直既約加群

同義語：indecomposable module

概要

前提知識: 加群, 直和, 直和因子

整数は素数の積に分かれ、素数はそれ以上分かれない。加群を部分加群の直和に分けていくとき、「素数」にあたるのが 直既約加群、すなわち $0$ でなく、$0$ でない 2 つの部分加群の直和には分かれない加群である。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ は分かれるが、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Z}$ は分かれない。直既約性は自己準同型環の言葉で測れる。$0$ でない加群が直既約であることは、自己準同型環の冪等元が $0$ と恒等写像だけであることと同値であり、長さ有限の加群では、さらに自己準同型環が局所環であることと同値になる。$0$ でない Noether 加群や Artin 加群は直既約加群の有限直和に分かれるので、有限次元の表現や有限アーベル群の分類は、直既約なものの分類と、分解の一意性（Krull–Schmidtの定理）の 2 つに帰着する。
直既約は単純より弱い条件である。単純加群は直既約だが、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は部分群 $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ をもつので単純でない。ベクトル空間では両者は一致し、どちらも $1$ 次元であることを意味する。

定義

以下、$R$ は単位元 $1$ をもつ環（可換とは限らない）とし、加群は単位的な左 $R$ 加群、準同型は $R$ 線形写像を指す。左 $R$ 加群 $M$ の自己準同型の全体 $\operatorname{End}_R(M)$ は、和と合成 $fg:=f\circ g$ について環をなす（自己準同型環）。その単位元は恒等写像 $\mathrm{id}_M$ である。

直既約加群

左 $R$ 加群 $M$ が 直既約（indecomposable）であるとは、$M\neq0$ であり、部分加群 $N,L\subset M$ について $M=N\oplus L$（内部直和）ならば $N=0$ または $L=0$ となることをいう。直既約な加群を 直既約加群（indecomposable module）という。$0$ でなく直既約でない加群を 直可約（decomposable）という。

つまり、直既約とは、直和因子が $0$ と $M$ だけで、$M\neq0$ であることである。$0$ を直既約に含めないのは、$1$ を素数に含めないのと同じ理由による。含めると、thm-indecomp-existence の分解に $0$ の成分をいくつでも足せてしまう。定義は Wis91 8.1（p. 57）による。Lan02 Chapter X, §7（pp. 439–440）の定義は $M\neq0$ の条件を置いていない点だけが異なる。
外部直和でも言い換えられる。$M$ が直既約であることは、$M\neq0$ であって、加群 $A,B$ について $M\cong A\oplus B$（外部直和）ならば $A=0$ または $B=0$ となることと同値である。実際、同型 $\varphi\colon A\oplus B\to M$ があれば $M=\varphi(A\oplus0)\oplus\varphi(0\oplus B)$ は内部直和であり、逆に内部直和 $M=N\oplus L$ は $M\cong N\oplus L$（外部直和）を与える。とくに、直既約加群と同型な加群は直既約である。
部分加群が $0$ と $M$ だけの $0$ でない加群を単純加群という。単純加群は直既約である。逆は成り立たない（ex-indecomp-abelian）。

ベクトル空間

$R$ が体 $k$ のとき、$k$ 上のベクトル空間 $V$ が直既約であることと $\dim V=1$ であることは同値である。$\dim V\ge2$ なら、$0$ でないベクトル $v$ をとり、$kv$ の補空間 $W$（$v$ を含む基底をとり、残りの基底ベクトルが張る部分空間）をとると $V=kv\oplus W$、$W\neq0$ である。$\dim V=1$ なら部分空間は $0$ と $V$ だけである。したがって有限次元の $V$ の直既約な部分空間への分解とは、基底を 1 つ選んで $V=kv_1\oplus\cdots\oplus kv_n$ と書くことである。

冪等元による特徴づけ

$\operatorname{End}_R(M)$ の元 $e$ が冪等（idempotent）であるとは、$e^2=e$ であることをいう（冪等元）。直和分解と冪等な自己準同型は次のように対応する。

