ループ空間

同義語：loop space

概要

前提知識: 基点付き空間, コンパクト開位相, ホモトピー群, スマッシュ積

基点付き空間 $(X,x_0)$ のループ空間（loop space）$\Omega X$ は、$x_0$ から出て $x_0$ に戻るループ全体にコンパクト開位相を入れた空間である。ループをつなぐ操作によって $\Omega X$ は「ホモトピーを込めれば群」である空間（H 群）になり、そのホモトピー群は $X$ のホモトピー群を 1 つずつずらしたもの $\pi_n(\Omega X)\cong\pi_{n+1}(X)$ になる。また $\Omega X$ は、始点を $x_0$ に固定した道の空間を終点で $X$ へ写すファイブレーションのファイバーであり、その全空間は可縮である。
ループ空間は懸垂の右随伴として、ホモトピー論の基本的な構成である。この記事では、ループ空間の定義と連続性の扱いを整えたうえで、H 群であること（loop-thm-h-group）、ホモトピー群のずれ（loop-thm-shift）、道の空間のファイブレーション（loop-thm-path-fibration）を証明する。

定義

$I:=[0,1]$ とし、写像の空間にはつねにコンパクト開位相を入れる。$X^I$ は $I$ から $X$ への連続写像の空間である。

ループ空間

基点付き空間 $(X,x_0)$ に対し、
$$ \Omega X:=\{\gamma\in X^I\mid\gamma(0)=\gamma(1)=x_0\} $$
に $X^I$ の部分空間の位相を入れ、定値写像 $c(t):=x_0$ を基点とした基点付き空間を $X$ のループ空間という。$\Omega^nX:=\Omega(\Omega^{n-1}X)$（$\Omega^0X:=X$）を $n$ 重ループ空間という。

スマッシュ積の記事の定義「被約懸垂とループ空間」は、ループ空間を基点付き写像 $S^1\to X$ の空間 $\mathrm{Map}_*(S^1,X)$（$S^1\subset\mathbb{C}$、基点 $1$）として定めている。2 つの定義は同じものである。

2 つの定義の一致

$\varepsilon\colon I\to S^1$、$\varepsilon(t):=e^{2\pi it}$ とすると、$\sigma\mapsto\sigma\circ\varepsilon$ は $\mathrm{Map}_*(S^1,X)$ から $\Omega X$ への同相写像である。

要点：$\varepsilon$ は端点だけを同一視する商写像で、コンパクト集合の逆像はコンパクトである。

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$\varepsilon$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、$\varepsilon(0)=\varepsilon(1)=1$ 以外に同一視はない。よって $\sigma\mapsto\sigma\circ\varepsilon$ は $\mathrm{Map}_*(S^1,X)$ から $\Omega X$ への全単射である。連続性はコンパクト開位相の命題「固定した写像との合成」による。逆写像の連続性：$L\subset S^1$ がコンパクト、$U\subset X$ が開なら、$\varepsilon^{-1}(L)$ は $I$ の閉集合なのでコンパクトであり、$\varepsilon$ が全射であることから「$\sigma(L)\subset U$」と「$\sigma\circ\varepsilon(\varepsilon^{-1}(L))\subset U$」は同値である。よって準開基の元 $W(L,U)$ の像は $W(\varepsilon^{-1}(L),U)\cap\Omega X$ で、開集合である。$\square$

道の空間と自由ループ空間

$PX:=\{\gamma\in X^I\mid\gamma(0)=x_0\}$ を $X$ の（基点から出る）道の空間といい、終点をとる写像を $p\colon PX\to X$、$p(\gamma):=\gamma(1)$ と書く。$p^{-1}(x_0)=\Omega X$ である。
基点の条件を課さない連続写像 $S^1\to X$ 全体の空間 $LX:=\mathrm{Map}(S^1,X)$ を自由ループ空間という。

