包絡オペラッド

同義語：enveloping operad

概要

前提知識: オペラッド, モノイダル閉圏, 余等化子, スライス圏

包絡オペラッド（enveloping operad）は、オペラッド $P$ と $P$ 代数 $A$ から作る新しいオペラッド $P_A$ で、「$A$ の元を定数として入れてよい $P$ の演算」を集めたものである。$P_A$ の代数は、$A$ からの代数の射を指定した $P$ 代数と同じものになり、$P_A$ の 0 項演算の全体は $A$ 自身と同型になる。
オペラッドの記事は、オペラッドとその代数を定義し、集合の場合に自由代数を作っている。この記事はその上に立ち、一つの代数 $A$ から新しいオペラッド $P_A$ を作る構成を扱う。∞オペラッドや E_nオペラッドのように「ホモトピーを除いて」成り立つ構造は扱わず、公理が等式で成り立つオペラッドだけを考える。名前は Lie 環の普遍包絡代数にならったものである。結合オペラッドの場合には、$P_A$ の 1 項演算がなすモノイドは $A\times A^{\mathrm{op}}$ になり、その作用は $A$ の両側からの作用と同じものになる（ex-envop-ass）。
この記事では、閉対称モノイダル圏の中で、反射的余等化子とテンソル積の関係を使って包絡オペラッドを構成し、その普遍性を証明する。続いて、$P_A$ の代数の圏が $A$ の下の $P$ 代数の圏と同型であること、$A\cong P_A(0)$、包絡をくり返したときの同型を示し、結合オペラッドの包絡を語で書き表す。

設定

以下、$(\mathcal E,\otimes,I)$ は対称モノイダル圏で、モノイダル閉圏であり（内部ホムを $\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)$ と書く）、小さな余極限をすべてもつものとする。集合の圏 $\mathbf{Set}$（直積）、コンパクト生成空間の圏（直積）、体上のベクトル空間の圏（テンソル積）がその例である。$X\otimes-$ は右随伴 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,-)$ をもつので、テンソル積は各変数で余極限を保つ。$X^{\otimes n}$ は $X$ の $n$ 個のテンソル積で、$X^{\otimes0}=I$ とする。
$\mathcal E$ の オペラッド は、オペラッドの定義「オペラッド」の直積を $\otimes$ に替えたものである（Lei04 p. 43）。すなわち、$\Sigma_n$ の右作用をもつ対象の列 $P(n)$（$n\ge0$）、合成 $\gamma\colon P(k)\otimes P(j_1)\otimes\cdots\otimes P(j_k)\to P(j_1+\cdots+j_k)$、単位 $1\colon I\to P(1)$ からなり、同じ結合律・単位律・同変性を満たすものである。オペラッドとその射の圏を $\mathrm{Oper}(\mathcal E)$ と書く。$P$ 代数 は対象 $X$ と構造射 $\theta_n\colon P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X$ の族で、同記事の命題「構造写像による記述」の 3 条件を満たすものとし、$P$ 代数の射は構造射と両立する射とする。その圏を $\mathrm{Alg}_P$ と書く。$\underline{\mathrm{Hom}}(X^{\otimes n},X)$ の列は、代入を合成とする自己準同型オペラッド $\mathrm{End}_X$ をなし、$X$ 上の $P$ 代数の構造はオペラッドの射 $P\to\mathrm{End}_X$ と、随伴で移すことにより 1 対 1 に対応する（同記事の命題「構造写像による記述」と同じ証明）。
オペラッドの射 $\varphi\colon P\to Q$ と $Q$ 代数 $Z$ について、構造射を $\varphi$ で引き戻した $P$ 代数を $\varphi^*Z$ と書く。

元の記法

式を読みやすくするため、$\mathbf{Set}$ のときと同じく元を使って書く。たとえば $p\in P(k)$、$x_i\in X$ についての $\theta_k(p;x_1,\dots,x_k)$ は、一般の $\mathcal E$ では構造射 $P(k)\otimes X^{\otimes k}\to X$ そのものを指し、元についての等式は、テンソル積からの射の等式と読む。この記事で作る対象は、どれも $P(m)\otimes X^{\otimes k}$ の形の対象の直和を対称群の作用で割ったものなので、そこから出る 2 つの射は、各直和成分の上で一致すれば等しい（テンソル積が各変数で余極限を保つことによる）。$\mathbf{Set}$ では文字どおり元の等式である。

零項演算の代数

オペラッド $Q$ の 0 項演算の対象 $Q(0)$ は、合成 $\gamma\colon Q(n)\otimes Q(0)^{\otimes n}\to Q(0)$ を構造射として $Q$ 代数になる。代数の公理は $Q$ の結合律・単位律・同変性そのものである。$n=0$ の構造射は合成 $\gamma\colon Q(0)\to Q(0)$ で、単位律により恒等射である。

零項の部分は始対象

オペラッド $Q$ について、$Q(0)$ は $\mathrm{Alg}_Q$ の始対象であり、$Q$ 代数 $Z$ への射は 0 項の構造射 $\theta_0\colon Q(0)\to Z$ である。