直既約性と冪等な自己準同型

左 $R$ 加群 $M$ について次が成り立つ。

$e\in\operatorname{End}_R(M)$ が冪等なら、$1-e:=\mathrm{id}_M-e$ も冪等で、$M=e(M)\oplus(1-e)(M)$ かつ $(1-e)(M)=\ker e$ である。
部分加群の直和分解 $M=N\oplus L$ について、$x=n+\ell$（$n\in N$、$\ell\in L$）に $n$ を対応させる写像 $p$ は冪等な自己準同型で、$p(M)=N$、$\ker p=L$ である。
$M\neq0$ のとき、$M$ が直既約であることと、$\operatorname{End}_R(M)$ の冪等元が $0$ と $\mathrm{id}_M$ だけであることは同値である。

1：$(1-e)^2=1-2e+e^2=1-e$ である。$x\in M$ は $x=e(x)+(1-e)(x)$ と書けるので $M=e(M)+(1-e)(M)$ である。$y\in e(M)$ なら $y=e(z)$ と書けて $e(y)=e^2(z)=e(z)=y$ である。よって $y\in e(M)\cap\ker e$ なら $y=e(y)=0$ であり、$e(M)\cap\ker e=0$ である。$(1-e)(M)\subset\ker e$ は $e(1-e)=e-e^2=0$ から、$\ker e\subset(1-e)(M)$ は $x\in\ker e$ について $x=(1-e)(x)$ であることから従う。以上で $M=e(M)\oplus(1-e)(M)$、$(1-e)(M)=\ker e$ である。
2：表し方 $x=n+\ell$ の一意性から $p$ は写像として定まる。$x+x'=(n+n')+(\ell+\ell')$、$rx=rn+r\ell$（$r\in R$）であり、右辺は $N$ の元と $L$ の元の和なので、$p$ は $R$ 線形である。$n\in N$ は $n=n+0$ と書けるので $p(n)=n$ であり、$p(p(x))=p(n)=n=p(x)$、$p(M)=N$ である。$p(x)=0$ は $n=0$、すなわち $x=\ell\in L$ と同値なので $\ker p=L$ である。
3：$M$ が直既約でないとし、$M=N\oplus L$、$N\neq0$、$L\neq0$ とする。2 の $p$ は冪等で、$p(M)=N\neq0$ なので $p\neq0$、$\ker p=L\neq0$ なので $p\neq\mathrm{id}_M$ である。逆に $0,\mathrm{id}_M$ 以外の冪等元 $e$ があれば、$e\neq0$ から $e(M)\neq0$、$e\neq\mathrm{id}_M$ から $(1-e)(M)\neq0$ であり、1 により $M=e(M)\oplus(1-e)(M)$ は $0$ でない部分加群の直和なので、$M$ は直既約でない。$\square$

1 と 2 により、$M$ の直和因子とは冪等な自己準同型の像のことである（直和因子の定理「直和因子の言い換え」）。3 の言い換えにより、直既約性は自己準同型環という環の性質として調べられる。

自己準同型環が局所環の場合

可換とは限らない環 $A$ が 局所環（local ring）であるとは、$A\neq0$ であり、$A$ の単元（両側逆元をもつ元）でない元の全体が $A$ の両側イデアルをなすことをいう。$A$ が可換なら、極大イデアルがただ 1 つであることと同値である（局所環）。斜体（$0$ 以外の元がすべて単元である環）は、単元でない元が $0$ だけなので局所環である。

局所的な自己準同型環をもつ加群

左 $R$ 加群 $M$ の自己準同型環 $\operatorname{End}_R(M)$ が局所環なら、$M$ は直既約である。

局所環 $A=\operatorname{End}_R(M)$ は $0$ でないので $\mathrm{id}_M\neq0$、すなわち $M\neq0$ である。$e\in A$ を冪等元とする。$e$ と $1-e$ がともに単元でなければ、単元でない元の全体はイデアルで和について閉じているので、$e+(1-e)=1$ も単元でないことになり矛盾する。よって $e$ と $1-e$ の一方は単元であり、$1-e$ も冪等元である（thm-indecomp-idempotent の 1）。単元である冪等元 $f$ は $f=f^{-1}f^2=f^{-1}f=1$ を満たすので、$e=1$ か $1-e=1$、すなわち $e=\mathrm{id}_M$ か $e=0$ である。thm-indecomp-idempotent の 3 により $M$ は直既約である。$\square$