ループ $\alpha,\beta\in\Omega X$ の連結を、ホモトピー群の記事と同じく
$$ (\alpha\cdot\beta)(t):=\begin{cases}\alpha(2t)&(0\le t\le\tfrac12)\\ \beta(2t-1)&(\tfrac12\le t\le1)\end{cases} $$
で、逆ループを $\bar\alpha(t):=\alpha(1-t)$ で定める。

H 空間と H 群

基点 $e$ をもつ空間 $Z$ と連続写像 $\mu\colon Z\times Z\to Z$ の組が H 空間であるとは、$z\mapsto\mu(e,z)$ と $z\mapsto\mu(z,e)$ がどちらも恒等写像と基点付きホモトピックであることをいう。さらに $\mu\circ(\mu\times\mathrm{id})$ と $\mu\circ(\mathrm{id}\times\mu)$ が基点付きホモトピックで、連続写像 $\nu\colon Z\to Z$ で $z\mapsto\mu(z,\nu(z))$ と $z\mapsto\mu(\nu(z),z)$ がどちらも定値写像 $e$ と基点付きホモトピックになるものがあるとき、$Z$ を H 群という。

位相群は H 群である。H 群の定義は、群の公理を「等式」から「ホモトピー」に緩めたものである。

直感

ループ空間の点はループであり、ループ空間の中の道はループの連続変形、すなわち端点を止めたホモトピーである。したがって $\Omega X$ の弧状連結成分は基本群 $\pi_1(X)$ の元と一対一に対応する。同じことを 1 次元上げると、$\Omega X$ の中のループは「ループの 1 径数族」、つまり正方形から $X$ への写像であり、$\pi_1(\Omega X)\cong\pi_2(X)$ となる。ループ空間をとると、パラメータが 1 つ減る代わりに空間の側の次元が 1 つ下がる。
ループの連結は結合的でも単位的でもないが、つなぐ速さを連続的に変えれば結合律・単位律・逆元の式が成り立つ。この「パラメータの付け替え」が、ループ空間を H 群にする仕組みである。

基本性質

ループ空間への写像の連続性

任意の空間 $Z$ について、写像 $G\colon Z\to\Omega X$ が連続であることと、$\check G\colon Z\times I\to X$、$\check G(z,t):=G(z)(t)$ が連続であることは同値である。とくに $\Omega X$ に値をとるホモトピー $Z\times I\to\Omega X$ は、連続写像 $Z\times I\times I\to X$ で、ループの変数の端点で $x_0$ をとるものと一対一に対応する。

$I$ は局所コンパクト Hausdorff なので、コンパクト開位相の定理「指数法則」により、$Z\to X^I$ の連続性と $Z\times I\to X$ の連続性は同値である。$\Omega X$ は $X^I$ の部分空間なので、$Z\to\Omega X$ の連続性は $Z\to X^I$ としての連続性と同じである。後半は $Z$ を $Z\times I$ に替えて適用すればよい。$\square$

以下、ループ空間への写像やホモトピーは、この補題により $X$ への式で書いて連続性を確かめる。

関手性

基点付き写像 $f\colon X\to Y$ に対し、$\Omega f\colon\Omega X\to\Omega Y$、$\gamma\mapsto f\circ\gamma$ は基点付き連続写像で、$\Omega(g\circ f)=\Omega g\circ\Omega f$ である。$f$ と $f'$ が基点付きホモトピックなら $\Omega f$ と $\Omega f'$ も基点付きホモトピックであり、とくに $X$ と $Y$ が基点付きホモトピー同値なら $\Omega X$ と $\Omega Y$ もそうである。

$\Omega f$ の連続性はコンパクト開位相の命題「固定した写像との合成」による。基点付きホモトピー $H\colon X\times I\to Y$ に対し、$(\gamma,s,t)\mapsto H(\gamma(t),s)$ は評価写像の連続性（同記事の命題「評価写像の連続性」）により連続なので、loop-lem-continuity から $\Omega f$ と $\Omega f'$ の間の基点付きホモトピーを定める。合成の式は定義から明らかである。$\square$