0 項の構造射に限られる

$\theta_0$ が $Q$ 代数の射であることは、$Z$ の構造射の結合律 $\theta_0(\gamma(c;c_1,\dots,c_n))=\theta_n(c;\theta_0(c_1),\dots,\theta_0(c_n))$（$c\in Q(n)$、$c_i\in Q(0)$）そのものである。逆に $Q$ 代数の射 $g\colon Q(0)\to Z$ は 0 項の構造射と両立するので、$Q(0)$ の 0 項の構造射が恒等射であることから $g=\theta_0$ である。$\square$

包絡オペラッドの定義

$P$ をオペラッド、$A$ を $P$ 代数とする。オペラッド $Q$ について、オペラッドの射 $\varphi\colon P\to Q$ と $P$ 代数の射 $b\colon A\to\varphi^*Q(0)$ の組 $(\varphi,b)$ の集合を $\mathrm{Pair}_{P,A}(Q)$ と書く。オペラッドの射 $\psi\colon Q\to Q'$ は $(\varphi,b)\mapsto(\psi\varphi,\psi_0b)$ によって写像 $\mathrm{Pair}_{P,A}(Q)\to\mathrm{Pair}_{P,A}(Q')$ を定める（$\psi_0\colon Q(0)\to Q'(0)$ は $\psi$ が合成を保つので $P$ 代数の射 $\varphi^*Q(0)\to(\psi\varphi)^*Q'(0)$ である）。

包絡オペラッド

$P$ 代数 $A$ の 包絡オペラッド とは、オペラッド $P_A$ と組 $(\eta_A,\bar\eta_A)\in\mathrm{Pair}_{P,A}(P_A)$ で、任意のオペラッド $Q$ について
$$ \mathrm{Oper}(\mathcal E)(P_A,Q)\to\mathrm{Pair}_{P,A}(Q),\qquad F\mapsto(F\eta_A,\;F_0\bar\eta_A) $$
が全単射になるものである。

この写像は $Q$ について自然なので、米田の補題により、包絡オペラッドは、存在すれば組 $(\eta_A,\bar\eta_A)$ を保つただ一つの同型を除いて一意である。直観的には、$P_A$ は「$P$ に $A$ の元を 0 項演算として付け加え、$A$ の中で成り立つ等式 $\theta_k(p;a_1,\dots,a_k)=$（その値）を課したオペラッド」であり、以下ではこれを余等化子で実現する。

構成

反射的余等化子とテンソル積

平行な射の組 $d^0,d^1\colon R\rightrightarrows S$ が 反射的 であるとは、$d^0s=d^1s=\mathrm{id}_S$ を満たす共通の切断 $s\colon S\to R$ があることをいう。

反射的余等化子のテンソル積

$i=1,\dots,r$ について、反射的な組 $d_i^0,d_i^1\colon R_i\rightrightarrows S_i$ とその余等化子 $q_i\colon S_i\to C_i$ が与えられているとする。このとき $q_1\otimes\cdots\otimes q_r$ は、組 $d_1^0\otimes\cdots\otimes d_r^0,\ d_1^1\otimes\cdots\otimes d_r^1\colon\bigotimes_iR_i\rightrightarrows\bigotimes_iS_i$ の余等化子である。

1 成分ずつ割る

要点：共通の切断を使うと、対角の 2 つの射を等しくする射は、1 つの成分だけを動かす組もそれぞれ等しくし、その逆も成り立つ。1 つの成分だけの組の余等化子は、テンソル積が各変数で余極限を保つことから得られる。

詳しい証明を開く

$r=0$ では両方の射も $q$ も $\mathrm{id}_I$ なので、$r\ge1$ とする。射 $h\colon\bigotimes_iS_i\to Z$ について、次の 2 条件は同値である。(a) $h(\bigotimes_id_i^0)=h(\bigotimes_id_i^1)$。(b) 各 $j$ について、第 $j$ 成分に $d_j^0$、$d_j^1$ を置きほかの成分を恒等射とした 2 つの射 $S_1\otimes\cdots\otimes R_j\otimes\cdots\otimes S_r\to\bigotimes_iS_i$ に $h$ を合成したものが等しい。

(a)⇒(b)：(a) の両辺に、第 $j$ 成分では恒等射、ほかの成分では $s_i$ をとった射を右から合成する。$d_i^\epsilon s_i=\mathrm{id}$ なので、(b) の第 $j$ の等式を得る。(b)⇒(a)：$\bigotimes_id_i^\epsilon$ は 1 成分ずつの射の合成に分解できる。対角の $d^0$ の成分を左から 1 つずつ $d^1$ に替えると、(b) により $h$ との合成は 1 回ごとに変わらない。

$\bigotimes_iq_i$ は (a) を満たす（$q_id_i^0=q_id_i^1$）。(b) を満たす $h$ をとる。$-\otimes(S_2\otimes\cdots\otimes S_r)$ は余極限を保つので、$q_1\otimes\mathrm{id}$ は第 1 成分の組の余等化子であり、$h=h_1(q_1\otimes\mathrm{id})$ となる $h_1$ がただ一つある。$h_1$ は第 2 成分以降の組について (b) を満たす。実際、その等式に $q_1\otimes\mathrm{id}$ を右から合成すると $h$ についての (b) になり、$q_1\otimes\mathrm{id}$ は余等化子なのでエピ射である。これを $r$ 回くり返すと、$h=\bar h\,(q_1\otimes\cdots\otimes q_r)$ となる $\bar h$ を得る。$\bigotimes_iq_i$ はエピ射の合成なので $\bar h$ は一意である。$\square$