逆は一般には成り立たない。$\mathbb{Z}$ は直既約な $\mathbb{Z}$ 加群だが、$\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ は局所環でない（単元でない $3$ と $-2$ の和が単元 $1$ になる）。次の節で見るとおり、長さ有限の加群では逆が成り立つ。

長さ有限の直既約加群

加群 $M$ が 長さ有限 であるとは、組成列をもつこと、すなわち $M$ が Noether加群（部分加群の昇鎖が有限で止まる）かつ Artin加群（部分加群の降鎖が有限で止まる）であることをいう（加群の長さの命題「有限長と二つの鎖条件」）。体 $k$ 上の多元環の上の、$k$ 上有限次元の加群は長さ有限である（部分加群の鎖の長さは次元で抑えられる）。
自己準同型 $u$ が冪零であるとは、ある $n\ge1$ について $u^n=0$ となることをいう。長さ有限の加群では、1 つの自己準同型が加群を「同型に働く部分」と「冪零に働く部分」に分ける。すなわち、$M$ が長さ有限で $u\in\operatorname{End}_R(M)$ なら、十分大きな $n$ について
$$ M=u^n(M)\oplus\ker u^n $$
であり、$u$ は $u^n(M)$ の上で自己同型、$\ker u^n$ の上で冪零である。これが Fitting の補題であり、証明は Fittingの補題の定理「Fitting の補題」にある（Lan02 Chapter X, §7, Proposition 7.3, p. 440 も同じ）。像の降鎖 $u(M)\supset u^2(M)\supset\cdots$ と核の昇鎖 $\ker u\subset\ker u^2\subset\cdots$ がともに止まる番号 $n$ をとればよい。

長さ有限の直既約加群の特徴づけ

$M$ を $0$ でない長さ有限の左 $R$ 加群とする。次の 3 条件は同値である。

$M$ は直既約である。
$M$ の自己準同型は、自己同型であるか冪零であるかのどちらかである。
$\operatorname{End}_R(M)$ は局所環である。
このとき、$\operatorname{End}_R(M)$ の単元でない元の全体は、冪零な自己準同型の全体と一致し、両側イデアルをなす。

1 ⇒ 2：$u\in\operatorname{End}_R(M)$ に Fitting の補題を当てると $M=u^n(M)\oplus\ker u^n$ であり、$M$ は直既約なので $u^n(M)=M$ か $\ker u^n=M$ である。前者なら、$u$ は $u^n(M)=M$ の上で自己同型である。後者なら $u^n=0$ である。
2 ⇒ 3：$M\neq0$ なので $\mathrm{id}_M\neq0$ であり、$A:=\operatorname{End}_R(M)\neq0$ である。2 により、$A$ の単元でない元とは冪零元のことである（冪零元 $u$ は単元でない。$u^n=0$ で $u$ に逆元 $v$ があれば $\mathrm{id}_M=v^nu^n=0$ となり $M\neq0$ に反する）。
(a) 冪零元は単射でも全射でもない：$u\neq0$ を冪零とし、$u^k=0$、$u^{k-1}\neq0$ となる $k\ge2$ をとる。$u^{k-1}(x)\neq0$ となる $x$ について $u(u^{k-1}(x))=0$ なので $u$ は単射でない。$u$ が全射なら $u^k$ も全射で $M=u^k(M)=0$ となるので、$u$ は全射でない。$u=0$ についても、$M\neq0$ なので同じことが言える。
(b) 左右からの積で閉じる：$u$ が単元でなく $v\in A$ が任意なら、$vu$ は単射でない（(a) により $u$ が単射でないから）ので自己同型でなく、$uv$ は全射でない（像が $u(M)$ に含まれ、(a) により $u(M)\neq M$ だから）ので自己同型でない。$A$ の単元とは自己同型のことなので、$vu$ と $uv$ は単元でない。
(c) 和で閉じる：単元でない $u,v$ について $w:=u+v$ が単元だと仮定する。$a:=uw^{-1}$、$b:=vw^{-1}$ とおくと、(b) により $a,b$ は単元でなく、したがって冪零であり、$a+b=1$ である。$a^m=0$ とすると
$$ (1-a)(1+a+a^2+\cdots+a^{m-1})=1-a^m=1=(1+a+\cdots+a^{m-1})(1-a) $$
なので $b=1-a$ は単元であり、矛盾する。よって $u+v$ は単元でない。
(a)〜(c) と $0$ が単元でないことから、単元でない元の全体は両側イデアルであり、$A$ は局所環である。
3 ⇒ 1：prop-indecomp-local である。$\square$