ループの連結による群構造

ループ空間は H 群

連結 $\mu(\alpha,\beta):=\alpha\cdot\beta$ と逆ループ $\nu(\alpha):=\bar\alpha$ について、$(\Omega X,c,\mu,\nu)$ は H 群である。

$\mu$ が連続であることは、$(\alpha,\beta,t)\mapsto(\alpha\cdot\beta)(t)$ が 2 つの閉集合 $t\le\tfrac12$、$t\ge\tfrac12$ の上でそれぞれ評価写像の合成として連続で、$t=\tfrac12$ で一致することと、loop-lem-continuity からわかる。$\nu$ も同様である。
鍵は付け替えのホモトピーである。$\varphi\colon I\to I$ が連続で $\varphi(0)=0$、$\varphi(1)=1$ なら、
$$ R_\varphi\colon\Omega X\times I\to\Omega X,\qquad R_\varphi(\gamma,s)(t):=\gamma\bigl((1-s)\varphi(t)+st\bigr) $$
は連続で（loop-lem-continuity）、各時刻でループを与え、$R_\varphi(c,s)=c$ である。$R_\varphi$ は $\gamma\mapsto\gamma\circ\varphi$ から恒等写像への基点付きホモトピーである。
単位律：$\varphi_1(t):=\max(0,2t-1)$、$\varphi_2(t):=\min(1,2t)$ とすると $c\cdot\gamma=\gamma\circ\varphi_1$、$\gamma\cdot c=\gamma\circ\varphi_2$ なので、$R_{\varphi_1}$、$R_{\varphi_2}$ が求めるホモトピーである。
結合律：$(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma=(\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma))\circ\psi$ となる区分的に線形な $\psi$（$[0,\tfrac14],[\tfrac14,\tfrac12],[\tfrac12,1]$ をそれぞれ $[0,\tfrac12],[\tfrac12,\tfrac34],[\tfrac34,1]$ へ）がある。$(\alpha,\beta,\gamma,s)\mapsto R_\psi(\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma),s)$ は連続で、$\Omega X\times\Omega X\times\Omega X$ 上の 2 つの写像の間の基点付きホモトピーを与える。
逆元：$K(\gamma,s)(t):=\gamma(2t(1-s))$（$t\le\tfrac12$）、$\gamma((2-2t)(1-s))$（$t\ge\tfrac12$）とおくと、$t=\tfrac12$ で両式は $\gamma(1-s)$ で一致し、$t=0,1$ で $x_0$ をとり、$K(\gamma,0)=\gamma\cdot\bar\gamma$、$K(\gamma,1)=c$、$K(c,s)=c$ である。$\gamma$ を $\bar\gamma$ に替えれば $\bar\gamma\cdot\gamma$ についても同じである。$\square$

弧状連結成分はすべてホモトピー同値

ループ $\omega\in\Omega X$ について、$\alpha\mapsto\omega\cdot\alpha$ は $\Omega X$ からそれ自身へのホモトピー同値で、$c$ を含む弧状連結成分を $\omega$ を含む成分へ写す。とくに $\Omega X$ の弧状連結成分はすべて互いにホモトピー同値である。

要点：$\alpha\mapsto\bar\omega\cdot\alpha$ がホモトピー逆写像になる。

詳しい証明を開く

$\lambda_\omega(\alpha):=\omega\cdot\alpha$ とおく。loop-thm-h-group の証明のホモトピーで $\omega$ を固定すれば、$\lambda_{\bar\omega}\circ\lambda_\omega(\alpha)=\bar\omega\cdot(\omega\cdot\alpha)\simeq(\bar\omega\cdot\omega)\cdot\alpha\simeq c\cdot\alpha\simeq\alpha$ が $\alpha$ について連続なホモトピーとして得られる。ここで $(\bar\omega\cdot\omega)\cdot\alpha\simeq c\cdot\alpha$ には $K(\bar\omega,s)\cdot\alpha$ を使う。逆向きの合成も同様である。$\lambda_\omega(c)=\omega\cdot c$ は $R_{\varphi_2}(\omega,\cdot)$ で $\omega$ と結ばれる。$\square$