組が反射的であることは外せない（ex-envop-counterexamples の 1 行目）。

オペラッドの反射的余等化子

$d^0,d^1\colon R\rightrightarrows S$ をオペラッドの射の組とし、共通の切断 $s\colon S\to R$ もオペラッドの射であるとする。各 $n$ で $\mathcal E$ の余等化子 $q_n\colon S(n)\to C(n)$ をとると、$C$ には $q$ がオペラッドの射になるオペラッドの構造がただ一つ入り、$q\colon S\to C$ は $\mathrm{Oper}(\mathcal E)$ における $d^0,d^1$ の余等化子になる。

合成を余等化子に沿って降ろす

要点：作用・合成・単位を各項数の余等化子 $q_n$ に沿って降ろす。合成が降りることと公理が成り立つことには、$q$ の有限個のテンソル積が余等化子（したがってエピ射）であること（lem-envop-reflexive）を使う。

詳しい証明を開く

作用：$\sigma\in\Sigma_n$ について、$q_n\circ(-\sigma)$ は $d^0,d^1$ の同変性により組を等しくするので、$C(n)$ 上の作用にただ一つの仕方で降りる。

合成：$N=j_1+\cdots+j_k$ とする。$d^\epsilon$ は合成を保つので、$q_N\gamma_S(d^\epsilon\otimes d^\epsilon\otimes\cdots\otimes d^\epsilon)=q_Nd^\epsilon\gamma_R$ であり、これは $\epsilon=0,1$ で等しい。各 $R(m)\rightrightarrows S(m)$ は $s_m$ を共通の切断とする反射的な組なので、lem-envop-reflexive により $q_k\otimes q_{j_1}\otimes\cdots\otimes q_{j_k}$ はこの対角の組の余等化子である。よって $q_N\gamma_S=\gamma_C\,(q_k\otimes q_{j_1}\otimes\cdots\otimes q_{j_k})$ となる $\gamma_C$ がただ一つある。単位は $q_1\circ1$ とする。

公理：$C$ の結合律・単位律・同変性は、どれも $C(m)$ の有限個のテンソル積からの 2 つの射の等式である。そこへ $q$ の有限個のテンソル積を右から合成すると、$S$ の対応する公理の両辺に $q$ を左から合成したものになるので等しい。$q$ の有限個のテンソル積は lem-envop-reflexive により余等化子なのでエピ射であり、元の等式も成り立つ。よって $C$ はオペラッドで、$q$ はオペラッドの射である。

普遍性：オペラッドの射 $h\colon S\to Q$ が $hd^0=hd^1$ を満たすとき、各 $n$ で $h_n=\bar h_nq_n$ となる $\bar h_n$ がただ一つある。$\bar h$ が合成・単位・作用を保つことは、同じく $q$ のテンソル積がエピ射であることから $h$ の性質に帰着する。$\square$

定数を加えたオペラッド

$P$ をオペラッド、$X$ を $\mathcal E$ の対象とする。$\tau\in\Sigma_k$ は、$P(n+k)$ には最後の $k$ 個の入力の並べ替え $p\mapsto p(1_n\oplus\tau)$ として右から、$X^{\otimes k}$ には成分の並べ替えとして左から作用する（$1_n\oplus\tau$ はオペラッドの記号）。この 2 つの作用を等しくする余等化子を $P(n+k)\otimes_{\Sigma_k}X^{\otimes k}$ と書き、$p\otimes(x_1\otimes\cdots\otimes x_k)$ の像を $[p;x_1,\dots,x_k]$ と書く。$[p(1_n\oplus\tau);x]=[p;\tau\cdot x]$ である。

定数を加えたオペラッド

$$ D_P(X)(n):=\coprod_{k\ge0}P(n+k)\otimes_{\Sigma_k}X^{\otimes k} $$
とおき、$\sigma\in\Sigma_n$ を $[p;x]\sigma:=[p(\sigma\oplus1_k);x]$ で作用させる。$[p;x]$ は「$n+k$ 項演算 $p$ の最後の $k$ 個の入力に $x_1,\dots,x_k$ を定数として入れた $n$ 項演算」と読む。合成は、代入したうえで定数の入力を後ろへ集めるものとする。すなわち、$p\in P(n+k)$、$q_i\in P(m_i+l_i)$、$M=\sum_im_i$、$L=\sum_il_i+k$ について
$$ \gamma\bigl([p;x];[q_1;y^{(1)}],\dots,[q_n;y^{(n)}]\bigr):=\bigl[\gamma_P(p;q_1,\dots,q_n,1,\dots,1)\,\rho^{-1};\ y^{(1)},\dots,y^{(n)},x\bigr] $$
とおく（単位 $1$ は $k$ 個）。$\gamma_P(p;q_1,\dots,q_n,1,\dots,1)$ の $M+L$ 個の入力は、左から順に「$q_1$ の自由な入力 $m_1$ 個、$q_1$ の定数の入力 $l_1$ 個、…、$q_n$ の自由な入力 $m_n$ 個、定数の入力 $l_n$ 個、$p$ の定数の入力 $k$ 個」の $2n+1$ 個のブロックに並ぶ。$\rho\in\Sigma_{M+L}$ は、ブロックの中の順序を保ったまま、自由な入力のブロックを前へ、定数の入力のブロックを後ろへ、それぞれ元の順に集める置換である（オペラッドの記号では、長さ $m_1,l_1,\dots,m_n,l_n,k$ のブロックについての $\sigma\langle m_1,l_1,\dots,m_n,l_n,k\rangle$ で、$\sigma(2i-1)=i$、$\sigma(2i)=n+i$、$\sigma(2n+1)=2n+1$ としたもの）。単位は $[1;\,]\in D_P(X)(1)$ とする。