この定理は Lan02 Chapter X, §7, Proposition 7.4（p. 441）と Wis91 32.4 (3)(iii)（p. 267）にある（Lan02 は 1 ⇒ 2 と 1 ⇒ 3、Wis91 は 1 ⇒ 3 を述べている）。2 ⇒ 3 の (c) は、局所環の「単元でない元の和は単元でない」という性質が、冪零元についての等比級数の式から出ることを示している。
長さ有限という仮定は 1 ⇒ 2 で Fitting の補題を使うところだけに効いている（2 ⇒ 3 と 3 ⇒ 1 の証明は、$M\neq0$ だけを使う）。長さ有限でない $\mathbb{Z}$ では、$2$ 倍写像は自己同型でも冪零でもない。

有限アーベル群の場合

素数 $p$ と $n\ge1$ について、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は長さ $n$ の $\mathbb{Z}$ 加群である。$\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$（$\bar a$ を $a$ 倍写像に対応させる。自己準同型は $\bar1$ の行き先で決まる）であり、$\bar a$ は $p\nmid a$ なら単元、$p\mid a$ なら $\bar a^n=\overline{a^n}=\bar0$ で冪零である。単元でない元の全体 $p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ はイデアルなので、自己準同型環は局所環であり、thm-indecomp-finite-length により $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ は直既約である。
一方 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ では、$\bar3$ が冪等元（$\bar3^2=\bar9=\bar3$）で、単元でも冪零でもない。thm-indecomp-idempotent の 1 による分解は $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=3\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$（$1-\bar3=\bar4$ で、$\bar4$ 倍写像の像は $\{\bar0,\bar2,\bar4\}=2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$。それぞれ位数 $2$ と $3$）である。

直既約分解の存在

直既約加群の有限直和への分解

$M\neq0$ を左 $R$ 加群とし、$M$ は Noether 加群であるか、Artin 加群であるとする。このとき $M$ は、直既約な部分加群の有限個の直和 $M=M_1\oplus\cdots\oplus M_r$ に分かれる。

$M$ がそのような有限直和に書けないと仮定する。$M$ 自身は直既約でないので、$M=A_1\oplus B_1$（$A_1\neq0$、$B_1\neq0$）と書ける。$A_1$ と $B_1$ がどちらも直既約な部分加群の有限直和なら、それらを並べて $M$ もそう書けるので、どちらか一方はそう書けない。それを $B_1$ と名付け直す。$B_1$ にも同じ議論を当てると $B_1=A_2\oplus B_2$（$A_2\neq0$、$B_2$ は有限直和に書けない）となる。これを繰り返すと、各 $k\ge1$ について
$$ M=A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_k\oplus B_k,\qquad A_i\neq0 $$
が得られる。$B_k=A_{k+1}\oplus B_{k+1}$ で $A_{k+1}\neq0$ なので、
$$ B_1\supsetneq B_2\supsetneq B_3\supsetneq\cdots,\qquad A_1\subsetneq A_1\oplus A_2\subsetneq A_1\oplus A_2\oplus A_3\subsetneq\cdots $$
はどちらも止まらない鎖である（後者が真に増えるのは、$A_{k+1}\neq0$ が $A_1\oplus\cdots\oplus A_k$ と $0$ でしか交わらないから）。前者は $M$ が Artin 加群であることに、後者は Noether 加群であることに反する。$\square$

Noether 加群の場合の議論（昇鎖を作る方）は、Artin 加群の場合の議論（Lan02 Theorem 7.5 の証明、p. 441）を左右反転させたものである。どちらの場合も分解の一意性は主張していない。一意性は、長さ有限の場合に Krull–Schmidtの定理が保証する。
Noether加群の定理「Noether環上の有限生成加群」により、左 Noether 環上の $0$ でない有限生成な加群はすべて直既約加群の有限直和に分かれる。体上の有限次元の多元環（たとえば有限群の群環 $k[G]$）の上の有限次元の加群も同様であり、その分類は直既約なものの分類に帰着する。