基点付き空間 $A$ からの基点付きホモトピー類の集合 $[A,\Omega X]_*$ には、各点ごとの連結 $(f\cdot g)(a):=f(a)\cdot g(a)$ で群の構造が入る。群の公理は、loop-thm-h-group のホモトピーを $f,g$ と合成すれば得られる。スマッシュ積の記事の注意「随伴の位相版」の全単射 $[\Sigma A,X]_*\cong[A,\Omega X]_*$ は、この群構造と、被約懸垂の座標でつなぐ群構造を対応させる（Hat02 §4.3、p. 395）。2 重ループ空間 $\Omega^2X$ への写像の類の群はアーベル群である（May99 Chapter 22 §2 の補題、p. 178。この記事では証明しない）。

ホモトピー群のずれ

ホモトピー群の記事の定義「ホモトピー群の演算」のとおり、$\pi_n(X,x_0)$（$n\ge1$）を、$\partial I^n$ を $x_0$ へ写す写像 $I^n\to X$ の、境界を止めたホモトピー類の集合とし、群の演算は第 1 座標でつなぐものとする。

ホモトピー群のずれ

$n\ge0$ について、$f\colon(I^n,\partial I^n)\to(\Omega X,c)$ に $\hat f(s_1,\dots,s_n,t):=f(s_1,\dots,s_n)(t)$ を対応させると、全単射
$$ \pi_n(\Omega X,c)\xrightarrow{\ \cong\ }\pi_{n+1}(X,x_0) $$
が得られる。$n\ge1$ ではこれは群の同型である。$n=0$ では、$\pi_0(\Omega X)$（$\Omega X$ の弧状連結成分の集合）と $\pi_1(X,x_0)$ の全単射であり、成分 $[\alpha]$ と $[\beta]$ の「積」$[\alpha\cdot\beta]$ が基本群の積に対応する。

$n\ge1$ とする。loop-lem-continuity により、写像 $f\colon I^n\to\Omega X$ の連続性と $\hat f\colon I^n\times I\to X$ の連続性は同値である。$f(\partial I^n)=c$ と $f(s)\in\Omega X$ を合わせた条件は、$\hat f$ が $\partial I^n\times I\cup I^n\times\{0,1\}=\partial I^{n+1}$ を $x_0$ へ写すことと同値である。したがって $f\mapsto\hat f$ は、$(I^n,\partial I^n)\to(\Omega X,c)$ の写像と $(I^{n+1},\partial I^{n+1})\to(X,x_0)$ の写像の全単射である。ホモトピーについても、loop-lem-continuity の後半を $Z=I^n$ に使えば、境界を止めたホモトピーどうしが同じ対応で一対一に対応する。よって類の全単射が得られる。第 1 座標でつなぐ和は、$\hat f$ の側でも第 1 座標 $s_1$ でつなぐ和なので、$\widehat{f+g}=\hat f+\hat g$ であり、全単射は準同型である。
$n=0$ では $I^0$ は 1 点なので、$f$ はループ $\alpha$ そのものである。$\Omega X$ の中で $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ道は、loop-lem-continuity により $\alpha$ から $\beta$ への端点を止めたホモトピーと同じものである。よって $\Omega X$ の弧状連結成分は基本群の元と一対一に対応し、基本群の積はループの連結 $\alpha\cdot\beta$ で定義されている。$\square$