$\iota_X\colon P\to D_P(X)$ を $p\mapsto[p;\,]$（$k=0$ の成分への入射）、$j_X\colon X\to D_P(X)(0)$ を $x\mapsto[1;x]$、$\mathcal E$ の射 $f\colon X\to Y$ に対し $D_P(f)[p;x]:=[p;f(x_1),\dots,f(x_k)]$ とする。また
$$ T_PX:=D_P(X)(0)=\coprod_{k\ge0}P(k)\otimes_{\Sigma_k}X^{\otimes k} $$
と書く。$T_PX$ は lem-envop-initial の $D_P(X)$ 代数を $\iota_X$ で引き戻して $P$ 代数になり、$\mathbf{Set}$ ではこれはオペラッドの定理「自由代数の構成」の自由代数 $F_P(X)$ と同じものである。

定数を加えたオペラッドの普遍性

$D_P(X)$ はオペラッドであり、$\iota_X$ と $D_P(f)$ はオペラッドの射である。
任意のオペラッド $Q$、オペラッドの射 $\varphi\colon P\to Q$、$\mathcal E$ の射 $b\colon X\to Q(0)$ について、$F\iota_X=\varphi$ と $F_0j_X=b$ を満たすオペラッドの射 $F\colon D_P(X)\to Q$ がただ一つあり、
$$ F[p;x_1,\dots,x_k]=\gamma_Q\bigl(\varphi(p);1,\dots,1,b(x_1),\dots,b(x_k)\bigr)\qquad(p\in P(n+k)\text{、単位は }n\text{ 個}) $$
である。

代入の木を平らにする

要点：どの等式でも、両辺は同じ $P$ の演算の木を合成し、定数の入力を後ろへ集めたものになる。集め方の違いは定数の入力の並べ替えだけで、それは関係 $[p(1\oplus\tau);x]=[p;\tau\cdot x]$ で吸収される。一意性は、合成の定義から従う等式
$$ [p;x_1,\dots,x_k]=\gamma\bigl(\iota_X(p);1,\dots,1,j_X(x_1),\dots,j_X(x_k)\bigr) $$
による（子が単位と $[1;x_j]$ だけなので、自由な入力と定数の入力はすでに前後に分かれていて $\rho=\mathrm{id}$ である）。

詳しい証明を開く

1：合成が代表元の選び方によらないこと。子 $[q_i;y^{(i)}]$ の代表元を $q_i(1\oplus\tau_i)$ と $\tau_i^{-1}\cdot y^{(i)}$ に取り替えると、$\gamma_P$ の同変性の第 2 式により、得られる $P$ の演算は $q_i$ の定数の入力の上で $\tau_i$ だけ並べ替わり、同じ並べ替えが $y^{(i)}$ の並びに移るので、値は変わらない。外側の $p$ の定数の代表元の取り替えは、同変性の第 1 式により出力の最後の定数のブロックの中の並べ替えになり（$\rho$ はこのブロックを動かさない）、同じく値は変わらない。

結合律：3 段の代入で、先に下の 2 段を合成しても、先に上の 2 段を合成しても、$P$ の結合律と同変性により、同じ木の $P$ の合成 $u$ の入力を、自由な入力を前に（葉の順に）集めた演算になる。違いは定数の入力の並び順だけである。片方では「最下段の定数、中段の定数、上段の定数」、他方では「中段の各子ごとに、その下の最下段の定数とその子の定数」、最後に上段の定数の順に並ぶ。2 つの並びは定数の入力の置換 $\tau$ で移り合い、演算は $u'$ と $u'(1\oplus\tau)$ の関係にあるので、関係 $[p(1\oplus\tau);x]=[p;\tau\cdot x]$ により等しい。単位律は $P$ の単位律から従う。同変性：$\sigma\in\Sigma_n$ は子のブロックを並べ替え、子の自由な入力の並べ替えは出力の自由な入力のブロックの中の並べ替えになる。$\rho$ の定義は自由な入力のブロックの順を保つので、どちらも出力の $\Sigma_M$ の作用として現れ、定数のブロックの並べ替えは関係で吸収される。$\iota_X$ と $D_P(f)$ が合成・単位・作用を保つことは式から直ちに従う。