部分加群が交わる加群と例

直既約であることを確かめる簡単な十分条件がある。

部分加群がどれも交わる加群

$M\neq0$ とし、$M$ の $0$ でない部分加群どうしの共通部分がつねに $0$ でないとする（このような加群を一様（uniform）という）。このとき $M$ は直既約である。とくに、部分加群の全体が包含について一列に並ぶ（どの 2 つも一方が他方を含む）$0$ でない加群は直既約である。

$M=N\oplus L$ なら $N\cap L=0$ なので、仮定により $N=0$ か $L=0$ である。部分加群が一列に並ぶなら、$0$ でない $N,L$ について $N\subset L$ か $L\subset N$ なので、$N\cap L$ は $N$ か $L$ に等しく $0$ でない。$\square$

逆は成り立たない（ex-indecomp-not-uniform）。

アーベル群

$\mathbb{Z}$ 加群とはアーベル群のことである。

$\mathbb{Z}$ は直既約である。$0$ でない部分群 $a\mathbb{Z}$、$b\mathbb{Z}$（$a,b\neq0$）は $0$ でない元 $ab$ を共有するので、lem-indecomp-uniform が当てはまる。$\mathbb{Z}$ は Noether 加群だが Artin 加群でなく（$2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$）、単純でもない。
有理数の加法群 $\mathbb{Q}$ は直既約である。$0$ でない部分群が $0$ でない元 $a/b$、$c/d$（$a,b,c,d$ は $0$ でない整数）を含めば、両方とも $0$ でない元 $ac=(bc)\cdot\frac{a}{b}=(ad)\cdot\frac{c}{d}$ を含む。$\mathbb{Q}$ は Noether 加群でも Artin 加群でもない（$\mathbb{Z}\subsetneq\frac12\mathbb{Z}\subsetneq\frac14\mathbb{Z}\subsetneq\cdots$ と $\mathbb{Z}\supsetneq2\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$）ので、thm-indecomp-existence の仮定は直既約分解の存在に必要ではない。
素数 $p$ と $n\ge1$ について $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の部分群は $p^i\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$（$0\le i\le n$）で一列に並ぶので直既約である（ex-indecomp-finite-abelian の別証明）。$n\ge2$ なら単純でない。
Prüfer群 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ の部分群は一列に並ぶ（その記事の命題「部分群の決定」）ので直既約である。これは Artin 加群だが Noether 加群でない。
有限生成アーベル群の構造定理（有限生成アーベル群の構造定理）により、有限生成アーベル群は $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の形の群の有限直和である。直既約な加群の直和分解には成分が 1 つしかないので、上の 1 と 3 と合わせて、有限生成なアーベル群で直既約なものは、$\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ に同型なものに限る。

線形変換と多項式環上の加群

体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ と線形変換 $T$ の組は、$f(x)\cdot v:=f(T)(v)$ により多項式環 $k[x]$ 上の加群とみなせ、部分加群とは $T$ で保たれる部分空間のことである。$V$ が直既約であるとは、$T$ で保たれる 2 つの $0$ でない部分空間の直和に $V$ が分かれないこと、すなわち $T$ の行列をどの基底でも 2 つ以上のブロックの対角和にできないことである。
次数 $1$ 以上のモニック多項式 $f$ について、$k[x]$ 加群 $k[x]/(f)$ が直既約であることと、$f$ がモニックな既約多項式 $q$ の冪 $q^m$ であることは同値である。