$\Omega$ を繰り返すと、$\pi_k(\Omega^nX)\cong\pi_{k+n}(X)$ となる。

道の空間のファイブレーション

連続写像 $p\colon E\to B$ がホモトピー持ち上げ性質をもつとは、任意の空間 $Z$、ホモトピー $g\colon Z\times I\to B$、$p\circ\tilde g_0=g(\cdot,0)$ を満たす連続写像 $\tilde g_0\colon Z\to E$ に対し、$p\circ\tilde g=g$ かつ $\tilde g(\cdot,0)=\tilde g_0$ となる連続写像 $\tilde g\colon Z\times I\to E$ があることをいう。この性質をもつ写像を（Hurewicz の意味の）ファイブレーションという。

道の空間のファイブレーション

道の空間 $PX$ は可縮である。
終点の写像 $p\colon PX\to X$ はホモトピー持ち上げ性質をもち、$x_0$ 上のファイバーは $\Omega X$ である。

1：$H(\gamma,s)(t):=\gamma((1-s)t)$ は loop-lem-continuity により連続な $PX\times I\to PX$ を定め（各時刻で始点は $x_0$）、$H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$H(\cdot,1)=c$ である。
2：$g\colon Z\times I\to X$ と $\tilde g_0\colon Z\to PX$（$\tilde g_0(z)(1)=g(z,0)$）が与えられたとする。$\tilde g_0(z)$ のあとに道 $u\mapsto g(z,u)$（$0\le u\le s$）をつなぎ、全体を $[0,1]$ に縮めて
$$ \tilde g(z,s)(t):=\begin{cases}\tilde g_0(z)\bigl((1+s)t\bigr)&\bigl(t\le\tfrac1{1+s}\bigr)\\ g\bigl(z,(1+s)t-1\bigr)&\bigl(t\ge\tfrac1{1+s}\bigr)\end{cases} $$
とおく。$\{(s,t)\mid(1+s)t\le1\}$ とその補集合の閉包はどちらも閉集合で、境目 $(1+s)t=1$ では両式とも $\tilde g_0(z)(1)=g(z,0)$ となるので、$(z,s,t)\mapsto\tilde g(z,s)(t)$ は連続であり、loop-lem-continuity から $\tilde g$ は連続である。$\tilde g(z,s)(0)=x_0$、$\tilde g(z,0)=\tilde g_0(z)$、$\tilde g(z,s)(1)=g(z,s)$ が式から確かめられる。$\square$

ファイブレーションのホモトピー完全列（Hat02 Theorem 4.41、p. 376）を $\Omega X\to PX\to X$ に使えば、$PX$ が可縮なことから再び $\pi_{n+1}(X)\cong\pi_n(\Omega X)$ が出る（同書 pp. 407–408）。逆に、全空間が可縮なファイブレーション $F\to E\to B$ のファイバー $F$ は $\Omega B$ と弱ホモトピー同値である（同書 Proposition 4.66、p. 408。この記事では証明しない）。

例

円周のループ空間

$\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_k(S^1)=0$（$k\ge2$）なので、loop-thm-shift により $\Omega S^1$ の弧状連結成分は整数（巻き数）と一対一に対応し、$c$ を含む成分のホモトピー群はすべて自明である。loop-cor-components により、どの成分でもホモトピー群は自明である。$\Omega S^1$ は離散空間 $\mathbb{Z}$ のように振る舞う。

Eilenberg–MacLane 空間のループ空間

$n\ge2$ とし、$K$ を Eilenberg–MacLane空間 $K(G,n)$ とする。loop-thm-shift により $\pi_0(\Omega K)\cong\pi_1(K)=0$ なので $\Omega K$ は弧状連結であり、$\pi_k(\Omega K)\cong\pi_{k+1}(K)$ は $k=n-1$ で $G$、それ以外の $k\ge1$ で $0$ である。よって $\Omega K(G,n)$ は $K(G,n-1)$ である。この性質が、コホモロジーを表現する空間の列をつなぐ（Brownの表現可能性定理）。