2：$F$ が代表元によらないことは $Q$ の同変性の第 1 式による（並べ替わるのは外側の演算の定数の入力で、外へ出るブロックの置換は長さ 0 のブロックを動かすだけなので恒等置換である）。$F$ が合成を保つこと：$p'=\gamma_P(p;q_1,\dots,q_n,1,\dots,1)$ とおく。左辺 $F\gamma([p;x];[q_i;y^{(i)}])=\gamma_Q(\varphi(p')\rho^{-1};1,\dots,1,b(y^{(1)}),\dots,b(y^{(n)}),b(x))$ に $Q$ の同変性の第 1 式を使うと、入力の並びは元のブロックの並び $(1^{m_1},b(y^{(1)}),\dots,1^{m_n},b(y^{(n)}),b(x))$ に戻る。外へ出るブロックの置換は、長さ 1 のブロック（単位）の相対的な順序を変えず、長さ 0 のブロックを動かすだけなので恒等置換である。よって左辺は $\gamma_Q(\varphi(p');1^{m_1},b(y^{(1)}),\dots,b(x))$ で、$\varphi$ が合成を保つことと $Q$ の結合律により $\gamma_Q(\varphi(p);G_1,\dots,G_n,b(x_1),\dots,b(x_k))$（$G_i=F[q_i;y^{(i)}]$）に等しい。右辺 $\gamma_Q(F[p;x];G_1,\dots,G_n)$ も、$Q$ の結合律により同じ式になる（何も代入しない 0 項演算 $b(x_j)$ はそのまま残る）。単位と作用を保つことは $Q$ の単位律と同変性による。$F\iota_X=\varphi$ は $Q$ の単位律、$F_0j_X(x)=\gamma_Q(\varphi(1);b(x))=b(x)$ である。一意性は「要点」の等式による。$\square$

包絡オペラッドの存在

$A$ を $P$ 代数とし、$TA:=T_PA$、$\alpha\colon TA\to A$ を $\alpha[p;a_1,\dots,a_k]:=\theta_k(p;a_1,\dots,a_k)$ で定める（オペラッドの命題「構造写像による記述」の条件 3 により $\otimes_{\Sigma_k}$ に降りる）。

包絡オペラッドの存在

$\mathcal E$ を上の設定の圏、$P$ をオペラッド、$A$ を $P$ 代数とする。オペラッドの射 $d^0,d^1\colon D_P(TA)\rightrightarrows D_P(A)$ を、$p\in P(n+k)$ と単位 $n$ 個について
$$ d^0\bigl[p;t_1,\dots,t_k\bigr]=\bigl[p;\alpha(t_1),\dots,\alpha(t_k)\bigr],\qquad d^1\bigl[p;[q_1;a^{(1)}],\dots,[q_k;a^{(k)}]\bigr]=\bigl[\gamma_P(p;1,\dots,1,q_1,\dots,q_k);a^{(1)},\dots,a^{(k)}\bigr] $$
で定める。この組は $D_P(j_A)$ を共通の切断とする反射的な組であり、その余等化子 $q\colon D_P(A)\to P_A$（prop-envop-coeq）と
$$ \eta_A:=q\,\iota_A\colon P\to P_A,\qquad\bar\eta_A:=q_0\,j_A\colon A\to P_A(0) $$
は $A$ の包絡オペラッドである。すなわち、任意のオペラッド $Q$ について、オペラッドの射 $F\colon P_A\to Q$ と、組 $(\varphi,b)$（$\varphi\colon P\to Q$ はオペラッドの射、$b\colon A\to\varphi^*Q(0)$ は $P$ 代数の射）とが $F\mapsto(F\eta_A,F_0\bar\eta_A)$ で 1 対 1 に対応する。

代数の関係で割る

段 1（$d^0,d^1$ と切断）：prop-envop-free-const の 2 により、$D_P(TA)$ からのオペラッドの射は、$P$ からの射と $TA$ からの射の組で決まる。$d^0=D_P(\alpha)$ は組 $(\iota_A,j_A\alpha)$ に、$d^1$ は組 $(\iota_A,\mathrm{id}_{TA})$（$TA=D_P(A)(0)$）に対応する射である。実際、同命題の式で $Q=D_P(A)$ とすると、$\gamma(\iota_A(p);1,\dots,1,t_1,\dots,t_k)$ は合成の定義で $\rho=\mathrm{id}$ となり、上の式になる。特に $d^0,d^1$ はオペラッドの射である。$s:=D_P(j_A)$ について、$\alpha[1;a]=\theta_1(1;a)=a$ より $d^0s[p;a]=[p;a]$、単位律より $d^1s[p;a]=[\gamma_P(p;1,\dots,1);a]=[p;a]$ なので、$d^0s=d^1s=\mathrm{id}$ である。
段 2（射の言い換え）：prop-envop-coeq により、オペラッドの射 $F\colon P_A\to Q$ は、$h=Fq$ によって、$hd^0=hd^1$ を満たすオペラッドの射 $h\colon D_P(A)\to Q$ と 1 対 1 に対応する。prop-envop-free-const の 2 により、$h$ は組 $(\varphi,b):=(h\iota_A,\,h_0j_A)$（$b\colon A\to Q(0)$ は $\mathcal E$ の射）と 1 対 1 に対応する。
段 3（条件の言い換え）：$hd^0$ と $hd^1$ はどちらも $D_P(TA)$ からのオペラッドの射で、段 1 より、対応する組はそれぞれ $(\varphi,\,b\alpha)$ と $(\varphi,\,h_0)$ である。組による一意性から、$hd^0=hd^1$ は $\mathcal E$ の射の等式 $b\alpha=h_0\colon TA\to Q(0)$ と同値である。prop-envop-free-const の証明の等式 $[p;a]=\gamma(\iota_A(p);j_A(a_1),\dots,j_A(a_k))$（$p\in P(k)$）を $h$ で写すと
$$ h_0[p;a_1,\dots,a_k]=\gamma_Q\bigl(\varphi(p);b(a_1),\dots,b(a_k)\bigr)=\theta^{\varphi^*Q(0)}_k\bigl(p;b(a_1),\dots,b(a_k)\bigr) $$
であり、$b\alpha[p;a]=b(\theta_k(p;a_1,\dots,a_k))$ である。$TA$ からの射は各直和成分 $P(k)\otimes A^{\otimes k}$ の上で決まるので（rem-envop-elements）、$b\alpha=h_0$ は、すべての $k\ge0$ と $p\in P(k)$ について $b(\theta_k(p;a))=\theta^{\varphi^*Q(0)}_k(p;b(a))$ が成り立つこと、すなわち $b$ が $P$ 代数の射 $A\to\varphi^*Q(0)$ であることと同値である。
段 4：以上の対応を合成すると $F\mapsto(Fq\iota_A,\,F_0q_0j_A)=(F\eta_A,\,F_0\bar\eta_A)$ で、これは全単射である。$F=\mathrm{id}$ に対応する組が $(\eta_A,\bar\eta_A)$ なので、この組は $\mathrm{Pair}_{P,A}(P_A)$ に属する。$\square$