$f$ が 2 種類以上の既約因子をもてば、$f=gh$（$g,h$ は次数 $1$ 以上で互いに素）と書け、中国剰余定理により $k[x]/(f)\cong k[x]/(g)\oplus k[x]/(h)$ と分かれる。
$f=q^m$ なら、$k[x]$ は単項イデアル整域なので、部分加群は $(q^m)$ を含むイデアル $(d)$、すなわち $d$ が $q^m$ を割るものに対応し、$q^i k[x]/(q^m)$（$0\le i\le m$）の $m+1$ 個が一列に並ぶ。lem-indecomp-uniform により直既約である。
$q=x-\lambda$ のとき、基底 $(x-\lambda)^{m-1},\dots,x-\lambda,1$ に関する $x$ の行列は固有値 $\lambda$ の $m$ 次の Jordan 細胞である。代数閉体上では、Jordan 標準形（Jordan標準形）は $V$ をこの形の直既約加群の直和に分けることにあたる。

上三角行列環の列

体 $k$ 上の $2$ 次の上三角行列の環 $R=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\right\}$ を左 $R$ 加群とみる。行列単位を $E_{11},E_{12},E_{22}$ とすると、$R=RE_{11}\oplus RE_{22}$ であり、$RE_{11}=kE_{11}$（第 $1$ 列）、$RE_{22}=kE_{12}\oplus kE_{22}$（第 $2$ 列）である。
第 $2$ 列 $P:=RE_{22}$ の部分加群は $0\subsetneq kE_{12}\subsetneq P$ の 3 つで一列に並び、$P$ は直既約だが単純でない。

部分加群の決定を開く

第 $2$ 列 $P:=RE_{22}$ を列ベクトル $\binom{b}{c}$ の全体とみると、$R$ は行列の積で作用する。$\begin{pmatrix}a'&b'\\0&c'\end{pmatrix}\binom{b}{c}=\binom{a'b+b'c}{c'c}$ なので、$c\neq0$ の元 $\binom{b}{c}$ は、$a'=0$、$b'=\beta/c$、$c'=\gamma/c$ と選べば $P$ の任意の元 $\binom{\beta}{\gamma}$ に写り、$P$ 全体を生成する。$c=0$ の元の全体 $kE_{12}$ は部分加群であり（積の第 $2$ 成分が $c'\cdot0=0$）、$1$ 次元なので $0$ と自分自身以外の部分加群をもたない。

$P$ の自己準同型は定数倍写像に限り、$\operatorname{End}_R(P)\cong k$ は体である。

自己準同型の決定を開く

$P$ の自己準同型 $\varphi$ は $\varphi(E_{22})$ で決まり、$E_{22}=E_{22}E_{22}$ から $\varphi(E_{22})=E_{22}\varphi(E_{22})$ である。$E_{22}\binom{b}{c}=\binom{0}{c}$ なので $\varphi(E_{22})=cE_{22}$（$c\in k$）の形である。$x\in P$ について $x=xE_{22}$ なので $\varphi(x)=x\varphi(E_{22})=cx$ となり、$\varphi$ は $c$ 倍写像である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
長さ有限（thm-indecomp-finite-length の 1 ⇒ 3）	$\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみる	直既約だが、自己準同型環 $\mathbb{Z}$ は局所環でない
直既約（thm-indecomp-finite-length の 1 ⇒ 3）	$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$	長さ有限だが、自己準同型環 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は局所環でない
Noether 加群か Artin 加群（thm-indecomp-existence）	環 $\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{F}_2$ を自分自身の上の加群とみる	直既約な部分加群の有限直和に分かれない

どの行も、反例が満たす性質と満たさない性質を並べ、外した条件が結論に必要であることを示している。

反例の確かめを開く

1 行目：$\mathbb{Z}$ は Artin 加群でないので長さ有限でない。直既約であることは ex-indecomp-abelian の 1、$3+(-2)=1$ により局所環でないことは prop-indecomp-local の直後に述べた。この例は「直既約」を満たすが「自己準同型環が局所環」を満たさず、thm-indecomp-finite-length の 1 ⇒ 3 が長さ有限の仮定なしには成り立たないことを示す。

2 行目：$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は長さ $2$ で、ex-indecomp-finite-abelian のとおり直既約でない。冪等元 $\bar3$ は単元でも冪零でもなく、単元でない $\bar3$ と $\bar4$ の和 $\bar1$ は単元である。

