ を代入すると符号は $1$ で、$x\star_\nu y=(x\star_\mu1)\star_\nu(1\star_\mu y)=(x\star_\nu1)\star_\mu(1\star_\nu y)=x\star_\mu y$ である。$(1,x,y,1)$ を代入すると $x\star_\nu y=(1\star_\mu x)\star_\nu(y\star_\mu1)=(-1)^{pq}(1\star_\nu y)\star_\mu(x\star_\nu1)=(-1)^{pq}y\star_\mu x$ である。よって $x\cdot y=(-1)^{pq}y\cdot x$ で、線形性からすべての元について成り立つ。この証明は $\mu_X$ の結合性も、Künneth の定理も使わない。

loop-prop-moore の 2・3 と自然性により、$r_*\colon H_*(Q_X;K)\to H_*(\Omega X;K)$ は $Q_X$ の厳密な積が定める積を Pontryagin 積に写す環の同型でもある。$\square$