性質

包絡の代数は下の代数

$A/\mathrm{Alg}_P$ を $A$ の下の $P$ 代数の圏（スライス圏の定義「スライス圏と余スライス圏」の余スライス圏。対象は $P$ 代数の射 $a\colon A\to X$、射は $fa_X=a_Y$ を満たす $P$ 代数の射 $f$）とする。$\mathcal E$ への忘却関手と両立する圏の同型
$$ \mathrm{Alg}_{P_A}\cong A/\mathrm{Alg}_P $$
があり、$P_A$ 代数 $X$ には、$P$ 代数 $\eta_A^*X$ と、0 項の構造射を合成した $a_X:=\theta^X_0\circ\bar\eta_A\colon A\to X$ が対応する。

構造射を余等化子の手前で比べる

要点：対象の対応は thm-envop-existence を $Q=\mathrm{End}_X$ に当てはめたものである。射については、$P_A$ 代数の構造射を余等化子 $q$ の手前の直和成分で書くと「$p$ の最後の入力に $a_X(a_i)$ を入れた $P$ の構造射」になるので、射の条件は「$P$ 代数の射で $fa_X=a_Y$」と同値になる。

詳しい証明を開く

対象：$X$ 上の $P_A$ 代数の構造はオペラッドの射 $F\colon P_A\to\mathrm{End}_X$ と同じものであり、thm-envop-existence により組 $(F\eta_A,F_0\bar\eta_A)$ と 1 対 1 に対応する。$F\eta_A$ は $X$ 上の $P$ 代数の構造である。$\mathrm{End}_X$ の合成は 0 項の入力については値を入れる操作なので、$\mathrm{End}_X(0)=\underline{\mathrm{Hom}}(I,X)\cong X$ に $F\eta_A$ で引き戻した構造はこの $P$ 代数そのものであり、$F_0\bar\eta_A=a_X$ はその $P$ 代数への射である。

射：prop-envop-free-const の式で $Q=\mathrm{End}_X$ とすると、$\mathrm{End}_X$ では単位はその入力をそのまま渡し、0 項演算 $a_X(a_i)$ はその値を入れるので、 $\theta^X_n\bigl(q[p;a];x_1,\dots,x_n\bigr)=\theta_{n+k}\bigl(p;x_1,\dots,x_n,a_X(a_1),\dots,a_X(a_k)\bigr)\qquad(p\in P(n+k))$ である（右辺の $\theta$ は $\eta_A^*X$ の構造射）。$q_n\otimes\mathrm{id}_{X^{\otimes n}}$ は余等化子なのでエピ射であり、$\mathcal E$ の射 $f\colon X\to Y$ が $P_A$ 代数の射であることは、すべての $n,k$ と $p\in P(n+k)$ について $f\,\theta_{n+k}\bigl(p;x,a_X(a)\bigr)=\theta_{n+k}\bigl(p;f(x_1),\dots,f(x_n),a_Y(a_1),\dots,a_Y(a_k)\bigr)$ が成り立つことと同値である。$f$ が $P$ 代数の射で $fa_X=a_Y$ ならこれは成り立つ。逆に $k=0$ の場合が $f$ が $P$ 代数の射であることを、$n=0$、$k=1$、$p=1$ の場合が $fa_X=a_Y$ を与える。どちらの圏でも射は台の射なので、対象の対応と合わせて、忘却関手と両立する圏の同型を得る。$\square$

零項演算とAの同型

$\bar\eta_A\colon A\to P_A(0)$ は同型である。

始対象どうしを比べる

lem-envop-initial により $P_A(0)$ は $\mathrm{Alg}_{P_A}$ の始対象である。その 0 項の構造射は恒等射なので、thm-envop-under の同型で $P_A(0)$ は $\bar\eta_A\colon A\to\eta_A^*P_A(0)$ に対応し、これは $A/\mathrm{Alg}_P$ の始対象である。一方、$A/\mathrm{Alg}_P$ の対象 $a\colon A\to X$ への $\mathrm{id}_A$ からの射は $f\circ\mathrm{id}_A=a$ を満たす $f$、すなわち $a$ だけなので、$\mathrm{id}_A$ も始対象である。$\mathrm{id}_A$ から $\bar\eta_A$ への射は $\bar\eta_A$ 自身で、始対象どうしの射なので同型である。$\square$