3 行目：環 $S=\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{F}_2$ の左 $S$ 加群としての部分加群はイデアルである。$S$ が直既約なイデアルの有限直和 $S=M_1\oplus\cdots\oplus M_r$ に分かれたとすると、thm-indecomp-idempotent の 2 の射影を $1$ に当てて $M_i=Se_i$、$e_i^2=e_i$ となる。$S$ の冪等元は部分集合 $T\subset\mathbb{N}$ の指示関数 $1_T$ であり、$Se_i$ が直既約なら $e_i$ は 1 点集合の指示関数でなければならない（$T$ が 2 点以上なら $T=T'\sqcup T''$ と分けて $S1_T=S1_{T'}\oplus S1_{T''}$）。すると $1=e_1+\cdots+e_r$ は有限集合の指示関数となり矛盾する。詳しくは Krull–Schmidtの定理の例「反例の確かめ」の 2 行目にある。$S$ は Noether 加群でも Artin 加群でもない。この例は「$S\neq0$」を満たすが「直既約加群の有限直和に分かれる」を満たさない。

反例：直既約だが部分加群が交わらない加群

体 $k$ 上の $R=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$ を $R$ 加群とみる。$R$ の元 $a+b\bar x+c\bar y$（$a,b,c\in k$）は、$a\neq0$ なら逆元 $a^{-1}-a^{-2}(b\bar x+c\bar y)$ をもち、$a=0$ なら単元でない。単元でない元の全体 $(\bar x,\bar y)$ はイデアルなので $R$ は局所環であり、$\operatorname{End}_R(R)\cong R$（自己準同型は $1$ の行き先で決まる）も局所環である。prop-indecomp-local により $R$ は直既約である。一方、$k\bar x$ と $k\bar y$ はどちらも $0$ でない部分加群（$\bar x\cdot\bar x=\bar y\cdot\bar x=0$）で、共通部分は $0$ である。この例は「直既約」を満たすが「一様」を満たさず、lem-indecomp-uniform の逆が成り立たないことを示す。

反例：自己準同型環が体でも単純でない有限次元の加群

単純加群の自己準同型環は斜体である（単純加群の記事の定理「Schur の補題」）。その逆が成り立たないことは、同じ記事の例「反例：Schur の補題の逆と代数閉でない係数体」が長さ有限でない $\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Q}$ で示している。体上の有限次元の加群に限っても逆は成り立たない。ex-indecomp-triangular の $P$ は $\operatorname{End}_R(P)\cong k$ が体であるが、部分加群 $kE_{12}$ をもつので単純でない。この例は「自己準同型環が斜体」を満たすが「単純」を満たさない。$P$ は長さ $2$ の直既約加群であり、thm-indecomp-finite-length のとおり自己準同型環は局所環である（体は局所環である）。

補足

分解の一意性． 直既約分解は一般には一意でない。たとえば $A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 上では、直既約なイデアル $P=(2,1+\sqrt{-5})$、$Q=(3,1+\sqrt{-5})$ について $P\oplus Q\cong A\oplus A$ となるが、$P$ は $A$ と同型でない（Krull–Schmidtの定理の例「反例の確かめ」の 1 行目）。長さ有限の加群では、thm-indecomp-finite-length の局所性を使って、成分の同型類と個数が分解の取り方によらないことが示される（Krull–Schmidtの定理）。成分の自己準同型環がすべて局所環なら、成分が無限個でも一意性が成り立つ（Krull–Schmidt–東屋の定理）。
表現論での直既約加群． 体 $k$ 上の有限次元の多元環 $A$ の有限次元の加群は、thm-indecomp-existence と Krull–Schmidtの定理により、直既約加群の組で同型類が決まる。直既約な有限次元の加群の同型類が有限個しかない $A$ を有限表現型という。中山代数では直既約加群はすべて部分加群が一列に並ぶ加群で、具体的に書き下せる（その記事の定理「中山代数の直既約加群」）。箙の表現については、Gabrielの定理が有限表現型になる箙を決定している。有限群 $G$ の群環 $k[G]$ では、$k$ の標数が $\lvert G\rvert$ を割らなければ表現は既約表現の直和に分かれ（Maschkeの定理の系「有限次元の表現の完全可約性」）、直既約と既約は一致するが、割るときは直既約だが既約でない表現が現れる（既約表現の例「反例：直既約だが既約でない表現」）。