球面のループ空間

$n\ge2$ について $\Omega S^n$ は弧状連結で、$\pi_k(\Omega S^n)\cong\pi_{k+1}(S^n)$ は $k\le n-2$ で $0$、$k=n-1$ で $\mathbb{Z}$ である（ホモトピー群の例「球面自身」「球面の次元未満の群」）。$n=2$ では $\pi_2(\Omega S^2)\cong\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ であり（同記事の例「低次元球面の非自明な高次ホモトピー」）、Hopf 写像が $\Omega S^2$ の 2 次元の球面の類として現れる。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
ループの基点を固定する（自由ループ空間 $LX$ に替える）	$X=S^1\vee S^1$、ループ $a\cdot b$ と $b\cdot a$	弧状連結成分が $\pi_1(X)$ の元と一対一に対応する（loop-thm-shift の $n=0$）
道の始点を固定する（$X^I$ に替える）	$X=S^1$	道の空間は可縮（loop-thm-path-fibration の 1）

反例：表の各行の確かめ

確かめを開く

1 行目：$a,b$ を 2 つの円周を 1 周するループとすると、$\pi_1(S^1\vee S^1)$ は $a,b$ で生成される自由群なので（Eilenberg–MacLane空間の注意「引用する事実」の (b)）、$ab\ne ba$ であり、$a\cdot b$ と $b\cdot a$ は $\Omega X$ の異なる成分にある。一方、$\gamma:=a\cdot b$ を $S^1$ 上の写像 $\sigma$（$\sigma\circ\varepsilon=\gamma$）とみて、回転 $\sigma_s(z):=\sigma(e^{\pi is}z)$（$0\le s\le1$）を考えると、これは $LX$ の中の道であり（コンパクト開位相の定理「指数法則」）、$\sigma_1\circ\varepsilon$ は $t\mapsto\gamma(t+\tfrac12\bmod1)=(b\cdot a)(t)$ である。よって $LX$ では 2 つは同じ弧状連結成分にある。

2 行目：$e_0\colon X^I\to X$、$e_0(\gamma):=\gamma(0)$ と、定値の道を対応させる $\kappa\colon X\to X^I$ は、$e_0\circ\kappa=\mathrm{id}$、$\kappa\circ e_0\simeq\mathrm{id}$（ホモトピー $(\gamma,s)\mapsto(t\mapsto\gamma((1-s)t))$）を満たすので、$X^I$ は $X$ とホモトピー同値である。$S^1$ は可縮でないので（基本群の記事の定理「円周の基本群」）、$(S^1)^I$ も可縮でない。

使われ方

懸垂との随伴：$[\Sigma A,X]_*\cong[A,\Omega X]_*$ により、懸垂からの写像の問題とループ空間への写像の問題が行き来できる（スマッシュ積、懸垂）。
一般コホモロジー論：空間の列 $K_0,K_1,\dots$ と弱ホモトピー同値 $K_n\to\Omega K_{n+1}$ の組（Ω スペクトル）は、$X\mapsto[X,K_n]_*$ によって基点付き CW 複体の上のコホモロジー論を与え（May99 Chapter 22 §2、p. 178）、逆にすべてのコホモロジー論はこの形に表される（Brownの表現可能性定理）。この列の各 $K_n$ は、何回でもループ空間として表せるので無限ループ空間と呼ばれる。通常のコホモロジーでは $K_n=K(G,n)$ である（loop-ex-em）。
Bott の周期性：複素 K 理論の周期性 $\tilde K(X)\cong\tilde K(\Sigma^2X)$ は、$BU\times\mathbb{Z}$ と 2 重ループ空間 $\Omega^2(BU\times\mathbb{Z})$ の比較として述べ直される（May99 Chapter 24 §2、pp. 206–207。この記事では証明しない）。
分類空間：位相群 $G$ の普遍束 $EG\to BG$ の全空間は可縮なので、$G$ は $\Omega BG$ と弱ホモトピー同値である（分類空間、Hat02 Proposition 4.66）。
微分位相：Kervaire の不変量の定義では $\Omega S^6$ への写像が使われる（Kervaire多様体）。