包絡の反復

$u\colon A\to B$ を $P$ 代数の射とし、$B$ を thm-envop-under で $u$ に対応する $P_A$ 代数 $B_u$ とみる。このとき、$\Psi\eta_B=\eta_{B_u}\eta_A$ と $\Psi_0\bar\eta_B=\bar\eta_{B_u}$ を満たすオペラッドの射 $\Psi\colon P_B\to(P_A)_{B_u}$ がただ一つあり、それは同型である。

表す関手を比べる

要点：thm-envop-existence を 2 回使い、thm-envop-under で $P_A$ 代数の射の条件を書き換えると、$(P_A)_{B_u}$ から $Q$ への射と $P_B$ から $Q$ への射が $Q$ について自然に 1 対 1 に対応する。米田の補題で同型を得る。

詳しい証明を開く

オペラッド $Q$ をとる。thm-envop-existence により、$(P_A)_{B_u}$ から $Q$ への射は、オペラッドの射 $\beta\colon P_A\to Q$ と $P_A$ 代数の射 $c\colon B_u\to\beta^*Q(0)$ の組に対応し、$\beta$ は組 $(\varphi,a)$（$a\colon A\to\varphi^*Q(0)$ は $P$ 代数の射）に対応する。$P_A$ 代数 $\beta^*Q(0)$ は、thm-envop-under で $P$ 代数 $\varphi^*Q(0)$ と $a=\beta_0\bar\eta_A$ に対応する。同定理の射の判定により、$c$ が $P_A$ 代数の射であることは、$c\colon B\to\varphi^*Q(0)$ が $P$ 代数の射で $cu=a$ であることと同値である。$a$ は $a=cu$ で $c$ から決まるので、$(\varphi,a,c)$ は $(\varphi,c)\in\mathrm{Pair}_{P,B}(Q)$ と 1 対 1 に対応し、これは $P_B$ から $Q$ への射と対応する。こうして得た全単射 $\mathrm{Oper}(\mathcal E)((P_A)_{B_u},Q)\cong\mathrm{Oper}(\mathcal E)(P_B,Q)$ は $Q$ について自然なので、米田の補題により同型 $\Psi$ を得る。$(P_A)_{B_u}$ の恒等射は組 $(\eta_{B_u}\eta_A,\bar\eta_{B_u})$ に対応するので、$\Psi$ は述べた 2 式を満たし、その 2 式で一意に決まる。$\square$

例

始代数の包絡

$A=P(0)$（lem-envop-initial の始 $P$ 代数）なら、$P$ 自身と $(\mathrm{id}_P,\mathrm{id}_{P(0)})$ が包絡オペラッドである。実際、任意のオペラッドの射 $\varphi\colon P\to Q$ について、$P$ 代数の射 $P(0)\to\varphi^*Q(0)$ は $\varphi_0$ ただ一つなので、$F\mapsto(F,F_0)$ は $\mathrm{Oper}(\mathcal E)(P,Q)$ から $\mathrm{Pair}_{P,P(0)}(Q)$ への全単射である。

結合オペラッドの包絡

$\mathcal E=\mathbf{Set}$ とし、$\mathrm{Ass}$ をオペラッドの例「可換オペラッドと結合オペラッド」の結合オペラッド、$A$ をモノイドとする（同記事の定理「モノイドと可換モノイドの記述」により $\mathrm{Ass}$ 代数と同じ）。$W(n)$ を、文字 $x_1,\dots,x_n$ をちょうど 1 回ずつ含み、その前後と間に $A$ の元を置いた語
$$ a_0\,x_{i_1}\,a_1\,x_{i_2}\,a_2\cdots x_{i_n}\,a_n\qquad\bigl((i_1,\dots,i_n)\in\mathrm{Ass}(n),\ a_0,\dots,a_n\in A\bigr) $$
の集合とする（$W(0)=A$）。$\Sigma_n$ は文字の番号の付け替え $x_i\mapsto x_{\sigma^{-1}(i)}$ で作用し、合成は、$w\in W(k)$ の各 $x_s$ に $w_s\in W(j_s)$（文字の番号を第 $s$ ブロックへずらしたもの）を代入し、隣り合う $A$ の元を掛けたもの、単位は $1\,x_1\,1$ とする。$\kappa\colon\mathrm{Ass}\to W$ を $(i_1,\dots,i_n)\mapsto1\,x_{i_1}1\cdots x_{i_n}1$、$j\colon A\to W(0)$ を恒等写像とする。このとき $W$ はオペラッドで、$(W,\kappa,j)$ は $A$ の包絡オペラッド $\mathrm{Ass}_A$ である。
$W(1)$ の元は $a\,x_1\,b$ で、合成は $(a\,x_1\,b)\circ_1(c\,x_1\,d)=ac\,x_1\,db$ である。よって 1 項演算のモノイド $W(1)$ は $(a,b)\mapsto a\,x_1\,b$ によって $A\times A^{\mathrm{op}}$ と同型であり、$W(1)$ の左作用をもつ集合は、$(a,b)\cdot m=amb$ によって、$A$ の左作用と右作用が可換に働く集合と同じものである。環 $A$ 上の両側加群を $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ 上の左加群とみなすのと同じ形である。

語を積の演算への代入とみる

要点：語 $a_0x_1a_1\cdots x_na_n$ は、$2n+1$ 項の積 $\kappa(\iota_{2n+1})$ に 0 項演算 $j(a_0),\dots,j(a_n)$ と単位を交互に入れたものである。普遍性の写像は、この見方を $Q$ へ写したものになる。

詳しい証明を開く

$W$ がオペラッドであること：2 通りの括弧の付け方の代入は、どちらも同じ文字と $A$ の元の並びを作り、隣り合う $A$ の元の掛け方の違いは $A$ の結合律で消える。単位律は $1$ を掛けることであり、同変性は文字の付け替えが代入と両立することである。$\kappa$ が合成を保つのは、$\mathrm{Ass}$ の合成が辞書式に文字を並べることと一致するからである。

存在：オペラッドの射 $\varphi\colon\mathrm{Ass}\to Q$ と、モノイドの準同型 $b\colon A\to\varphi^*Q(0)$（積は $\gamma_Q(\varphi(\iota_2);u,v)$、単位元は $\varphi(\iota_0)$）をとる。$\iota_n=(1,\dots,n)$ として $F(a_0x_1a_1\cdots x_na_n):=\gamma_Q\bigl(\varphi(\iota_{2n+1});b(a_0),1,b(a_1),\dots,1,b(a_n)\bigr)$ とおき、ほかの語には $F(w\sigma)=F(w)\sigma$ で延ばす（$\Sigma_n$ は $\mathrm{Ass}(n)$ に自由かつ推移的に作用するので定まる）。合成を保つこと：$\gamma_Q(F(w);F(w_1),\dots,F(w_n))$ は、$Q$ の結合律と $\varphi$ が合成を保つこと（$\gamma_{\mathrm{Ass}}(\iota_{2n+1};\iota_1,\iota_{2j_1+1},\iota_1,\dots)=\iota_R$）により、代入したまま掛ける前の並びの各 $A$ の元を $b$ で写し、文字の位置に単位を入れて $\varphi(\iota_R)$ に代入したものになる。隣り合う $b(c),b(d)$ は $\gamma_Q(\varphi(\iota_2);b(c),b(d))=b(cd)$ と結合律で 1 つにまとまるので、代入して掛けた語の $F$ の値に等しい。$F\kappa=\varphi$ は $b(1)=\varphi(\iota_0)$ と $\gamma_{\mathrm{Ass}}(\iota_{2n+1};\iota_0,\iota_1,\iota_0,\dots,\iota_1,\iota_0)=\iota_n$ から、$F_0j=b$ は $\varphi(\iota_1)=1$ から従う。

一意性：$W$ の中で $a_0x_1a_1\cdots x_na_n=\gamma_W\bigl(\kappa(\iota_{2n+1});j(a_0),1,j(a_1),\dots,1,j(a_n)\bigr)$ なので、$F\kappa=\varphi$、$F_0j=b$ を満たす射の値は上の式に限られ、ほかの語の値も同変性で決まる。$Q$ への射との対応が $Q$ について自然であることは式から明らかである。

位相モノイド $A$ についても、$W(n)$ に $\mathrm{Ass}(n)\times A^{n+1}$ の直積位相を入れれば（$\mathrm{Ass}(n)$ は離散）、同じ証明で位相空間の包絡オペラッドになる。上に現れる写像はどれも $A$ の積と $Q$ の合成の合成なので連続である。$\square$

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
組が反射的であること	$\mathbf{Set}$ の 2 つの写像 $0,1\colon\{*\}\rightrightarrows\{0,1\}$	余等化子 $q$ は 1 点への写像だが、$q\times q$ は対角の組 $\{*\}\rightrightarrows\{0,1\}^2$ の余等化子でない（lem-envop-reflexive の結論）
$b$ が $P$ 代数の射であること	$\mathbf{Set}$ の可換オペラッド $\mathrm{Com}$ と 1 点のモノイド $A$	組 $(\varphi,b)$（$b$ は任意の写像）を表すのは $D_{\mathrm{Com}}(A)$ で、その 0 項演算の集合は自然数全体と 1 対 1 に対応し、$A$ と同型でない（cor-envop-zero の結論）

表の確かめ

要点：1 行目は直積で同一視される点が 2 点だけであること、2 行目は $T_{\mathrm{Com}}A$ が各個数に 1 点ずつあることによる。

確かめを開く

1 行目．対角の 2 つの写像の像は $(0,0)$ と $(1,1)$ なので、余等化子はこの 2 点だけを同一視した 3 点の集合であり、1 点の集合 $\{*\}\times\{*\}$ と同型でない。この組には共通の切断がない（$\{0,1\}\to\{*\}$ と $0$ の合成は定値写像で、恒等写像にならない）。

2 行目．$\mathrm{Com}(k)$ は 1 点なので $D_{\mathrm{Com}}(A)(0)=\coprod_k\mathrm{Com}(k)\times_{\Sigma_k}A^k$ は各 $k$ に 1 点ずつで、自然数全体と 1 対 1 に対応する。prop-envop-free-const の 2 により、$D_{\mathrm{Com}}(A)$ から $Q$ への射は、$\varphi$ と任意の写像 $b\colon A\to Q(0)$ の組に対応する。一方 $A$ の包絡オペラッドの 0 項演算の集合は cor-envop-zero により 1 点である。